2009年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题及详细解答（文科）.doc

1、 20092009 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试( (山东山东卷卷) ) 文文科数学科数学 本试卷分第卷和第卷两部分本试卷分第卷和第卷两部分,共共 4 页，满分页，满分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。考试结束后分钟。考试结束后,将本将本 试卷和答题卡一并交回试卷和答题卡一并交回. 注意事项：注意事项： 1. 答题前，考生务必用答题前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填 写在答题卡和试卷规定的位置上写在答题卡和试卷规定的位置上.，并将准考证号条形码粘

2、贴在答题卡上指定位置。，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。 2. 第卷每小题选出答案后，用第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3. 第卷必须用第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上不能写在试题卷上; 如如 需改动，先画掉原来的答案需改动，先画掉原来的答案,然后再写上新的答案然后再写上新的答案;不能使

3、用涂改液、胶带纸不能使用涂改液、胶带纸,修正带修正带,不按以不按以 上要求作答的答案无效。上要求作答的答案无效。 4. 填空题请直接填写答案填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.。 参考公式：参考公式： 柱体的体积公式 V=Sh，其中 S 是柱体的底面积，h 是锥体的高。 锥体的体积公式 V= 1 3 Sh，其中 S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 第卷第卷(共共 60 分分) 一、选择题：一、选择题：本大题共本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分。在每小题给出的四个选项中，只有分。在每小题给出的四

4、个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 1.集合0,2,Aa, 2 1,Ba,若0,1,2,4,16AB ,则a的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.4 【解析】:0,2,Aa, 2 1,Ba,0,1,2,4,16AB 2 16 4 a a 4a,故选 D. 答案:D 【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题 属于容易题. 2.复数 3 1 i i 等于（ ）. Ai 21 B.1 2i C.2i D.2 i 2. 【解析】: 2 2 3(3)(1)3242 2 1(1)(1)12 iiiiii i iiii ,故选 C.

5、 答案:C 【命题立意】:本题考查复数的除法运算，分子、分母需要同乘以分母的共轭复数，把分母变 为实数，将除法转变为乘法进行运算. 3.将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式 是( ). w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A. 2 2cosyx B. 2 2sinyx C.) 4 2sin(1 xy D. cos2yx 3. 【解析】:将函数sin2yx的图象向左平移 4 个单位,得到函数sin2() 4 yx 即 sin(2)cos2 2 yxx 的 图 象 ,再 向上 平移 1 个单 位 ,所 得图 象的函 数 解析 式为 2 1

6、 cos22cosyxx ,故选 A. 答案:A 【命题立意】:本题考查三角函数的图象的平移和利用诱导公式及二倍角公式进行化简解析式 的基本知识和基本技能,学会公式的变形. 4. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.22 3 B. 42 3 C. 2 3 2 3 D. 2 3 4 3 【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的, 圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面 边长为2，高为3，所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视

7、图 答案:C 【命题立意】:本题考查了立体几何中的空间想象能力, 由三视图能够想象得到空间的立体图,并能准确地 计算出.几何体的体积. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 5.在 R 上定义运算: abaabb2,则满足x)2( x0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围是 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】 : 设函数(0, x ya a且1a 和函数yxa,则函数 f(x)=a x -x-a(a0 且 a1)有两 个零点, 就是函数(0, x yaa且1a 与函数yxa有两个交点,由图象可知当 10 a时两函数只有一个交点,不符合,当1a时,因为函数(1) x

8、 yaa的图象过点(0,1), 而直线yxa所过的点（0，a）一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数 a 的取 值范围是1|aa. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 答案: 1|aa 【命题立意】 :本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查, 根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象进行解答. 开始 S=0,T=0,n=0 TS S=S+5 输出 T 是 否 15.执行右边的程序框图，输出的 T= . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】:按照程序框图依次执行为 S=5,n=2,T=2; S=10,n=4,T=2+4=6;S=

9、15,n=6,T=6+6=12; S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30S,输出 T=30 答案:30 【命题立意】:本题主要考查了循环结构的程序框图,一般都可以 反复的进行运算直到满足条件结束,本题中涉及到三个变量, 注意每个变量的运行结果和执行情况. 16.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类产品 5 件和 B 类产 品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类

10、产品 140 件,所需租 赁费最少为_元. 【解析】:设甲种设备需要生产x天, 乙种设备需要生产y天, 该公司所需租赁费为z元,则 200300zxy，甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品的情况为下表所示: w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 产品 设备 A 类产品 (件)(50) B 类产品 (件)(140) 租赁费 (元) 甲设备 5 10 200 乙设备 6 20 300 则满足的关系为 5650 1020140 0,0 xy xy xy 即: 6 10 5 214 0,0 xy xy xy , 作出不等式表示的平面区域,当200300zxy对应的直线过两直线 6 10 5 214

11、xy xy 的交点 (4,5)时，目标函数200300zxy取得最低为 2300 元. 答案:2300 【命题立意】:本题是线性规划的实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系, 最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分。 17.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=2)0(sinsincos 2 cossin 2 xxx在x处取 最小值. (1) 求.的值; (2) 在ABC 中,cba,分别是角 A,B,C 的对边,已知,2, 1ba 2 3 )(Af,求角 C 解: （1） 1 cos (

12、)2sincos sinsin 2 f xxxx sinsin coscos sinsinxxxx sin coscos sinxx sin()x 因为函数 f(x)在x处取最小值，所以sin()1 ,由诱导公式知sin1,因为 0,所以 2 .所以( )sin()cos 2 f xxx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）因为 2 3 )(Af,所以 3 cos 2 A ,因为角 A 为ABC 的内角,所以 6 A .又因为 ,2, 1ba所以由正弦定理,得 sinsin ab AB ,也就是 sin12 sin2 22 bA B a , 因为ba,所以 4 B或 4 3 B. 当

13、 4 B时, 7 6412 C ;当 4 3 B时, 3 6412 C . 【命题立意】:本题主要考查了三角函数中两角和差的弦函数公式、二倍角公式和三角函数的 性质,并利用正弦定理解得三角形中的边角.注意本题中的两种情况都符合. 18.（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中， 底面 ABCD 为等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1分别是棱 AD、AA1的中点. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （1） 设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE1/平面 FCC1

14、； （2） 证明:平面 D1AC平面 BB1C1C. 证明:（1）在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中，取 A1B1的中点 F1， 连接 A1D，C1F1，CF1，因为 AB=4, CD=2,且 AB/CD， 所以 CD= /A 1F1，A1F1CD 为平行四边形，所以 CF1/A1D， 又因为 E、E1分别是棱 AD、AA1的中点，所以 EE1/A1D， 所以 CF1/EE1，又因为 1 EE 平面 FCC1， 1 CF 平面 FCC1， 所以直线 EE1/平面 FCC1. （2）连接 AC,在直棱柱中，CC1平面 ABCD,AC平面 ABCD, 所以 CC1AC,因为底面 ABCD 为

15、等腰梯形，AB=4, BC=2, F 是棱 AB 的中点,所以 CF=CB=BF，BCF 为正三角形， 60BCF,ACF 为等腰三角形，且30ACF 所以 ACBC, 又因为 BC 与 CC1都在平面 BB1C1C 内且交于点 C, 所以 AC平面 BB1C1C,而AC 平面 D1AC, 所以平面 D1AC平面 BB1C1C. 【命题立意】: 本题主要考查直棱柱的概念、线面平行和线面垂直位置关系的判定.熟练掌握 平行和垂直的判定定理.完成线线、线面位置关系的转化. 19. （本小题满分 12 分） 一汽车厂生产 A,B,C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表 (单

16、位:辆): 轿车 A 轿车 B 轿车 C 舒适型 100 150 z 标准型 300 450 600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. （1） 求 z 的值. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D （2） 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中 任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; （3） 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6,

17、9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数 与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 解 : (1). 设 该 厂 本 月 生 产 轿 车 为 n 辆 , 由 题 意 得 , 5010 100300n , 所 以 n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以 400 10005 m ,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 S1,S2;B

18、1,B2,B3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车的基本事件有 7 个基 本事件: (S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取 2 辆,至少有 1 辆舒 适型轿车的概率为 7 10 . (3)样本的平均数为 1 (9.48.69.29.68.79.39

19、.08.2)9 8 x , 那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这6个数, 总的个数为 8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为75. 0 8 6 . 【命题立意】 :本题为概率与统计的知识内容,涉及到分层抽样以及古典概型求事件的概率问题. 要读懂题意,分清类型,列出基本事件,查清个数.,利用公式解答. 20.（本小题满分 12 分） 等比数列 n a的前 n 项和为 n S， 已知对任意的nN ，点( ,) n n S，均在函数 (0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像上. w.w.w.k.

20、s.5.u.c.o.m （1）求 r 的值； （11）当 b=2 时，记 1( ) 4 n n n bnN a 求数列 n b的前n项和 n T 解:因为对任意的nN ,点( ,) n n S，均在函数(0 x ybr b且1, ,bb r均为常数)的图像 上.所以得 n n Sbr, 当1n 时, 11 aSbr, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当2n时, 111 1 ()(1) nnnnn nnn aSSbrbrbbbb , 又因为 n a为等比数列, 所以1r , 公比为b, 所以 1 (1) n n abb （2）当 b=2 时， 11 (1)2 nn n abb , 11

21、111 44 22 n nn n nnn b a 则 2341 2341 2222 n n n T 34512 12341 222222 n nn nn T w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 相减,得 234512 1211111 2222222 n nn n T 31 2 11 (1) 11 22 1 22 1 2 n n n 12 311 422 nn n 所以 11 31133 22222 n nnn nn T 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 n S求 n a的基本题型,并运用 错位相减法求出一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前n项和 n

22、T. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 32 1 ( )3 3 f xaxbxx,其中0a w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （1） 当ba,满足什么条件时,)(xf取得极值? （2） 已知0a,且)(xf在区间(0,1上单调递增,试用a表示出b的取值范围. 解: (1)由已知得 2 ( )21fxaxbx,令0)( xf,得 2 210axbx , )(xf要取得极值,方程 2 210axbx 必须有解, 所以 2 440ba,即 2 ba, 此时方程 2 210axbx 的根为 22 1 244 2 bbabba x aa , 22 2 244 2 bbabba x aa ,

23、 所以 12 ( )()()fxa xxxx w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当0a时, x (-,x1) x 1 (x1,x2) x2 (x2,+) f(x) 0 0 f (x) 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 所以)(xf在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 当0a时, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m x (-,x2) x 2 (x2,x1) x1 (x1,+) f(x) 0 0 f (x) 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 所以)(xf在 x 1, x2处分别取得极大值和极小值. 综上,当ba,满足 2 ba时, )(xf取得极值. w.w.w.k.

24、s.5.u.c.o.m (2)要使)(xf在区间(0,1上单调递增,需使 2 ( )210fxaxbx 在(0,1上恒成立. 即 1 ,(0,1 22 ax bx x 恒成立, 所以 max 1 () 22 ax b x 设 1 ( ) 22 ax g x x , 2 22 1 () 1 ( ) 222 a x a a g x xx , 令( )0g x 得 1 x a 或 1 x a (舍去), w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当1a时, 1 01 a ,当 1 (0,)x a 时( )0g x , 1 ( ) 22 ax g x x 单调增函数; 当 1 (,1x a 时( )0g

25、 x , 1 ( ) 22 ax g x x 单调减函数, 所以当 1 x a 时,( )g x取得最大,最大值为 1 ()ga a . 所以ba 当01a时, 1 1 a ,此时( )0g x 在区间(0,1恒成立,所以 1 ( ) 22 ax g x x 在区间 (0,1上单调递增,当1x 时( )g x最大,最大值为 1 (1) 2 a g ,所以 1 2 a b 综上,当1a时, ba ; 当01a时, 1 2 a b w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在 区间上为单调函数,则导函数在该区间上的符

26、号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究 最值.运用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 22. （本小题满分 14 分） 设mR,在平面直角坐标系中,已知向量(,1)amx y,向量( ,1)bx y,ab,动点 ( , )M x y的轨迹为 E. （1）求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; （2）已知 4 1 m,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB(O 为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知 4 1 m,设直线l与圆C: 222 xyR(1R2)相切于A1,且l与轨迹E 只有一个公共点B1,

27、当 R 为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 解:（1）因为ab,(,1)amx y,( ,1)bx y, 所以 22 10a bmxy , 即 22 1mxy. 当 m=0 时,方程表示两直线,方程为1y; 当1m时, 方程表示的是圆 当0m且1m时,方程表示的是椭圆; 当0m时,方程表示的是双曲线. (2).当 4 1 m时, 轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y,设圆心在原点的圆的一条切线为ykxt,解方 程组 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4()4xkxt,即 222 (1 4)8440kxktxt, 要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使= 2

28、 22222 6416(1 4)(1)16(41)0k tktkt, 即 22 410kt ,即 22 41tk, 且 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x x k 222 222 222 12121212 222 (44)84 ()()() 1 41 41 4 ktk ttk y ykxt kxtk x xkt xxtt kkk , 要使OAOB, 需使 1 212 0x xy y,即 22222 222 444544 0 1 41 41 4 ttktk kkk , 所以 22 5440tk, 即 22 544tk且 22 41tk, 即 22 44205kk

29、恒成立. 所以又因为直线ykxt为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 2 1 t r k , 2 2 2 22 4 (1) 4 5 115 k t r kk , 所求的圆为 22 4 5 xy. 当 切 线 的 斜 率 不 存 在 时 , 切 线 为5 5 2 x, 与 2 2 1 4 x y交 于 点)5 5 2 ,5 5 2 (或 )5 5 2 ,5 5 2 (也满足OAOB. 综上, 存在圆心在原点的圆 22 4 5 xy， 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E恒有两个交点A,B, 且OAOB. (3)当 4 1 m时,轨迹 E 的方程为 2 2 1 4 x y,设直线l的方程为yk

30、xt,因为直线l与圆 C: 222 xyR(1R2)相切于 A1, 由（2）知 2 1 t R k , 即 222 (1)tRk , 因为l与轨迹 E 只有一个公共点 B1, 由（2）知 2 2 1 4 ykxt x y 得 22 4()4xkxt, 即 222 (1 4)8440kxktxt有唯一解 则= 2 22222 6416(1 4)(1)16(41)0k tktkt, 即 22 410kt , 由得 2 2 2 2 2 2 3 4 1 4 R t R R k R , 此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点, 由 12 2 2 12 2 8 14 44 14 kt xx k t x

31、 x k 中 21 xx ,所以, 22 2 1 22 441616 1 43 tR x kR , B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 2 22 11 2 14 1 43 R yx R ,所以 222 111 2 4 |5OBxy R , 在 直 角 三 角 形OA1B1中 , 22222 1111 22 44 |55()ABOBOARR RR 因 为 2 2 4 4R R 当且仅当2(1,2)R 时取等号,所以 2 11 |541AB,即 当2(1,2)R 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1. 【命题立意】 :本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通 过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.