2021年高考理数试卷(全国乙卷)(教师版).doc

1、2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（ ）. A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i【答案】 C 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】设所以a=b=1，所以z1+i。 故答案为：C 【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。2.已知集合S=s|s=2n+1，nZ，T=t|t=4n+1，nZ，则ST=（ ） A. B.SC.TD.Z【答案】 C 【考点】交集及其运算 【解析】【解答

2、】当n=2k 时，S=s|s=4k+1, , 当n=2k+1 时,S=s|s=4k+3, 所以S,所以, 故答案为：C. 【分析】分n的奇偶讨论集合S。3.已知命题p： xR，sinx1；命题q： xR， 1，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p qB. p qC.p qD. (pVq)【答案】 A 【考点】全称量词命题，存在量词命题，命题的否定，命题的真假判断与应用 【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。4.设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f

3、(x+1)-1D.f(x+1)+1【答案】 B 【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质 【解析】【解答】因为 f(x)= ， 所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件， 故答案为：B。 【分析】将 函数变形为f(x)=后，判断。5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A.B.C.D.【答案】 D 【考点】直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x， 因为D1P

4、|OB|BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP|OD1,所以 即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以. 故答案为：D 【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A.60种B.120种C.240种D.480种【答案】 C 【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他各组只有1个人，所以分配方法是： ， 故答案为：C. 【分析】利用排列

5、与组合来求解。7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（ ） A.sin( )B.sin( )C.sin( )D.sin( )【答案】 B 【考点】由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式 【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- )的图像 上所有的点向左平移平移个单位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y= ， 故答案为：B。 【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。8.在

6、区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ） A. B. C. D.【答案】 B 【考点】几何概型 【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0a1, 1b 的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示， 直线a+b 与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P, 故选B。 【分析】利用几何概型解答。9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的

7、差”。则海岛的高AB=（ ）. A.B.C.D.【答案】 A 【考点】解三角形的实际应用 【解析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M， 则ABAM+BM,设则 因为,所以所以 故答案为：A. 【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。10.设a0，若x=a为函数 的极大值点，则（ ） A.abB.abC.aba2D.aba2【答案】 D 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质 【解析】【解答】当a0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab,aba2.故B,C项错； 当aba2,故A错。 故答案为：D. 【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正

8、确选项。11.设B是椭圆C： （ab0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ） A.B.C.D.【答案】 C 【考点】椭圆的定义，椭圆的简单性质 【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有 移项并用十字相乘法得到： 因为恒成立，即恒 成立， 据此解得 ， 故答案为：C。 【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2 ， 再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。12.设 ， ， ，则（ ） A.abcB.bcaC.bacD.cab【答案】 B 【考点】指数函数的图象与性质，对数函数的图象与性质 【解析】【解答】构造函数f

9、(x)=ln(1+x)- ， 则b-c=f(0.02)，则当x0时，, 所以f/(x)0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)f(0),即b-c0,所以bc; 再构造函数则而, 当 所以所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以所以bc0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为_. 【答案】 4 【考点】双曲线的定义，双曲线的简单性质 【解析】【解答】因为又曲线方程C：,一条渐近线是 ， 所以双曲线方程是, 故答案为：4 【分析】由双曲线渐近线的斜率可得到m的值，再进一步求得焦距的值。14.已知向量 =（1，3），b=（3，4），若（ - ） ， 则=_。 【答案】 【考点】平面向量的坐

10、标运算，平面向量数量积的运算，数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】【解答】因为 ， 所以 ， 所以 ， 故答案为： 【分析】先计算出的坐标式，再根据两向量垂直，列式求解。15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60，a2+c2=3ac，则b=_. 【答案】 【考点】余弦定理，三角形中的几何计算 【解析】【解答】 于是 【分析】根据面积的值，计算出ac，再由余弦定理求解。16.以图为正视图和俯视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）. 【答案】 或 【考点】由三视图还原实物

11、图 【解析】【解答】当俯视图为 时，右侧棱在左侧，不可观测到，所以为虚线，故选择为侧视图； 当俯视图为时，左侧棱在左侧可观测到，所以为实线，故选择为侧视图， 故答案为： 或 【分析】分情况讨论各种视图的位置关系。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010

12、.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为s12和s22（1）求 ， ， s12 ， s22； （2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 【答案】 （1）解：各项所求值如下所示 = (9.8+10.3+10.0+10.2+9.9+9.8+10.0+10.1+10.2+9.7)=10.0 = (10.1+10.4+10.1+10.0+10.1+1

13、0.3+10.6+10.5+10.4+10.5)=10.3 = x(9.7-10.0)2+2x(9.8-10.0)2+(9.9-10.0)2+2X(10.0-10.0)2+(10.1-10.0)2+2x(10.2-10.0)2+(10.3-10.0)2=0.36， = x(10.0-10.3)2+3x(10.1-10.3)2+(10.3-10.3)2+2x(10.4-10.3)2+2x(10.5-10.3)2+(10.6-10.3)2=0.4.（2）由(1)中数据得 - =0.3，2 0.34 显然 - 2 ，所以不认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高。【考点】众数、中位数、平

14、均数，极差、方差与标准差 【解析】【分析】（1）先计算新旧样本平均数 ， 再直接用公式计算 s12 ， s22； (2)由 (1)中的数据，计算得： - =0.3，2 0.34 ， 显然 - 2 ，可得到答案。18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PBAM， （1）求BC； （2）求二面角A-PM-B的正弦值。 【答案】 （1）解：因为PD平面ABCD，且矩形ABCD中，ADDC，所以以 ， ， 分别为x，y，z轴正方向，D为原点建立空间直角坐标系D-xyz。 设BC=t，A（t，0，0），B（t，1，0），M（ ，1，0），P(0，0

15、，1)，所以 =（t，1，-1）， =（ ，1，0），因为PBAM，所以 =- +1=0，所以t= ，所以BC= 。（2）设平面APM的一个法向量为 =（x，y，z），由于 =（- ，0，1），则 令x= ，得 =（ ，1，2）。设平面PMB的一个法向量为 =（xt ， yt ， zt），则令 =1，得 =(0，1，1).所以cos（ ， ）= = = ，所以二面角A-PM-B的正弦值为 .【考点】向量方法证明线、面的位置关系定理，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，定义相关点的坐标，通过计算求解； （2）呈上，分别求二面角的两个平面的法向量，用法向量的夹角

16、计算。19.记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项和，已知 =2. （1）证明：数列bn是等差数列； （2）求an的通项公式. 【答案】 （1）由已知 + =2，则 =Sn(n2) + =2 2bn-1+2=2bn bn-bn-1= (n2)，b1= 故bn是以 为首项， 为公差的等差数列。（2）由（1）知bn= +（n-1） = ，则 + =2 Sn= n=1时，a1=S1= n2时，an=Sn-Sn-1= - = 故an= 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，数列递推式 【解析】【分析】（1）根据等差数列及前n项和的定义，由递推关系，求证。 （2）呈上，先写出bn,

17、再求bn前n磺的和 Sn ，再由 an与 Sn 的关系，进一步求得结果。20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。 （1）求a； （2）设函数g（x）= ，证明：g（x）1. 【答案】 （1）xf(x)=xf(x)+xf(x) 当x=0时，xf(x)=f(0)=lna=0，所以a=1（2）由f(x)=ln(1-x)，得x1 当0x1时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0；当x0时，f(x)=ln(1-x)0，xf(x)0故即证x+f(x)xf(x)，x+ln(1-x)-xln(1-x)0令1-x=t(t0且t1)，x=1-t，即证1-t+lnt-(1-

18、t)lnt0令f(t)=1-t+lnt-(1-t)lnt，则f(t)=-1- -(-1)lnt+ =-1+ +lnt- =lnt所以f(t)在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，故f(t)f（1）=0，得证。【考点】利用导数研究函数的极值，导数在最大值、最小值问题中的应用 【解析】【分析】（1）先对函数 y=xf（x）求导： xf(x)=xf(x)+xf(x)，因为x=0是方程的根，代入求得a值。 （2）首先由（1）写出函数f(x),并求其定义域，将问题转化为证明 x+f(x)xf(x)，即证：x+ln(1-x)-xln(1-x)0 ，然后通过换元，构造函数，用导数研究相关函数的单调

19、性，从而证明命题成立。21.己知抛物线C：x2=2py（p0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4. （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值. 【答案】 （1）解：焦点 到 的最短距离为 ，所以p=2.（2）抛物线 ，设A(x1 ， y1），B(x2 ， y2)，P(x0 ， y0)，则 ， ，且 . ， 都过点P(x0 ， y0），则 故 ，即 .联立 ，得 ， .所以 = ， ，所以 = = = .而 .故当y0=-5时， 达到最大，最大值为 .【考点】圆的标准方程，抛物线的标准方程，抛物线的应用 【解析

20、】【分析】（1）因为F点到圆上距离最小的即为F到圆心的距离减去半径1，据此得到结果； （2）由（1）写出抛物线的标准方程 ，分别设出切点A,B的坐标，及P（在圆M上）的坐标，分别写出两条切线的方程，利用A,B都过P点，建立方程求解。最后通过三角形PAB面积表达式，研究最值。四、选修4一4：坐标系与参数方程（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1. （1）写出 C的一个参数方程；的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 【答案】 （1）因为 C的圆

21、心为(2，1)，半径为1.故 C的参数方程为 （ 为参数).（2）设切线y=k（x-4)+1，即kx-y-4k+1=0. 故 =1即|2k|= ，4 = ，解得k= .故直线方程为y= (x-4)+1， y= (x-4)+1故两条切线的极坐标方程为 sin = cos - +1或 sin = cos + +1.【考点】点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程的定义，不难得到圆的参数方程； （2）设出过点（4，1）的圆的切线方程，利用直线与相切求出切线的斜率，进而求得两条切线的方程，并将它们化为极坐标方程。五、选修4一5：不等式选讲（共1题；共10

22、分）23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当a=1时，求不等式f（x）6的解集； （2）若f（x）-a，求a的取值范围. 【答案】 （1）解：a=1时，f(x)=|x-1|+|x+3|，即求|x-1|+|x-3|6的解集. 当x1时，2x十26，得x2;当-3x-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值. 当x在a和-3之间时最小，此时f(x)最小值为|a+3|，即|a+3|-a.A-3时，2a+30，得a- ；a-a，此时a不存在.综上，a- .【考点】不等式的综合 【解析】【分析】（1)当a=1，写出 f(x)=|x-1|+|x+3| ，进一步分段讨论去值，解不等式； （2）只要保证 f(x)最小值-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.