基础生艺体生培优考点题型篇考点10-15平面向量和立体几何专题 学生.pdf

1、资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 考点 10平面向量的概念和运算 玩前必备 1向量的有关概念 (1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB 的大小叫做向量的长度(或模)，记作 |AB |. (2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的 (3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量 (4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可 以

2、移到同一直线上 规定：0 与任一向量平行 (5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量 (6) 相反向量： 与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量 规定零向量的相反向量仍是零向量 2.向量的加法 (1) 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 (2) 法则：三角形法则；平行四边形法则 (3) 运算律：abba；(ab)ca(bc) 3.向量的减法 (1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高

3、中数 学秒杀方法群：677837127， (2) 法则：三角形法则 (3) 运算律：aba(b) 4.向量的数乘 (1) 实数与向量 a 的积是一个向量，记作a，它的长度与方向规定如下： |a|a； 当0 时，a 与 a 的方向相同； 当0 时，a 与 a 的方向相反；当0 时，a0. (2) 运算律：设、R，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab 5. 向量共线的判定定理 a 是一个非零向量，若存在一个实数，使得 ba，则向量 b 与非零向量 a 共线 6平面向量基本定理 如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，存在唯一一对实数1、2， 使

4、a1e12e2. 我们把不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底 一个平面向量 a 能用一组基底 e1，e2表示，即 a1e12e2.则称它为向量的分解。当 e1，e2互相垂直时， 就称为向量的正交分解。 7平面向量的坐标运算 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB (x 2x1，y2y1)，|AB | x 2x12y2y12. (2)设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)， (3)若 a(x，y)，则a(x，y)；|a| x2y2. 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：

5、975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 8向量平行的坐标表示 设 a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 b0.abab x1y2x2y10. 玩转典例 题型一题型一平面向量的基本概念平面向量的基本概念 例例 1 给出下列命题： 向量AB 的长度与向量BA的长度相等； 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； 两个有公共终点的向量一定是共线向量 其中不正确命题的个数为() A. 1B. 2C. 3D. 4 例例 2

6、下列命题中，正确的是_(填序号) 有向线段就是向量，向量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 向量AB 与向量CD 共线，则 A、B、C、D 四点共线； 如果 ab，bc，那么 ac； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 题型题型二二平面向量的线性运算平面向量的线性运算 例例 3（2015新课标）设D为ABC所在平面内一点，3BCCD ，则() A 14 33 ADABAC B 14 33 ADABAC 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交

7、流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， C 41 33 ADABAC D 41 33 ADABAC 例例 4（2018新课标）在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则(EB ) A 31 44 ABAC B 13 44 ABAC C 31 44 ABAC D 13 44 ABAC 例例 5(2020威海模拟)在平行四边形 ABCD 中，E，F 分别为边 BC，CD 的中点，若AB xAEyAF(x，yR)， 则 xy_. 题型三题型三平面向量坐标运算平面向量坐标运算 例例 6（2015全国）设平面向量( 1,2)a ，(3, 2)b ，则2(ab )

8、A(1,0)B(1,2)C(2,4)D(2,2) 例例 7（2015新课标）已知点(0,1)A，(3,2)B，向量( 4, 3)AC ，则向量(BC ) A( 7, 4)B(7,4)C( 1,4)D(1,4) 例例 8（2015江苏）已知向量(2,1)a ，(1, 2)b ，若(9manb ，8)(m，)nR，则mn的值为 题型题型四四平面向量共线定理平面向量共线定理 例例 9 (新课标 II 理)设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 例例 10（2020上饶一模）已知, a b 是不共线的向量，OAab ，2OBab ，2OCab ，若A、B、 C三点共线，则、满足

9、() A3B3C2D2 例例 11（2016全国）平面向量( ,3)ax 与(2, )by 平行的充分必要条件是() A0x ，0y B3x ，2y C6xy D6xy 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 例例 12(2018全国)已知向量 a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c 则() A. 1 4 B. 1 2 C1D2 玩转练习 1对于非零向量 a，b，“a2b0”是“ab”的() A充分不必

10、要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 2已知向量AB a3b，BC5a3b，CD 3a3b，则() AA，B，C 三点共线BA，B，D 三点共线 CA，C，D 三点共线DB，C，D 三点共线 3.如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E 是 DC 的中点， 点 F 是 BC 上的一个靠近点 B 的三等分点， 那么EF 等于( ) A.1 2AB 1 3AD B.1 4AB 1 2AD C.1 3AB 1 2DA D.1 2AB 2 3AD 4.如图，已知 AB 是圆 O 的直径，点 C，D 是半圆弧的两个三等分点，AB a，ACb，则AD 等于() 资料下载来源：艺考学习资

11、料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， Aa1 2b B.1 2ab Ca1 2b D.1 2ab 5已知 M(3，2)，N(5，1)，且MP 1 2MN ，则 P 点的坐标为() A(8,1)B. 1，3 2 C. 1，3 2D(8，1) 6(2020山西榆社中学诊断)若向量AB DC (2,0)，AD (1,1)，则AC BC等于( ) A(3,1)B(4,2)C(5,3)D(4,3) 7(2020海南联考)设向量 a(x，4)，b(1，x)，

12、若向量 a 与 b 同向，则 x 等于() A2B2C2D0 8已知平面直角坐标系内的两个向量 a(1,2)，b(m，3m2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示 成 cab(，为实数)，则实数 m 的取值范围是() A(，2)B(2，) C(，)D(，2)(2，) 9在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(1,0)，B(0,1)，C 为坐标平面内第一象限内一点，AOC 4，且|OC| 2，若OC OA OB ，则等于() A2 2B. 2C2D4 2 10(2020蚌埠期中)已知向量 m sin A，1 2 与向量 n(3，sin A 3cos A)共线，其中 A 是ABC 的内角，

13、则角 A 的大小为() A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 11若三点 A(1，5)，B(a，2)，C(2，1)共线，则实数 a 的值为_ 12设向量 a，b 满足|a|2 5，b(2,1)，且 a 与 b 的方向相反，则 a 的坐标为_ 考点 11平面向量数量积 玩前必备 1两个向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作OA a，OB b，AOB(0180)叫作向量 a 与 b

14、 的夹角，记作当0时，a 与 b 同向；当180时，a 与 b 反向；当90时，则称向量 a 与 b 垂直，记作 ab. 2平面向量的数量积 已知两个向量a和b， 它们的夹角为， 我们把|a|b|cos 叫作a与b的数量积(或内积)， 记作ab， 即ab|a|b|cos . 3平面向量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 方向上的射影|b|cos 的乘积或 b 的长度|b|与 a 在 b 方向上的射影|a|cos 的乘积 注意：b 在 a 方向上的投影为|b|cos ab |a| ，而 a 在 b 方向上的投影为|a|cos ab |b| ，投影是一个数量，它可

15、 以为正，可以为负，也可以为 0. 4平面向量数量积的重要性质 (1) abab0； (2)当 a 和 b 同向时，ab|a|b|；当 a 和 b 反向时，ab|a|b|；特别地，aa |a|2，|a| aa； (3)cos ab |a|b|； 5平面向量数量积的坐标运算 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 设两个非零向量 a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)， (1) abx1x2y1y2，(2) |a|2x12

16、y12或|a| x12y12.(3) abx1x2y1y20. (4) cos x1x2y1y2 x12y12 x22y22 玩转典例 题型题型一一平面向量数量积的计算平面向量数量积的计算 例例 1（2020兖州区模拟）等腰直角三角形ABC中， 2 ACB ，2ACBC，点P是斜边AB上一点， 且2BPPA，那么(CP CACP CB ) A4B2C2D4 例例 2（2020上海）三角形ABC中，D是BC中点，2AB ，3BC ，4AC ，则AD AB 例例 3（2019新课标）已知(2,3)AB ，(3, )ACt ，| 1BC ，则(AB BC ) A3B2C2D3 例例 4（2018新课

17、标）已知向量a ，b 满足| 1a ，1a b ，则(2)(aab ) A4B3C2D0 题型二题型二利用数量积求模长利用数量积求模长 例例 5（2020香坊区模拟）已知单位向量, a b 的夹角为，且 1 tan 2 ，若向量53mab ，则| (m ) A2B3C26D2或26 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 例例 6（2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量( ,1),ax (2,

18、),by ( 2,2)c ， 且ac ，/ /bc ，则ab _. 题型题型三三利用数量积求夹角利用数量积求夹角 例例 7（2020临汾模拟）已知夹角为的向量a ，b 满足()2a ab ，且| 2| 2ab ，则向量a ，b 的关 系是() A互相垂直B方向相同C方向相反D成120角 例例 8 （2020江西省南昌市新建二中高三二模 （理） ） 已知向量a ，b 满足1a ，1, 3b ， 若2aab ， 则a 与b 的夹角为_. 题型题型四四利用数量积求解垂直问题利用数量积求解垂直问题 例例 9（2020河南省鹤壁市高级中学高三二模）已知非零向量a ，b 满足|ab |=|，则“ 22ab

19、ab ”是 “ab ”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解: 例例 10（2020吉林省高三二模（理） ）已知(1,3),(2,2),( , 1)abcn ，若()acb ，则n等于（） A3B4C5D6 题型题型五五利用数量积求射影利用数量积求射影 例例 1111(湖北，7)已知点 A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为() A. 3 2 2 B. 3 15 2 C3 2 2 D3 15 2 玩转练习 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群

20、：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 1.（2020新建区校级模拟）如图，在ABC中，,3,| 2ADAB DCBD AD ，则AC AD 的值为() A3B8C12D16 2.（2020内蒙古模拟）已知向量(1,2)ab ，( 3,0)ab ，则(a b ) A1B1C3D3 3 （2020随州模拟）已知向量a ，b 满足| | 2aab ，向量b 在向量a 方向上的投影为 3，则向量a 与 向量b 的夹角为() A30B45C60D90 4（2020湘潭一模） 在平行四边形ABCD中，60BAD，3ABAD，E为线段C

21、D的中点， 若6AE AB ， 则(AC BD ) A4B6C8D9 5 （2020齐齐哈尔一模）已知两个单位向量a ，b 的夹角为120，(1)ctatb 若1a c 则实数t的 值为() A1B1C2D2 6.（2020福州一模）已知两个单位向量 12 ,e e ，若 121 (2)eee ，则 12 ,e e 的夹角为() 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， A 2 3 B 3 C 4 D 6 7.（2020湖南省

22、长沙市明达中学高三二模（理）已知向量a 和b 的夹角为 3 ，且2,3ab ，则 (2)(2 )ab ab （） A10 B7 C4 D1 8 （2020江西省名高三第二次大联考（理） ）若1a ，2b ，则ab 的取值范围是（） A1,9B 1,9C1,3D1,3 9 （2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟（理） ）已知在边长为 3 的等边ABC中， 1 2 BDDC ，则 AD AC （） A6B9C12D6 10 （2020河南省实验中学高三二测（理） ）若| 3a ，| 2b ，237ab ，则a 与 b 的夹角为 _. 11 （2020北京市西城区高三一模）若向量 2 21axbx

23、， ，满足 3a b ，则实数x的取值范围是 _. 12（2020四川省成都市树德中学高三二诊 （理） ） 已知向量AB = （1， 2） ，AC = （-3， 1） ， 则AB BC =_ 13 （2020广西师大附属外国语学校高三一模（理） ）已知, a b 为两个单位向量，且向量a b 与b 垂直， 则23ab =_ 14 （2020江西省南昌市第十中学校高三模拟（理） ）设, x yR，向量( ,1),ax (2, ),by ( 2,2)c ， 且ac ， / /bc ，则ab _. 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群

24、：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 15.（2020福建省泉州市高三质检（理） ）已知向量,2ax ，2,1b ，且 /a b ，则a _ 考点 12空间空间几何体表面积和体积几何体表面积和体积 玩前必备 1. 空间几何体的结构特征 多面 体 棱柱棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是平行且全等的多边形 棱锥棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形 棱台 棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是平行 且相似的多边形 旋转 体 圆柱圆柱可由矩形绕其任意一边旋转得到 圆锥 圆锥可以由直角三角形绕其直角边

25、旋转得到 圆台 圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上、下底中点连线旋转 得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到 球球可以由半圆或圆绕直径旋转得到 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(r1r2)l 3.空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积体积 柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VS底

26、h 锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底V1 3S 底h 台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V1 3(S 上S下 S上S下)h 球S4R2V4 3R 3 玩转典例 题型题型一一简单几何体的概念简单几何体的概念 例例 1以下命题： 以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； 以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面； 一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数

27、学秒杀方法群：677837127， 其中正确命题的个数为() A0B1C2D3 例例 2给出下列四个命题： 有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱； 侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； 侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； 底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱 其中不正确的命题为_(填序号) 题型题型二二简单几何体的表面积简单几何体的表面积 例例 3 (2018全国)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1，O2，过直线 O1O2的平面截该圆柱所得的截面是 面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为() A12 2B12 C8 2D10 例例 4 （2019全国） 已知平面截球O的球面

28、所得圆的面积为，O到的距离为 3， 则球O的表面积为 例例 5（2020桥东区校级模拟）胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形研究 发现，该金字塔底面周长除以 2 倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率 355 113 若胡夫金字塔的高为h，则 该金字塔的侧棱长为() A 2 21hB 2 24 8 h C 2 16 4 h D 2 216 4 h 题型题型三三简单几何体的体积简单几何体的体积 例例 6(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为 30.若SAB 的面积为 8，则该圆锥的体积为_ 资料下载来源：艺考学习资料群：79

29、6720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 例例 7(2017全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的 体积为() AB3 4 C. 2 D 4 例例 8.(2018天津卷)如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为_ 题型题型四四简单几何体简单几何体切接问题切接问题 例例 9（2016新课标）体积为 8 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为() A1

30、2B 32 3 C8D4 例例 10（2017新课标）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面 SCA 平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为 9，则球O的表面积为 例例 11（2020眉山模拟）已知腰长为 3，底边长 2 为的等腰三角形ABC，D为底边BC的中点，以AD为折 痕，将三角形ABD翻折，使BDCD，则经过A，B，C，D的球的表面积为() A10B12C16D20 玩转练习 1.(2015新课标全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米 依垣内角，下周八尺，高五尺问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角

31、处堆放米(如图，米堆为一 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已 知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有() A14 斛B22 斛 C36 斛D66 斛 2.（2020凯里市校级模拟） 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有阳 马，广五尺，袤七尺，高八尺，问

32、积几何？“其意思为： “今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥， 它的底面长、宽分别为 7 尺和 5 尺，高为 8 尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥 的体积为() A140 立方尺B280 立方尺C 280 3 立方尺D 140 3 立方尺 3.（2020湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作九章算术注中，称一个 正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”， 刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积 与“牟合方盖”的体积之比应为：4.若正方体的棱长为 2，则“牟合方盖”的体积为() A16B16 3C 16 3 D 128 3 4.（

33、2020陕西省西安中学高三三模（理） ）把边长为4的正方形ABCD沿对角线AC折起，当直线BD和平 面ABC所成的角为60时，三棱锥DABC的体积为() A 8 2 3 B 4 6 3 C 8 6 3 D16 2 3 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 5.（2019 江苏 9）如图，长方体 1111 ABCDABC D 的体积是 120，E 为 1 CC的中点，则三棱锥 E-BCD 的体 积是. 6.(2019江西重点

34、中学联考)算术书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最 早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一， 该术相当于给出圆锥的底面周长 l 与高 h，计算其体积 V 的近似公式 V 1 36l 2h，它实际上是将圆锥体积公式 中的圆周率近似取 3，那么，近似公式 V 25 942l 2h 相当于将圆锥体积公式中的近似取( ) A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 7 （2019 天津理 11）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周 经过四棱锥四条侧棱的中点， 另一个

35、底面的圆心为四棱锥底面的中心， 则该圆柱的体积为. 8.(2018 天津)已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为 点 E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为 9.(2018 江苏)如图所示，正方体的棱长为 2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 10.（2020咸阳二模）正四棱锥PABCD的五个顶点在同一个

36、球面上，它的底面边长为6，高为 3，则它 的外接球的表面积为() A4B8C16D20 考点 13空间点、直线、平面的位置关系和平行证明 玩前必备 1. 空间点、线、面之间的位置关系 直线与直线直线与平面平面与平面 平行关系 图形 语言 符号 语言 aba 相交关系 图形 语言 符号 语言 abAaAl 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 独有关系 图形 语言 符号 语言 a，b 是异面直线a 2 直线与平面平行的判定与

37、性质 判定 性质 定义定理 图形 条件aa，b，aba a，a， b 结论abaab 3.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件 a， b， ab P，a，b ，a， b ，a 结论aba 玩转典例 题型题型一一点线面的位置关系点线面的位置关系 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 例例 1如图所示，在长方体 ABCDABCD中，如果把它的 12 条棱延伸为直线，6 个面延展为平面， 那么在这 12 条直线

38、与 6 个平面中： (1)与直线 BC平行的直线和平面分别有哪几个？ (2)与直线 BC垂直的直线和平面分别有哪几个？ (3)与平面 BC平行的平面有哪几个？ (4)与平面 BC垂直的平面有哪几个？ 题型题型二二线面平行的判定和性质线面平行的判定和性质 例例 2 （2020北京市平谷区高三一模）如图，在三棱柱ADFBCE中，平面ABCD 平面ABEF，侧面 ABCD为平行四边形，侧面ABEF为正方形，ACAB，24ACAB，M为FD的中点. （1）求证：/ /FB平面ACM； 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：2473602

39、52，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 例例 3 （2020厦门模拟）如图，四边形ABCD是边长为 2 的菱形，BF，DE，CG都垂直于平面ABCD， 且222CGBFED （1）证明：/ /AE平面BCF； 例例 4（2020龙岩一模）如图，在棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D中，E，F，M分别是棱AB，BC， AD的中点 （1）证明： 1 / /D M平面 1 AEF； 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：53

40、6036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 例例 5 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G， 过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证：PAGH. 题型题型三三面面平行的判定和性质面面平行的判定和性质 例例 6如图所示，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G 分别是棱 B1B，D1D，DA 的 中点求证：平面 AD1E平面 BGF. 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中

41、数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 例例 7(2020合肥质检)如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，BF平面 ABCD，DE平 面 ABCD，BFDE，M 为棱 AE 的中点 (1)求证：平面 BDM平面 EFC； 玩转练习 1.（2019 全国理 7）设，为两个平面，则的充要条件是 A内有无数条直线与平行B内有两条相交直线与平行 C，平行于同一条直线D，垂直于同一平面 2.(2018 浙江)已知平面，直线m，n满足m，n，则“mn”是“m”的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充分必要条件D既不充分也不必要条件 资料

42、下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 3.（2019江苏）如图，在直三棱柱 111 ABCA BC中，D，E分别为BC，AC的中点，ABBC 求证： （1） 11/ / AB平面 1 DEC； 4.(新课标全国，18)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 的中点 (1)证明：PB平面 AEC； 5.(新课标全国，18)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，D，E 分别是 AB，

43、BB1 的中点. (1)证明：BC1平面 A1CD； 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：247360252，高中数学学生解题交流群：536036395，高中数 学秒杀方法群：677837127， 6.(2016新课标全国，19)如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，ADBC，AB ADAC3，PABC4，M 为线段 AD 上一点，AM2MD，N 为 PC 的中点. (1)证明：MN平面 PAB； 7.(江苏，16)如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1中，已知 ACBC，BCCC1.设 AB1的中点为 D， B1CBC1E. 求证：(1)DE平面 AA1C1C； 8.(山东，18)如图，三棱台 DEF-ABC 中，AB2DE，G，H 分别为 AC，BC 的中点 (1)求证：BD平面 FGH； 资料下载来源：艺考学习资料群：796720832，高中数学资料群：975135149, 高中数学教师群：