5.29解答题综合训练-教师用卷.docx

1、解答题综合训练一、解答题（本大题共10小题，共120.0分）1. 已知数列an的前n项和Sn=n2+n，等比数列bn的公比q1，且b3+b4+b5=28，b4+2是b3，b5的等差中项(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求数列bn+1an21的前n项和Tn【答案】解：(1)Sn=n2+n n2时，an=SnSn1=2n，又n=1时，a1=S1=2 满足上式，an=2n，b3+b4+b5=28，b3+b5=2(b4+2)，b4=8，b3+b5=20，又b3b5=b42，q1，解得b3=4，b5=16，q=2，bn=2n1；(2)bn+1an21=2n1+1(2n)21=2n1+12(12n1

2、12n+1)，=2n1+n2n+1【解析】本题考查数列的递推关系，等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和，裂项相消法及分组转化求和，属于中档题(1)根据数列的递推关系式推导出an和bn的通项公式；(2)由(1)可知，bn+1an21=2n1+1(2n)21=2n1+12(12n112n+1)，运用分组转化求和可得答案2. 数列an的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(nN)(1)求an的通项公式(2)bn=2nan，数列bn的前n项和为Tn，求Tn【答案】解：(1)an+1=2Sn+1，当n2时，an=2Sn1+1，两式相减，得an+1an=2an，即an+1=3an，a1=1

3、，a2=2a1+1=3，满足a2=3a1，an+1=3an，nN，数列an是以1 为首项，3 为公比的等比数列，an=3n1(2)由(1)知bn=2n3n1，Tn=2+431+b32+(2n2)3n2+2n3n1，3Tn=23+432+b33+(2n2)3n1+2n3n，得2Tn=2+23+232+233+23n12n3n，即Tn=1+3+32+33+3n1n3n=13n13n3n=(12n)3n12，Tn=(n12)3n+12【解析】本题考查数列的递推公式和错位相减法求和，解决问题的关键是熟练掌握相关的判定和计算方法(1)由已知式子可得当n2时，an=2Sn1+1，两式相减可判数列an是等比

4、数列，易得通项公式；(2)由(1)可得bn=2n3n1，由错位相减法可求和3. 在ABC中，设角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知sinAsinBsinC=aca+b(1)求角B的值；(2)若ABC为锐角三角形，且c=2，求ABC的面积S的取值范围【答案】解：(1)由已知及正弦定理，得abc=aca+b，即(ab)(a+b)=c(ac)，即a2b2=acc2，即a2+c2b2=ac. 由余弦定理，得cosB=a2+c2b22ac=12，因为B(0,180)，所以B=60.(2)因为A+C=120，c=2，由正弦定理，得a=csinAsinC=2sin(120C)sinC=3cosC+si

5、nCsinC=3tanC+1. 所以S=12acsinB=asin60=32(3tanC+1). 因为ABC为锐角三角形，则30C90，从而tanC(33,+)，所以S(32,23).【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题(1)利用正弦定理化角为边，继而利用余弦定理求得角B；(2)利用正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，求出30C90进一步求面积4. 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a(22cos2A22)=bcosC+ccosB(1)

6、求角A的大小；(2)若c=62，且AB边上的高等于13AB，求sinC的值【答案】解：(1)依题意得a(221+cosA22)=bcosC+ccosB，2acosA=bcosC+ccosB，根据正弦定理得2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，2sinAcosA=sinB+C，2sinAcosA=sinA，A0,，sinA0，2cosA=1，即cosA=22，A0,，A=4；(2)设AB边上的高为CD，在中易得AD=CD=22，则BD=42，在中，根据勾股定理得BC=CD2+BD2=210，在ABC中，根据正弦定理ABsinC=BCsinA，得sinC=ABsinABC=622

7、2210=31010【解析】本题考查正弦定理和两角和与差的三角函数公式及二倍角公式，属中档题(1)根据二倍角公式化简得2acosA=bcosC+ccosB，由正弦定理和三角形内角和为将条件转化得cosA=22，求得角A即可；(2)设AB边上的高为CD，在中得BD=42，在中，根据勾股定理得BC=210，在ABC中，根据正弦定理求解sinC即可5. 已知函数f(x)=cos2x+sin(x+12)cos(x+12)12(xR)(1)求f(x)在区间2,0上的最大值和最小值；(2)若f2724=310，求sin2的值【答案】解：=12cos2x+12cos2x+32sin2x=1232cos2x+

8、32sin2x=3232cos2x+12sin2x=32sin2x+3x2,0，当时，fxmin=32，当时，fxmax=34，【解析】本题考查两角和与差的三角函数公式、正弦函数的性质、二倍角公式、半角公式，是中档题(1)把所给的函数式利用二倍角公式、半角公式、两角和与差的三角函数公式进行化简，在所给的区间上结合正弦函数的性质得到最大值和最小值；(2)利用(1)中化简得到的函数式，结合条件，得到，再利用诱导公式和二倍角公式求解6. 已知f(x)=sin2x2+3sinx2cos(+x2)(1)求f(x)在3,2的值域；(2)若0x2,f(x)=110，求sin(2x+3)的值【答案】(1)fx

9、=sin2x23sinx2cosx2=1212cosx32sinx=sinx+6+12当x3,2时，x+66,23sinx+612,1sinx+61,12fx12,1(2)fx=sinx+6+12=110sinx+6=35x0,2x+66,23353)(1)求函数f(x)的最小值(2)若不等式f(x)t2t+7恒成立，求实数t的取值范围【答案】解：(1)因为x3，所以x30，所以f(x)=x+9x3=(x3)+9x3+3，2(x3)9x3+3=9，当且仅当x3=9x3，即(x3)2=9时，上式取得等号，又因为x3，所以x=6，所以当x=6时，函数f(x)的最小值是9；(2)由(1)知f(x)的

10、最小值是9，不等式f(x)t2t+7恒成立等价于9t2t+7，即t2t20，解得：1t2，即实数t的取值范围是1,2【解析】本题考查了基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题(1)利用基本不等式求得f(x)的最小值；(2)由(1)知f(x)的最小值，把问题转化为f(x)mint2t+7，解此不等式即可8. 已知直线l经过两条直线2xy3=0和4x3y5=0的交点，且与直线x+y2=0垂直(1)求直线l的方程；(2)若圆C过点1,0，且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为22，求圆C的标准方程【答案】解：(1)设直线l的斜率为k1，直线l与直线x+y2=0垂直，k1=1.依题

11、意得，2xy3=04x3y5=0，解得两直线交点为(2,1)，所以，直线l过点(2,1)，直线l的方程y1=(x2)，即y=x1(2)设圆的标准方程为(xa)2+y2=r2，1a2=r2a122+2=r2，解得a=3，r=2,圆的标准方程为x32+y2=4【解析】本题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题(1)求出两直线交点，直线l的斜率，即可求直线l的方程；(2)利用待定系数法求圆C的标准方程9. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的长轴长为6，且经过点Q(32,3)，A为左顶点，B为下顶点，椭圆上的点P在第一象限，P

12、A交y轴于点C，PB交x轴于点D(1)求椭圆的标准方程(2)若OB+2OC=0，求线段PA的长(3)试问：四边形ABCD的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由【答案】解：(1)由题意得：2a=6，解得a=3，把点Q的坐标代入椭圆C的方程x2a2+y2b2=1，得94a2+3b2=1，解得b=2，所以所求椭圆的标准方程为：x29+y24=1(2)解：因为OB+2OC=0，则得OC=12OB=(0,1)，即C(0,1)，又因为A(3,0)，所以直线AP的方程为y=13(x+3)，由y=13(x+3)x29+y24=1，解得x=3y=0(舍去)或x=95y=85，即得P(95,85)

13、，所以|AP|=(95(3)2+(85)2=8105，即线段AP长为8105(3)由题知直线PB的斜率存在，可设直线PB：y=kx2，(k23)令y=0得D(2k,0)，由y=kx2x29+y24=1，得(9k2+4)x236kx=0，解得x=0或x=36k4+9k2，所以y=18k284+9k2，即P(36k4+9k2,18k284+9k2)，于是直线AP的方程为y=18k284+9k236k4+9k2+3(x+3)，即y=2(3k2)3(3k+2)(x+3)，令x=0，得y=2(3k2)3k+2即C(0,2(3k2)3k+2)，所以四边形ABCD的面积等于12|AD|BC|=12(2k+3

14、)(2(3k2)3k+2+2)=123k+2k12k3k+2=6，即四边形ABCD的面积为定值【解析】本题考查椭圆方程，直线与椭圆的相交问题，定值问题，解题中需要一定的计算能力，题目较难(1)由题意得：2a=6，94a2+3b2=1，解得a，b，进而可得椭圆的标准方程(2)根据题意可得OC=12OB=(0,1)，推出C(0,1)，写出直线AP的方程，联立直线AP方程与椭圆的方程解得交点P，由两点之间的距离公式可得线段AP长(3)设直线PB：y=kx2，(k23)，推出得D坐标，联立直线PB与椭圆的方程，消掉y得关于x的一元二次方程，解得P坐标，进而写出直线AP的方程，推出C坐标，进而推出四边形

15、ABCD的面积为定值10. 已知三点P,Q,A在抛物线:x2=4y上 ()当点A的坐标为(2,1)时，若直线PQ过点T(2,4)，求此时直线AP与直线AQ的斜率之积；()当APAQ，且|AP|=|AQ|时，求APQ面积的最小值【答案】解：()设直线PQ的方程为y=k(x+2)+4.P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立方程组y=k(x+2)+4x2=4y，得x24kx8k16=0，故x1+x2=4k，x1x2=8k16所以kAPkAQ=y11x12y21x22=x1241x12x2241x22=x1+24x1+24=x1x2+2(x1+x2)+416=34；()不妨设APQ的三个顶点中的两个

16、顶点A,P在y轴右侧(包括y轴)，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(x3,y3)，AP的斜率为k(k0)，又，则x32x12=4k(x3x1)，x32x22=4k(x3x2)因为|AP|=|AQ|，所以x3x2=k(x1x3)，由得，x3=2(k31)k(k+1)，(且k1)|AP|=k2+1(x1x3)=4k2+1kk2+1k+142kk12(k+1)2k+1=42当且仅当k=1时取“=”号，从而，所以APQ面积的最小值为16【解析】本题考查抛物线的综合应用，难度较大()设出P(x1,y1)，Q(x2,y2)，以及直线PQ的方程为y=k(x+2)+4，然后联立求得即可()设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，A(x3,y3)，根据，|AP|=|AQ|，列出两个表达式，求x3=2(k31)k(k+1)，由基本不等式求出AP的最小值，即求得答案