(易错题精选)初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案.doc

1、（易错题精选）初中数学锐角三角函数的难题汇编附答案一、选择题1如图，RtAOB中，AOB=90，AO=3BO，OB在x轴上，将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB，其中点B落在反比例函数y=的图象上，OA交反比例函数y=的图象于点C，且OC=2CA，则k的值为（）A4BC8D7【答案】C【解析】【详解】解：设将RtAOB绕点O顺时针旋转至RtAOB的旋转角为，OB=a，则OA=3a，由题意可得，点B的坐标为（acos，asin），点C的坐标为（2asin，2acos），点B在反比例函数y=的图象上，asin=，得a2sincos=2，又点C在反比例函数y=的图象上，2acos=，得k=4a2

2、sincos=8.故选C.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题，解此题的关键在于先设旋转角为，利用旋转的性质和三角函数设出点B与点C的坐标，再通过反比例函数的性质求解即可.2在RtABC中，C=90，如果AC=2，cosA=，那么AB的长是（）A3BCD【答案】A【解析】根据锐角三角函数的性质，可知cosA=，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3.故选A.点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=，然后带入数值即可求解.3公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的

3、一个大正方形如果大正方形的面积是125，小正方形面积是25，则( )ABCD【答案】A【解析】【分析】根据正方形的面积公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为5，再根据直角三角形的边角关系列式即可求解【详解】解：大正方形的面积是125，小正方形面积是25，大正方形的边长为，小正方形的边长为5，故选：A【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理的证明和正方形的面积，难度适中，解题的关键是正确得出4如图，在等腰直角ABC中，C90，D为BC的中点，将ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sinBED的值是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得到，再根据等腰三角形的性质及

4、三角形外角的性质可得到，设，则，再根据勾股定理即可求解【详解】解：DEF是AEF翻折而成，DEFAEF，AEDF，ABC是等腰直角三角形，EDF45，由三角形外角性质得CDF+45BED+45，BEDCDF，设CD1，CFx，则CACB2，DFFA2x，在RtCDF中，由勾股定理得，CF2+CD2DF2，即x2+1（2x）2，解得：，故选：B【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中5同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧

5、，两弧交于点C；（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；（3）连接BD，BC根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）AABD90BCACBCDCsinADcosD【答案】D【解析】【分析】由作法得CACBCDAB，根据圆周角定理得到ABD90，点C是ABD的外心，根据三角函数的定义计算出D30，则A60，利用特殊角的三角函数值即可得到结论【详解】由作法得CACBCDAB，故B正确；点B在以AD为直径的圆上，ABD90，故A正确；点C是ABD的外心，在RtABC中，sinD，D30，A60，sinA，故C正确；cosD，故D错误，故选：D【点睛】本题考查了解直角

6、三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理和解直角三角形6如图，点从点出发沿方向运动，点从点出发沿方向运动，同时出发且速度相同，（长度不变，在上方，在左边），当点到达点时，点停止运动在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）A一直减小B一直不变C先减小后增大D先增大后减小【答案】B【解析】【分析】连接GE，过点E作EMBC于M，过点G作GNAB于N，设AE=BG=x，然后利用锐角三角函数求出GN和EM，再根据S阴影=SGDESEGF即可求出结论【详解】解：连接GE，过点E作EMBC于M，过点G作GNAB于N设

7、AE=BG=x，则BE=ABAE=ABxGN=BGsinB=xsinB，EM=BEsinB=（ABx）sinBS阴影=SGDESEGF=DEGNGFEM=DE（xsinB）DE（ABx）sinB=DExsinB（ABx）sinB=DEABsinBDE、AB和B都为定值S阴影也为定值故选B【点睛】此题考查的是锐角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和三角形的面积公式是解决此题的关键7如图，在ABC中，ACBC，ABC30，点D是CB延长线上的一点，且BDBA，则tanDAC的值为（ ）A2B2C3D3【答案】A【解析】【分析】【详解】设AC=x，在RtABC中，ABC=3

8、0，即可得AB=2x，BC=x，所以BD=BA=2x，即可得CD=x+2x=（+2）x，在RtACD中，tanDAC=，故选A.8如图，在矩形ABCD中，AB2，BC10，E、F分别在边BC，AD上，BEDF将ABE，CDF分别沿着AE，CF翻折后得到AGE，CHF若AG、CH分别平分EAD、FCB，则GH长为（ ）A3B4C5D7【答案】B【解析】【分析】如图作GMAD于M交BC于N，作HTBC于T通过解直角三角形求出AM、GM的长，同理可得HT、CT的长，再通过证四边形ABNM为矩形得MNAB2，BNAM3，最后证四边形GHTN为平行四边形可得GHTN即可解决问题【详解】解：如图作GMAD

9、于M交BC于N，作HTBC于TABE沿着AE翻折后得到AGE，GAMBAE，ABAG2，AG分别平分EAD，BAEEAG，BAD90，GAMBAEEAG30，GMAD，AMG90，在RtAGM中，sinGAM，cosGAM，GMAGsin30，AMAGcos303，同理可得HT，CT3，AMGBBAD90，四边形ABNM为矩形，MNAB2，BNAM3，GNMNGM，GNHT，又GNHT，四边形GHTN是平行四边形，GHTNBCBNCT10334，故选：B【点睛】本题考查翻折变换，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型9如图

10、，4个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一个内角为60，、都是格点，则（ ）ABCD【答案】A【解析】【分析】直接利用菱形的对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF,的长，进而利用 得出答案【详解】解:连接DC，交AB于点E由题意可得:AFC=30, DCAF,设EC=x,则EF=, ,故选:A【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出EF的长是解题关键10如图，一张直角三角形纸片的斜边放在矩形的边上，恰好完全重合，边，分别交于点，已知，则的长为（）A1BCD2【答案】C【解析】【分析】由是矩形，得到AD=BC=8，且矩形的四个角是直角，根

11、据，可以求出DG的长度，再根据余角的性质算出DCE的大小，根据三角函数即可算出DC的长度.【详解】解：四边形是矩形，AD=BC=8，DCB=，又,ECB=60，DCE=，又，,故答案为C.【点睛】本题主要考查矩形、特殊直角三角形、余角的性质，运用线段的比例长算出其中各段的长度是解本题的关键，特殊角的三角函数也是重要知识点，应掌握.11如图，在RtABC内有边长分别为a，b，c的三个正方形则a、b、c满足的关系式是（ ）Ab=a+cBb=acCb2=a2+c2Db=2a=2c【答案】A【解析】【分析】利用解直角三角形知识.在边长为a和b两正方形上方的两直角三角形中由正切可得，化简得bac，故选A

12、.【详解】请在此输入详解！12如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：分别以点C和点D为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线MN，且恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则下列说法错误的是（ ）ABC若AB=4，则D【答案】C【解析】【分析】由作法得AE垂直平分CD，则AED=90，CE=DE，于是可判断DAE=30，D=60，从而得到ABC=60；利用AB=2DE得到SABE=2SADE；作EHBC于H，如图，若AB=4，则可计算出CH=CE=1，EH=CH=，利用勾股定理可计算出BE=2 ；利用正弦的定义得sinCBE=【详解】解：由作法得AE垂直平分CD，AED=90，CE=

13、DE，四边形ABCD为菱形，AD=2DE，DAE=30，D=60，ABC=60，所以A选项的说法正确；AB=2DE，SABE=2SADE，所以B选项的说法正确；作EHBC于H，如图，若AB=4，在RtECH中，ECH=60，CH=CE=1，EH=CH=，在RtBEH中，BE=，所以C选项的说法错误；sinCBE=，所以D选项的说法正确故选C【点睛】本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）也考查了菱形的性质和解直角三角形13已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为60cm2，设圆锥的母线与高

14、的夹角为，则sin的值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先求出圆锥底面周长可得到圆锥侧面展开图扇形的弧长，再利用扇形面积公式可求出母线的长，最后利用三角函数即可求出答案.【详解】解：圆锥底面周长为，且圆锥的侧面积为60，圆锥的母线长为，sin=.故选C.【点睛】本题考查了圆锥和三角函数的相关知识.利用所学知识求出圆锥母线的长是解题的关键.14如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且BEAC于点F，则下列结论中错误的是（ ）AAFCFBDCFDFCC图中与AEF相似的三角形共有5个DtanCAD【答案】D【解析】【分析】由AE=AD=BC，又ADBC，所以，故A正确，不符合题意；过D作D

15、MBE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE=BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由BAEADC，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求tanCAD的值，故D错误，符合题意【详解】解：A、ADBC，AEFCBF，AEADBC，故A正确，不符合题意；B、过D作DMBE交AC于N，DEBM，BEDM，四边形BMDE是平行四边形，BMDEBC，BMCM，CNNF，BEAC于点F，DMBE，DNCF，DFDC，DCFDFC，故B正确，不符合题意；C、图中与AEF相似的三角形有ACD，

16、BAF，CBF，CAB，ABE共有5个，故C正确，不符合题意D、设ADa，ABb由BAEADC，有tanCAD，故D错误，符合题意故选：D【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键15已知在 Rt ABC 中， C = 90，AC= 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ）ABcosA=Ctan A =Dcot A=【答案】D【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义进行作答.【详解】由勾股定理知，AB=17；A. ,所以A错误；B.，所以，B错误；C.，所以，C错误；D.=，所以选D.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握

17、锐角三角函数的定义是本题解题关键.16如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60方向，距离灯塔60 n mile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是( )A n mileB60 n mileC120 n mileDn mile【答案】D【解析】【分析】过点C作CDAB，则在RtACD中易得AD的长，再在直角BCD中求出BD，相加可得AB的长【详解】过C作CDAB于D点，ACD=30，BCD=45，AC=60在RtACD中，cosACD=，CD=ACcosACD=60在RtDCB中，BCD=B=45，CD=BD=30，AB=AD+

18、BD=30+30答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+30）nmile故选D【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线17已知B港口位于A观测点北偏东45方向，且其到A观测点正北风向的距离BM的长为10km，一艘货轮从B港口沿如图所示的BC方向航行4km到达C处，测得C处位于A观测点北偏东75方向，则此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为（）kmA8B9C6D7【答案】A【解析】【分析】【详解】解：MAB=45，BM=10，AB=20km，过点B作BDAC，交AC的延长线于D，在RtADB中，BAD

19、=MACMAB=7545=30，tanBAD=，AD=BD，BD2+AD2=AB2，即BD2+（BD）2=202，BD=10，AD=10，在RtBCD中，BD2+CD2=BC2，BC=4，CD=2，AC=ADCD=102=8km，答：此时货轮与A观测点之间的距离AC的长为8km故选A【考点】解直角三角形的应用-方向角问题18在RtABC中，C90，如果A，BCa，那么AC等于（ ）AatanBacotCasinDacos【答案】B【解析】【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.【详解】如图，C90，A，BCa，cot，ACBCcotacot，故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定

20、义的应用，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边与斜边的比；余弦是角的邻边与斜边的比；正切是对边与邻边的比；余切是邻边与对边的比；熟练掌握三角函数的定义是解题关键.19如图1，在ABC中，B90，C30，动点P从点B开始沿边BA、AC向点C以恒定的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以恒定的速度移动，两点同时到达点C，设BPQ的面积为y（cm2）运动时间为x（s），y与x之间关系如图2所示，当点P恰好为AC的中点时，PQ的长为（）A2B4C2D4【答案】C【解析】【分析】点P、Q的速度比为3：，根据x2，y6，确定P、Q运动的速度，即可求解【详解】解：设ABa，C30，则AC2a，BCa，设

21、P、Q同时到达的时间为T，则点P的速度为，点Q的速度为，故点P、Q的速度比为3：，故设点P、Q的速度分别为：3v、v，由图2知，当x2时，y6，此时点P到达点A的位置，即AB23v6v，BQ2v2v，yABBQ6v2v6，解得：v1，故点P、Q的速度分别为：3，AB6v6a，则AC12，BC6，如图当点P在AC的中点时，PC6，此时点P运动的距离为AB+AP12，需要的时间为1234，则BQx4，CQBCBQ642，过点P作PHBC于点H，PC6，则PHPCsinC63，同理CH3，则HQCHCQ32，PQ2，故选：C【点睛】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解20将直尺、有60角的直角三角板和光盘如图摆放，A为60角与直尺的交点，B为光盘与直尺的交点，AB=4，则光盘表示的圆的直径是()A4B8C6D【答案】B【解析】【分析】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，根据切线长定理可得AB=AC=3，OAB=60，然后根据三角函数，即可得出答案.【详解】设三角板与圆的切点为C，连接OA、OB，由切线长定理知，AB=AC=3，AO平分BAC，OAB=60，在RtABO中，OB=ABtanOAB=4，光盘的直径为8故选：B【点睛】本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.