1、教案（首页）授课日期授课班级课 题4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图计划学时2 课时教学目标1.熟练掌握函数拐点以及凹凸区间的定义；2.掌握函数凹凸性的判定方法及拐点定理；3.熟练掌握函数草图的做法并了解一般的作图步骤；教学重点解决措施教学重点：函数凹凸性的判定方法及拐点定理解决措施：讲授、演示教学难点解决措施教学难点：函数草图的做法解决措施：讲授、演示教学设计教学手段教学方法多媒体教学、板书演示板书设计授课提纲一、复习二、新授4.3 曲线的凸性及拐点 函数作图（一）函数拐点以及凹凸区间的定义（二）函数凹凸性的判定方法及拐点定理（三）函数草图的做法并了解一般的作图步骤三、练习四、小结五、作业教
2、 学 过 程 设 计时间分配教师活动学生活动【复习提问】1. 柯西中值定理；2. 罗必塔法则及其应用；3.应用罗必塔法则需要注意的问题.【新课引入】.凸性及拐点在第一章我们讨论过函数的作图问题。但能使用的手段不多。本章第一节用导数的正负判断函数的增减性及极值点，无疑是增加了作图的有效手段，但仅此有时不能掌握图形的形状。图4.13中中弧都是上升的，但上升的情况不同。弧是向上凸而上升，弧是向下凸而上升。因此有必要区分图形是向上凸还是向下凹。xOxyOACDBy 在图4.14的左图中，我们看到，如果图形是向上凸时，则当x增大时，切线的斜线率是减小的。而图4.14的右图却正好相反，即当x增大时，切线率
3、是增大的。因此用导数增减性可完全反映出图形的凸性。【新课讲授】定义一 设函数在世递减的，则称曲线内是凸的；如果是递增的，则称曲线在内事凹的。定义二 设函数在所考虑的区间可导，则曲线的凸凹分界点称为曲线的拐点。如何判断曲线的凸凹及拐点呢？曲线的凹凸是由得增减性来定义的，又因为的导数，所以的增减可由的正负号来判断。于是可得到下列几个定理。定理一 若，则曲线在内是凹的，反之，若则曲线在内事凸的。定理二（拐点的必要条件）若点是曲线的拐点。且处二阶导数存在。则。定理三 若两侧变号，则点是曲线的拐点。例1 求曲线的拐点。并判断曲线在什么区间上是凸的，在什么区间上是凹的？解 函数的定义域是。 ， 令。讨论如
4、下：当曲线是凸的，当曲线是凹的，当由此知拐点为为凹区间。例2 ，解 算出 ， ，函数的定义域为，讨论如下： 当x时，曲线是凸的，因为x=0不在定义域内，所以曲线无拐点。.函数作图作函数的图形，大致可以分为以下步骤：（1） 初步研究：如何讨论定义域，对称性，周期性等等；（2） 讨论增减区间.极值点及极值；（3） 讨论凹凸区间及拐点；（4） 讨论一些特殊情形，如有点，说明曲线与直线无限接近（如图4.15），直线称为曲线的水平渐近线。若（常数），说明曲线与直线无限接近.直线称为曲线的水平渐近线（如图4.16）.（5） 根据需要再增算几个点 注意，作图时限讨论（1）（2）（4）与（5）.因为往往有这样
5、情形（1），（2），（4）与足以画出其图形.当还不足以画出图形时，在讨论（3）.yox0x图 4.15yox图 4.16 例3 作函数的图形. 解 函数的定义域为，是奇函数，所以图形对称于原点. ，是驻点，它把定义域分为三段.图形变化见下表。xx=-1(-1,1)x=1-0+0-图形极小值点极大值点极小值为讨论渐近线：。故有水平渐近线有以上材料就可大致画出图形。x0y例4 作函数的图形。解：函数的定义域为，是偶函数，图形对称y轴，且y0,所以图形在x轴的上方。令xx=0+0-图形极大值点极大值为令(-,)（ ， ）( , )+00+图形凹拐点凸拐点凹拐点为（ ， ）, （ ， ）.=0,有水平
6、渐近线根据以上讨论的情况，可大致地作出图形（图4.18）。例5 作函 的图形.解 定义域为,图形对称y轴。 .在定义域内无驻点，也没有极值点。x-+图形无定义 . 无的点，无拐点。在及 内 ,图形是凸的。又 .所以有垂直渐近线 (左侧)，（右侧）当 时， 。根据以上讨论可大致作出其图形（图4.19）。0x【课堂小结】1.函数的凹凸性及其判别方法,拐点及其求法； 2.曲线的渐近线；3.函数图形的作法.【作业布置】课内练习：1、求曲线 的拐点及凹凸区间。2、求曲线的拐点及凹凸区间。3、作的图形.4、作 的图形。5、作) 的图形课外作业：试确定一个x的六次多项式P（x），已和曲线切x轴于原点，且在拐点（-1，1），在（1，1）处切线水平。【教学反思】5分钟5分钟50分钟5分钟13分钟2分钟提问其实所有函数的图像可有这四种图像组合而成解释定义，交代注意点例题选解介绍作图步骤介绍一下渐进线的由来。利用几何直观的思想。补充说明注意点概率论中的正态分布图形任选一题作为课堂练习提问指导练习复习回答回答巩固练习
