2014年全国高中数学竞赛试题解答 一试解答.pdf

1、 2014 年全国高中数学全国高中数学联合竞赛一联合竞赛一试试（A 卷）卷） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明：说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设填空题只设 8 分和分和 0 分两档；其他各题的分两档；其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第参考本评分标准适

2、当划分档次评分，解答题中第 9 小题小题 4 分为一个档次，第分为一个档次，第 10、 11 小题小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次分为一个档次，不要增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1. 若正数, a b满足 236 2log3loglog ()abab ， 则 11 ab 的值为 答案答案：108 解解：设 236 2log3loglog ()ababk ，则 23 2,3,6 kkk abab ，从而 23 23 116 23108 23 k kk ab abab 2. 设集合 3 12bab a 中的最大元素与最小元素分别为,M

3、m， 则Mm的值 为 答案答案：52 3 解解：由12ab知， 33 25 1 b a ，当1,2ab时，得最大元素5M 又 333 22 3baa aaa ，当3ab时，得最小元素2 3m 因此，52 3Mm 3. 若函数 2 ( )1f xxa x在0,)上单调递增，则实数a的取值范围是 答案答案： 2, 0 解解：在1,)上， 2 ( )f xxaxa单调递增， 等价于1 2 a ， 即2a在0, 1 上， 2 ( )f xxaxa单调递增，等价于0 2 a ，即0a 因此实数a的取值范围是 2, 0 4. 数列 n a满足 1 2a ， * 1 2(2) () 1 nn n aan n

4、 N ，则 2014 122013 a aaa 答案答案：2015 2013 解解：由题设 12 2(1)2(1)2 1 nnn nnn aaa nnn 1 1 2(1)22 3 2(1) 12 n nn an nn 记数列 n a的前 n 项和为 n S，则 21 22 3242(1) n n Sn =+ + + ， 所以 23 22 223242 (1) n n Sn= + + +， 1 将上面两式相减，得 12 2 (1)(2222) nnn n Sn =+ 2 (1)22 nnn nn=+= 故 2013 2014 2013 122013 22015 22013 a aaa 2015

5、2013 5. 正四棱锥PABCD中， 侧面是边长为 1 的正三角形，,MN分别是边,AB BC的中 点，则异面直线MN与PC之间的距离是 答案答案： 2 4 解解：设底面对角线,AC BD交于点O，过点C作直 线MN的垂线，交MN于点H 由 于PO是 底 面 的 垂 线 ， 故POCH， 又 ACCH，所以CH与平面POC垂直，故CHPC 因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又 22 24 CHCN，故异面直线MN与 PC之间的距离是 2 4 6. 设椭圆的两个焦点是 12 ,FF，过点 1 F的直线与交于点,P Q若 212 PFFF， 且 11 34PFQF，则椭圆的短轴与长轴的比值为

6、答案答案： 2 6 7 解解：不妨设 11 4,3PFQF记椭圆的长轴，短轴的长度分别为2a，2b，焦距 为2c，则 212 2PFFFc，且由椭圆的定义知， 1212 224aQFQFPFPFc 于是 2121 21QFPFPFQFc 设H为线段 1 PF的中点，则 1 2,5FHQH，且有 21 F HPF由勾股定理知， 22222 22121 QFQHF HFFFH， 即 2222 (21)5(2 )2cc， 解 得5c， 进 而7a， 2 6b =，因此椭圆的短轴与长轴的比值为 2 6 7 b a 7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为 2，圆心为I若点P满足1PI ，则APB 与 A

7、PC 的面积之比的最大值为 答案答案： 35 2 解解：由1PI 知点P在以I为圆心的单位圆K上 2 设BAP在圆K上取一点 0 P，使得取到最大值 0 ，此时 0 P应落在IAC内， 且是 0 AP与圆K的切点由于 0 0 3 ，故 0 0 1 sin sin sinsin6 2 1 sinsinsinsin 23336 APB APC AP AB S S AP AC ， 其中， 00 6 IAP 由 0 2 AP I 知， 0 11 sin 24 IP AIr ，于是cot15 ，所以 13 sin cossin cot3153356 22 213cot3153 sin cossin 6

8、22 根据、可知，当 0 PP时， APB APC S S 的最大值为 35 2 8. 设A，B，C，D是空间四个不共面的点，以 1 2 的概率在每对点之间连一条边，任 意两对点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或者若干条边组成的）空间 折线连接的概率为 答案答案： 3 4 解解：每对点之间是否连边有2种可能，共有 6 264种情况考虑其中A，B可用折线 连接的情况数 (1) 有AB边：共 5 232种情况 (2) 无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少一 点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样的情况数为 22 (21)(21)9 (3) 无AB边，

9、也无CD边：此时AC，CB相连有 2 2种情况，AD，DB相连也有 2 2种 情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况被重复计了一次，故A，B可用折线连 接的情况数为 22 2217 以上三类情况数的总和为329748 ，故A，B可用折线连接的概率为 483 644 二、解答题：本大题共3小题，共56分解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤 9.（本题满分 16 分）平面直角坐标系xOy中，P是不在x轴上的一个动点，满足条件： 过P可作抛物线 2 4yx的两条切线，两切点连线 P l与PO垂直 设直线 P l与直线 PO，x轴的交点分别为 Q，R (1) 证明R是一个定点； (2) 求

10、 PQ QR 的最小值 3 解解： (1)设P点的坐标为( ,) (0)a bb，易知0a 记两切点A，B的坐标分别为 1122 ( ,), (,)xyxy，则PA，PB的方程分别为 11 2()yyxx， 22 2()yyxx， 而点P的坐标( ,)a b同时满足，故A，B的坐标 11 ( ,)xy， 22 (,)xy均满足方程 2()byxa 故就是直线AB的方程 直线PO与AB的斜率分别为 b a 与 2 b ，由POAB知， 2 1 b a b ，故2a 4 分 从而即为 2 (2)yx b ，故AB与x轴的交点R是定点(2, 0) 8 分 (2) 因为2a = ，故直线PO的斜率 1

11、 2 b k ，直线PR的斜率 2 4 b k 设 OPR，则为锐角，且 22 12 12 1 1182 824 2 2 tan22 24 bb PQk kbb bb QRkkbb 当2 2b时， PQ QR 的最小值为2 2 16 分 10. （本题满分 20 分）数列 n a满足 1 6 a ， * 1 arctan(sec) ()N nn aan 求正整 数m，使得 12 1 sinsinsin 100 m aaa 解解：由已知条件可知，对任意正整数n， 1 , 22 n a ，且 1 tansec nn aa 由于sec0 n a ，故 1 0, 2 n a 由得， 222 1 tan

12、sec1tan nnn aaa ，故 22 1 132 tan1tan1 33 n n anan ， 即 32 tan 3 n n a 10 分 因此 12 12 12 tantantan sinsinsin secsecsec m m m aaa aaa aaa 12 231 tantantan tantantan m m aaa aaa （利用） 1 1 tan1 tan31 m a am 由 11 31100m ，得m=3333 20 分 4 11. （本题满分 20 分） 确定所有的复数， 使得对任意复数 12121 ,(,1,zzzzz 2) z， 均有 2 11 ()zz 2 22

13、 ()zz 解解：记 2 ( )()fzzz 则 22 121122 ( )()()()fzfzzzzz 121212 (2 )()zzzzzz 假如存在复数 12121 ,(,1,zzzzz 2) z，使得 12 ( )()fzfz ，则由知， 121212 (2 )()zzzzzz ， 利用 121212 zzzzzz0知， 1212 2222zzzz， 即2 10 分 另一方面，对任意满足2 的复数，令 12 i,i 22 zz ，其中 01 2 ，则 1 z 2 z，而i1 22 ，故 12 ,1zz 此时将 12 zz， 12 2 izz， 12 2 i2 izz 代入可得， 12 ( )()2 i( 2 i)0fzfz ，即 12 ( )()fzfz 综上所述，符合要求的的值为,2C 20 分 5