2022届中考数学压轴难题含答案.docx

1、2022年中考数学压轴题1如图，一次函数ykx+b的图象与x轴、y轴分别交于点A（33，0）、B（0，3）两点（1）求直线AB的解析式；（2）点C（0，1）为y轴上一点，D为x轴上一点，直线AB上是否存在点E，使得以点D、E、C、B为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）P、Q是直线AB上的一条动线段，（P在Q的下方）且PQ2，点M（3，2）、N（3，1），连接MQ、PN，PQMQ+PN是否存在最大值，若存在，求出这个值，若不存在，请说明理由解：（1）设直线AB的解析式：ykx+b，0=33k+b3=0+b，解得：k=33b=3，直线AB的解析式：y=3

2、3x+3；（2）当BC为平行四边形的边时，则EDBC，则y=33x+32，解得：x=-3或53，故点E（-3，2）或（53，2）；当BC是平行四边形的对角线时，设点D（m，0），点N（n，33n），由中点坐标公式得：33n+33+1，解得：n=3，故点E（3，4），综上，点E（-3，2）或（53，2）或E（3，4）；（3）作点C关于直线AB的对称点H，交AB于点S，连接HN交AB于点P，连接PC、CM、CN、MN，过点M作MQPC交直线AB于点Q，则此时PN+QM最小，PQ是定值，则PQMQ+PN最大，在CNM中，MN1，CN=3，则MCN30，CM2，则CMPQ，CMPQ，故四边形CMQP为

3、平行四边形，故QMPC，则MQ+PNPC+PNHN，过点H作HKy轴于点K，在SCB中，BC2，则SCBCsin60=3，则HC23，则点H的坐标为（-3，4），点N（3，1），则HN=21，QP2，则PQMQ+PN最大值为：221212如图1，在平面直角坐标系xoy中，抛物线yx2+bx+3与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（1）求抛物线的表达式；（2）如图2，连接AC、BC，点D是线段BC上方抛物线上的一个动点，当SBCD=12SABC时，求点D的坐标；（3）在抛物线上是否存在点P，使得CPOBPO？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由解：（1）将点A（1，0）代入得

4、：1b+30，解得：b2，抛物线解析式为：yx2+2x+3；（2）当x2+2x+30时解得：x11，x23，A（1，0）、B（3，0），AB4，C（0，3），OC3SABC=12ABCO=1243=6SBCD=12SABC，SBCD=126=3B（3，0）、C（0，3），yBCx+3如图1，设D（a，a2+2a+3），过点D作x轴垂线，交BC于点H，则H（a，a+3）DHa2+2a+3（a+3）a2+3aSBCD=123(-a2+3a)=3，整理得a23a+20解得：a11，a22，当a1时，y4；当a2时，y3D（1，4）或D（2，3）；（3）存在如图2，作BC的垂直平分线交抛物线于点P1、

5、P2，此时CPOBPO，BOC是等腰直角三角形，OP垂直平分BCyOPx，由y=xy=-x2+2x+3得x2x30，解得：x1=1+132，x2=1-132P1(1+132，1+132)，P2(1-132，1-132)；如图3，作BOC的外接圆，与抛物线交于点P3、P4BOCO，BP3OCP3OBC为直径，BP3C90过点P3作x轴平行线交y轴于点N，过点B作P3N的垂线交NP3的延长线于点MCNP3P3MBCP3B90NP3C+MP3B90，MP3B+MBP390NP3CMBP3，tanNP3CtanMBP3，NCNP3=MP3MB设P3(m，-m2+2m+3)，则P3M=3-m，BM=-m

6、2+2m+3，NP3=m，NC=-m2+2m-m2+2mm=3-m-m2+2m+3，整理得：m2m10解得：m1=1+52，m2=1-52当m=1-52时，点P在第二象限，此时CPOBPO，故舍去当m=1+52时，y=5+52，P3（1+52，5+52）；综上所述：P1(1+132，1+132)；P2(1-132，1-132)；P3(1+52，5+52)3如图，抛物线yx2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA1，与y轴交于点C，连接AC，tanOAC3，抛物线的对称轴与x轴交于点D（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足PAB2ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛

7、物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N求证：DM+DN为定值，并求出这个定值解：（1）OA1，tanOAC3，则OCOAtanOAC3，故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，3），（2）抛物线yx2+bx+c经过点A（1，0），C（0，3），1+b+c=0c=-3，解得b=2c=-3，抛物线的函数表达式为yx2+2x3；若点P在x轴下方，如图1，延长AP到H，使AHAB，过点B作BIx轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HIBI于点I，当x2+2x30，解得：x13，x21，B（3，0），A（1，0），C（0，3），OA1，OC3，AC

8、=12+32=10，AB4，RtAOC中，sinACO=AOAC=1010，cosACO=31010，ABAH，G为BH中点，AGBH，BGGH，BAGHAG，即PAB2BAG，PAB2ACO，BAGACO，RtABG中，AGB90，sinBAG=BGAB=1010，BG=1010AB=2105，BH2BG=4105，HBI+ABGABG+BAG90，HBIBAGACO，RtBHI中，BIH90，sinHBI=HIBH=1010，cosHBI=BIBH=31010，HI=1010BH=45，BI=31010BH=125，xH3+45=-115，yH=-125，即H（-115，-125），由点A

9、、H的坐标的，直线AH的表达式为：y=34x-34，故直线PA在与y轴交点的坐标为（0，-34）；若点P在x轴上方，如图2，在AP上截取AHAH，则H与H关于x轴对称，H（-115，125），同理可得，直线AH：y=-34x+34，故直线PA在与y轴交点的坐标（0，34）；综上，直线PA在与y轴交点的坐标为（0，-34）或（0，34）；（3）DM+DN为定值，抛物线yx2+2x3的对称轴为：直线x1，D（1，0），xMxN1，设Q（t，t2+2t3）（3t1），由点A、Q的坐标得，直线AQ：y（t+3）xt3，当x1时，yMt3t32t6，DM0（2t6）2t+6，同理可得，直线BQ：y（t1

10、）x+3t3，当x1时，yNt+1+3t32t2，DN0（2t2）2t+2，DM+DN2t+6+（2t+2）8，为定值4如图，AB是O的直径，点C是O上一点（与点A，B不重合），过点C作直线PQ，使得ACQABC（1）求证：直线PQ是O的切线（2）过点A作ADPQ于点D，交O于点E，若O的半径为2，sinDAC=12，求图中阴影部分的面积解：（1）证明：如图，连接OC，AB是O的直径，ACB90，OAOC，CABACOACQABC，CAB+ABCACO+ACQOCQ90，即OCPQ，直线PQ是O的切线（2）连接OE，sinDAC=12，ADPQ，DAC30，ACD60ABCACD60，CAB9

11、06030，EAODAC+CAB60，又OAOE，AEO为等边三角形，AOE60S阴影S扇形SAEOS扇形-12OAOEsin60=6036022-122232=23-3图中阴影部分的面积为23-35如图，在ABC中，ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，连接CD交AB于点ME是线段CM上的点，连接BEF是BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF（1）求证：BEF是直角三角形；（2）求证：BEFBCA；（3）当AB6，BCm时，在线段CM上存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值（1）证明：ACB90，将ABC沿直线AB翻折得到ABD，ADBACB90，EFBEDB，EBFE

12、DF，EFB+EBFEDB+EDFADB90，BEF90，BEF是直角三角形（2）证明：BCBD，BDCBCD，EFBEDB，EFBBCD，ACAD，BCBD，ABCD，AMC90，BCD+ACDACD+CAB90，BCDCAB，BFECAB，ACBFEB90，BEFBCA（3）解：设EF交AB于J连接AEEF与AB互相平分，四边形AFBE是平行四边形，EFAFEB90，即EFAD，BDAD，EFBD，AJJB，AFDF，FJ=12BD=m2，EFm，ABCCBM，BC：MBAB：BC，BM=m26，BEJBME，BE：BMBJ：BE，BE=m2，BEFBCA，ACEF=BCBE，即36-m2m=mm2，解得m23（负根已经舍弃）