专题04分式方程的含参问题与应用（解析版）（苏科版）.doc

1、 20202020 年中考数学必考经典题讲练案年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】【苏科版】 专题专题 0404 分式方程的含参问题与应用分式方程的含参问题与应用 【方法指导】【方法指导】 1. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数 2.解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验；得出结论 3.分式方程的增根问题： （1）增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为 0 或 是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根 （2）增根的产生

2、的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未 知数取哪些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件当把分式方程转化为整式 方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是 原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根 （3）检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为 0，如果 为 0，则是增根；如果不是 0，则是原分式方程的根 4.分式方程的应用 列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答 必须严格按照这 5 步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：

3、如设和答叙述要完整，要写出单位 等要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度=路程时间；工作量问题：工作效率=工作量工作时 间等等 列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力 【题型剖析】【题型剖析】 【类型【类型 1 1】解分式方程解分式方程 【例 1】 （2019江都区三模）解方程： 【分析】 先去分母，将方程化为一元一次方程，然后解之即可，最后验根 【解析】去分母，得 4x5（x1）0， 去括号，得 4x5x+50， 合并同类项，得 x+50， 解得 x5， 检验：将 x5 代入原分式方程， 左边0右边， 原分式方程的解为 x5 【方法小结】本题

4、考查了实数运算以及解分式方程，熟练掌握特殊三角函数值与幂的运算、解分式方程 是解题的关键 【变式 1-1】 （2019润州区二模） （1）解方程： 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的 解； 【解析】 （1）去分母得：1+x26， 解得：x5， 经检验 x5 是分式方程的解； 【方法小结】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【变式 1-1】解方程：1； 【分析】分别求出不等式的解集，然后找到其公共部分即可 【解答】 （1）解：去分母：两边乘以（x3） （x+3）得（x+3）24（x3）x29，

5、2x30， x15， 检验：将 x15 代入（x+3） （x3）0， 原分式方程的解为 x15； 【变式 1-2】 （2019苏州模拟）对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 maxa，b表示 a、b 中较大的 数，如：max2，44按照这个规定方程 maxx，x的解为（ ） A B C或 D或1 【分析】分 xx 和 xx 两种情况将所求方程变形，求出解即可 【解析】当 xx，即 x0 时，所求方程变形为x， 去分母得：x2+2x+10，即（x+1）20， 解得：x1x21， 经检验 x1 是分式方程的解； 当 xx，即 x0 时，所求方程变形为 x， 去分母得：x22x10， 代入公式

6、得：x1， 解得：x31，x41（舍去） ， 经检验 x1是分式方程的解， 综上，所求方程的解为 1或1 故选：D 【类型【类型 2 2】 ：】 ：分式方程的增根问题分式方程的增根问题 【例 2】 （2019高邮市二模）若关于 x 的方程有增根，则 m 的值为 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0 的根有增根，最简公分母 x2 0，所以增根是 x2，把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值 【解析】方程两边都乘（x2） ，得 x3m， 方程有增根， 最简公分母 x20，即增根是 x2， 把 x2 代入整式方程，得 m1 故答案为：1 【方法小结】考查了分式方

7、程的增根，解决增根问题的步骤： 确定增根的值； 化分式方程为整式方程； 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值 【变式 2-1】 （2019高密市一模）若关于 x 的分式方程有增根，则 m 的值为 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为 0 的根有增根，最简公分母 x3 0，所以增根是 x3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出 m 的值 【解析】方程两边都乘 x3，得 x2（x3）m2， 原方程增根为 x3， 把 x3 代入整式方程，得 m 【变式 2-2】 （2019姑苏区校级模拟）关于 x 的方程1 无解，则 m 的值是（ ） A0 B0 或 1 C1 D2 【分析

8、】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出 x 的值，代入整式方程计算即可求出 m 的值 【解析】去分母得：x22x+1mx2m+x23x+2， 整理得： （m1）x2m1， 由分式方程无解，得到 m10 且 2m10，即 m1； 当 m1 时，1 或2， 解得：m0 故选：B 【类型【类型 3 3】 ：】 ：分式方程的特殊解问题分式方程的特殊解问题 【例 3】（2019海州区模拟） 关于 x 的分式方程3 的解为正实数， 则实数 m 的取值范围是 （ ） Am6 且 m2 Bm6 且 m2 Cm6 且 m2 Dm6 且 m2 【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不

9、等式，解不等式即可 【解析】3， 方程两边同乘（x2）得，x+m2m3x6， 解得，x， 2， m2， 由题意得，0， 解得，m6， 实数 m 的取值范围是：m6 且 m2 故选：D 【方法小结】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步骤、分式 方程无解的判断方法是解题的关键 【变式 3-1】（2015泰兴市校级模拟） 已知关于 x 的分式方程1 的解是负数， 则 a 的取值范围是 （ ） Aa1 Ba1 且 a2 Ca1 Da1 且 a2 【分析】先求得分式方程的解，然后再解不等式即可，需要注意分式方程的分母不为 0 【解析】去分母得：x+1a+2 分式的分母不

10、为 0， a+20 解得：a2 由 x+1a+2 得；xa+1 方程的解为负数， a+10 a1 a 的取值范围是 a1 且 a2 故选：B 【变式 3-2】 （2019铜山区校级模拟）已知关于 x 的分式方程1 的解是非负数，则 m 的取值范围是 【分析】解分式方程1，得 xm1，所以 m10，因此 m1 【解析】解分式方程1，得 xm1， 解是非负数， m10， m1， 故答案为 m1 【变式 3-3】 （2019睢宁县模拟）若数 a 使关于 x 的分式方程4 的解为正数，且使关于 y，不 等式组的解集为 y2，则符合条件的所有整数 a 的和为 10 【分析】根据分式方程的解为正数即可得出

11、 a6 且 a2，根据不等式组的解集为 y2，即可得出 a 2，找出2a6 且 a2 中所有的整数，将其相加即可得出结论 【解析】分式方程4 的解为且 x1， 关于 x 的分式方程4 的解为正数， 且1， a6 且 a2 解不等式得：y2； 解不等式得：ya 关于 y 的不等式组 的解集为 y2， a2 2a6 且 a2 a 为整数， a2、1、0、1、3、4、5， （2）+（1）+0+1+3+4+510 故答案为：10 【类型【类型 4 4】 ：】 ：分式方程的应用分式方程的应用 【例 4】 （2019广陵区校级三模）今年，中小学启动实施“足球进校园” ，开设了“足球大课间”特色社团 活动某

12、校打算用 12000 元购进某种品牌的足球供学生使用经调查发现，该品牌足球单价比原来上涨 了 20%，这样购买的足球数量比原计划减少了 20 个，求足球原来的价格 【分析】根据题意可以列出相应的分式方程，本题得以解决，注意分式方程要检验 【解析】设足球原来价格为 x 元/个， ， 解得，x100， 经检验，x100 是原分式方程的解， 答：足球原来的价格 100 元/个 【方法小结】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程 【变式 4-1】 （2019溧水区二模）南京市某花卉种植基地欲购进甲、乙两种兰花进行培育，每株甲种兰花的 成本比每株乙种兰花的成本多100元，

13、且用1200元购进的甲种兰花与用900元购进的乙种兰花数量相同 （1）求甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元？ （2）该种植基地决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲、乙两种兰花，若培育乙种兰花的株数比甲 种兰花的 3 倍还多 10 株，求最多购进甲种兰花多少株？ 【分析】 （1）根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得甲、乙两种兰花每株成本分别为多少元， 注意分式方程要检验； （2）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以解答本题 【解析】 （1）设每株乙种兰花的成本为 x 元，则每株甲种兰花的成本为（x+100）元 由题意得， 解得，x300， 经检验 x300 是分式方程的解，

14、x+100300+100400， 答：每株甲种兰花的成本为 400 元，每株乙种兰花的成本为 300 元； （2）设购进甲种兰花 a 株 由题意得 400a+300（3a+10）30000， 解得，a， a 是整数， a 的最大值为 20， 答：最多购进甲种兰花 20 株 【变式 4-2】 （2019高淳区二模）甲、乙两同学的家与学校的距离均为 3200 米甲同学先步行 200 米，然 后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校已知甲步行速度是乙骑自行车速度的 ，公交车的速度是乙 骑自行车速度的 3 倍甲、乙两同学同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到 8 分钟 （1）求乙骑自行车的速度； （

15、2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？ 【分析】 （1）设乙骑自行车的速度为 xm/min，则公交车的速度是 3xm/min，甲步行速度是 xm/min，根据 题意列方程即可得到结论； （2）82001600 米即可得到结果 【解析】 （1）设乙骑自行车的速度为 xm/min，则公交车的速度是 3xm/min，甲步行速度是 xm/min， 由题意得：8 解得 x200 经检验 x200 原方程的解 答：乙骑自行车的速度为 200m/min （2）当甲到达学校时，乙同学还要继续骑行 8 分钟， 所以 82001600（m） 答：乙同学离学校还有 1600m 【变式 4-3】 （2019靖江市

16、一模）为落实“美丽秦州”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安 排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍，甲队改造 720 米的道路比乙队改 造同样长的道路少用 4 天 （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用 7 万元，乙队工作一天需付费用 5 万元，如需改造的道路全长 2400 米， 改造总费用不超过 195 万元，至少安排甲队工作多少天？ 【分析】 （1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 x 米，根 据工作时间工作总量工作效率结合甲队改造 720 米的道路比乙队改造同样长的

17、道路少用 4 天，即可 得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作天，根据总费用甲队每天所需费用工作时间 +乙队每天所需费用工作时间结合总费用不超过 195 万元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解之 取其中的最大值即可得出结论 【解析】 （1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度 为 x 米 根据题意得：4 解得：x60， 经检验，x60 是原分式方程的解，且符合题意， x90 答：乙工程队每天能改造道路的长度为 60 米，甲工程队每天能改造道路的长度为 90 米 （2）设安排甲队工作 m 天，则

18、安排乙队工作天 根据题意得：7m5195 解得：m10 答：至少安排甲队工作 10 天 【方法小结】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关 系，正确列出分式方程； （2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式 【达标检测】【达标检测】 一选择题（共一选择题（共 6 小题）小题） 1 （2019百色）方程1 的解是（ ） A无解 Bx1 Cx0 Dx1 【答案】C 【解析】1， 移项可得10， x0， 经检验 x0 是方程的根， 方程的根是 x0； 故选：C 2 （2019益阳）解分式方程3 时，去分母化为一元一次方程，正确的是（ ） Ax+23

19、Bx23 Cx23（2x1） Dx+23（2x1） 【答案】C 【解析】方程两边都乘以（2x1） ，得 x23（2x1） ， 故选：C 3 （2019本溪）为推进垃圾分类，推动绿色发展某化工厂要购进甲、乙两种型号机器人用来进行垃圾分 类用 360 万元购买甲型机器人和用 480 万元购买乙型机器人的台数相同，两种型号机器人的单价和为 140 万元若设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，所列方程正确的是（ ） A B C140 D140 【答案】A 【解析】设甲型机器人每台 x 万元，根据题意，可得：， 故选：A 4 （2019鸡西）已知关于 x 的分式方程1 的解是非正数，则 m 的取值范围是

20、（ ） Am3 Bm3 Cm3 Dm3 【答案】A 【解析】1， 方程两边同乘以 x3，得 2xmx3， 移项及合并同类项，得 xm3， 分式方程1 的解是非正数，x30， ， 解得，m3， 故选：A 5 （2019莱芜区）为提高市民的环保意识，某市发出“节能减排，绿色出行”的倡导，某企业抓住机遇投 资 20 万元购买并投放一批 A 型“共享单车” ，因为单车需求量增加，计划继续投放 B 型单车，B 型单车 的投放数量与 A 型单车的投放数量相同，投资总费用减少 20%，购买 B 型单车的单价比购买 A 型单车的 单价少 50 元，则 A 型单车每辆车的价格是多少元？设 A 型单车每辆车的价格

21、为 x 元，根据题意，列方 程正确的是（ ） A B C D 【答案】A 【解析】设 A 型单车每辆车的价格为 x 元，则 B 型单车每辆车的价格为（x50）元， 根据题意，得 故选：A 6 （2019湘潭）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展据调查，湘潭某家小型快递公 司的分拣工小李和小江，在分拣同一类物件时，小李分拣 120 个物件所用的时间与小江分拣 90 个物件所 用的时间相同，已知小李每小时比小江多分拣 20 个物件若设小江每小时分拣 x 个物件，则可列方程为 （ ） A B C D 【答案】B 【解析】由题意可得， ， 故选：B 二填空题（共二填空题（共 7 小题）小

22、题） 7 （2019淮安）方程1 的解是 【答案】x1， 【解析】方程两边都乘以（x+2） ，得 1x+2， 解得，x1， 经检验，x1 是原方程的解， 故答案为：x1 8分式方程的解为 x 【答案】以 x1 【解析】方程两边同乘 x（x+1） ， 得 x+12x， 解得 x1 将 x1 代入 x（x+1）20 所以 x1 是原方程的解 9 （2019宿迁）关于 x 的分式方程1 的解为正数，则 a 的取值范围是 【答案】a5 且 a3 【解析】去分母得：1a+2x2， 解得：x5a， 5a0， 解得：a5， 当 x5a2 时，a3 不合题意， 故 a5 且 a3 故答案为：a5 且 a3 1

23、0 （2019永州）方程的解为 x 【答案】1 【解析】去分母得：2xx1， 解得：x1， 经检验 x1 是分式方程的解， 故答案为：1 11 （2019襄阳）定义：a*b，则方程 2*（x+3）1*（2x）的解为 【答案】x1， 【解析】2*（x+3）1*（2x） ， ， 4xx+3， x1， 经检验：x1 是原方程的解， 故答案为：x1 12 （2019齐齐哈尔）关于 x 的分式方程3 的解为非负数，则 a 的取值范围为 【答案】a4 且 a3 【解析】3， 方程两边同乘以 x1，得 2xa+13（x1） ， 去括号，得 2xa+13x3， 移项及合并同类项，得 x4a， 关于 x 的分式

24、方程3 的解为非负数，x10， ， 解得，a4 且 a3， 故答案为：a4 且 a3 13 （2019绥化）甲、乙两辆汽车同时从 A 地出发，开往相距 200km 的 B 地，甲、乙两车的速度之比是 4： 5，结果乙车比甲车早 30 分钟到达 B 地，则甲车的速度为 km/h 【答案】80 【解析】设甲车的速度为 xkm/h，则乙车的速度为 xkm/h， 依题意，得：， 解得：x80， 经检验，x80 是原方程的解，且符合题意 故答案为：80 三解答题（共三解答题（共 7 小题）小题） 14 （2019徐州） （1）解方程：1 （2）解不等式组： 【答案】x; 2x2； 【解析】 （1）1，

25、两边同时乘以 x3，得 x2+x32， x； 经检验 x是原方程的根； （2）由可得， 不等式的解为2x2； 15 （2019南京）解方程：1 【答案】x2 【解析】方程两边都乘以（x+1） （x1）去分母得， x（x+1）（x21）3， 即 x2+xx2+13， 解得 x2 检验：当 x2 时， （x+1） （x1）（2+1） （21）30， x2 是原方程的解， 故原分式方程的解是 x2 16 （2019南通）列方程解应用题： 中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂” 为传承优秀传统文化，某校购进西游记和三国演 义若干套，其中每套西游记的价格比每套三国演义的价格多 40 元，用 3200

26、 元购买三国演 义的套数是用 2400 元购买西游记套数的 2 倍，求每套三国演义的价格 【答案】x80 【解析】设每套三国演义的价格为 x 元，则每套西游记的价格为（x+40）元， 依题意，得：2， 解得：x80， 经检验，x80 是所列分式方程的解，且符合题意 答：每套三国演义的价格为 80 元 17 （2019常州）甲、乙两人每小时共做 30 个零件，甲做 180 个零件所用的时间与乙做 120 个零件所用的 时间相等甲、乙两人每小时各做多少个零件？ 【答案】甲每小时做 18 个零件，则乙每小时做 12 个零件 【解析】设甲每小时做 x 个零件，则乙每小时做（30x）个零件， 由题意得：

27、， 解得：x18， 经检验：x18 是原分式方程的解， 则 301812（个） 答：甲每小时做 18 个零件，则乙每小时做 12 个零件 18 （2019扬州） “绿水青山就是金山银山”为了更进一步优化环境，甲、乙两队承担河道整治任务甲、 乙两个工程队每天共整治河道 1500 米， 且甲整治 3600 米河道用的时间与乙工程队整治 2400 米所用的时 间相等求甲工程队每天修多少米？ 【答案】甲工程队每天修 900 米 【解析】设甲工程队每天修 x 米，则乙工程队每天修（1500x）米，根据题意可得： ， 解得：x900， 经检验得：x900 是原方程的根， 答：甲工程队每天修 900 米 1

28、9 （2018徐州）徐州至北京的高铁里程约为 700km，甲、乙两人从徐州出发，分别乘坐“徐州号”高铁 A 与“复兴号”高铁 B 前往北京已知 A 车的平均速度比 B 车的平均速度慢 80km/h，A 车的行驶时间比 B 车的行驶时间多 40%，两车的行驶时间分别为多少？ 【答案】A 车行驶的时间为 3.5 小时，B 车行驶的时间为 2.5 小时 【解析】设 B 车行驶的时间为 t 小时，则 A 车行驶的时间为 1.4t 小时， 根据题意得：80， 解得：t2.5， 经检验，t2.5 是原分式方程的解，且符合题意， 1.4t3.5 答：A 车行驶的时间为 3.5 小时，B 车行驶的时间为 2.

29、5 小时 20 （2018抚顺）为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个 工程队完成 已知甲队的工作效率是乙队工作效率的 倍， 甲队改造 360 米的道路比乙队改造同样长的道 路少用 3 天 （1）甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？ （2）若甲队工作一天需付费用 7 万元，乙队工作一天需付费用 5 万元，如需改造的道路全长 1200 米， 改造总费用不超过 145 万元，至少安排甲队工作多少天？ 【答案】至少安排甲队工作 10 天 【解析】 （1）设乙工程队每天能改造道路的长度为 x 米，则甲工程队每天能改造道路的长度为 x 米， 根据题意得：3， 解得：x40， 经检验，x40 是原分式方程的解，且符合题意， x4060 答：乙工程队每天能改造道路的长度为 40 米，甲工程队每天能改造道路的长度为 60 米 （2）设安排甲队工作 m 天，则安排乙队工作天， 根据题意得：7m+5145， 解得：m10 答：至少安排甲队工作 10 天