2016年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学试题 （文科）解析版.doc

1、 绝密启用前 本试卷分第卷和第卷两部分，共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟.考试结束后，将将本 试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答 题卡和试卷规定的位置上. 2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效. 3. 第卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答， 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置， 不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶 带纸、

2、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式： 如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)P(B). 第第 I I 卷（共卷（共 5050 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的. （1）设集合1,2,3,4,5,6,1,3,5,3,4,5UAB，则() U AB=（ ） （A）2,6

3、（B）3,6 （C）1,3,4,5 （D）1,2,4,6 【答案】A 【解析】 试题分析： 由已知，1 3,53,4,51,3,4,5AB， 所以()1,3,4,52,6 UU CABC， 选 A. 考点：集合的运算 【名师点睛】本题主要考查集合的并集、补集，是一道基础题目.从历年高考题目看，集合的基本运 算，是必考考点，也是考生必定得分的题目之一. （2）若复数 2 1i z ，其中 i 为虚数单位，则z =（ ） （A）1+i （B）1i （C）1+i （D）1i 【答案】B 考点：1.复数的运算；2.复数的概念. 【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考

4、题目看，复数题 目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一. （3）某高校调查了 200 名学生每周的自习时间（单位：小时） ，制成了如图所示的频率分布直方图， 其中自习时间的范围是17.5，30，样本数据分组为17.5，20)， 20，22.5)， 22.5,25)，25，27.5)， 27.5，30).根据直方图，这 200 名学生中每周的自习时间不少于 22.5 小时的人数是（ ） （A）56 （B）60 （C）120 （D）140 【答案】D 【解析】 试题分析：由频率分布直方图知，自习时间不少于 22.5 小时的有 200 (0.160.080.0

5、4) 2.5140，选 D. 考点：频率分布直方图 【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见 不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. （4）若变量 x，y 满足 2, 239, 0, xy xy x 则 x2+y2的最大值是（ ） （A）4 （B）9 （C）10 （D）12 【答案】C 【解析】 试题分析：画出可行域如图所示，点31A（， ）到原点距离最大，所以 22 max ()10xy，选 C. 考点：简单线性规划 【名师点睛】本题主要考查简单线性规划的应用，是一道基础题目.从历年高考题目看，简单线性

6、规 划问题，是不等式中的基本问题，往往围绕目标函数最值的确定，涉及直线的斜率、两点间距离等， 考查考生的绘图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力. 5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ） （A） 12 + 33 （B） 12 + 33 （C） 12 + 36 （D） 2 1+ 6 【答案】C 考点：1.三视图；2.几何体的体积. 【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性 较强，较全面的考查考生的视图用图能力、空间想象能力、数学基本计算能力等. （6）已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 ，b内，则

7、“直线 a 和直线 b 相交”是“平面 和平面b相 交”的（ ） （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 试题分析： “直线a和直线b相交”“平面和平面相交” ，但 “平面和平面相交”“直线a和 直线b相交” ，所以“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的充分不必要条件，故选 A 考点：1.充要条件；2.直线与平面的位置关系. 【名师点睛】充要条件的判定问题，是高考常考题目之一，其综合性较强，易于和任何知识点结合. 本题涉及直线与平面的位置关系，突出体现了高考试题的基础性，能较好的考查考生分析问题解决问 题的能力、空间想

8、象能力等. （7）已知圆 M： 22 20(0)xyaya+-=截直线0xy+=所得线段的长度是2 2，则圆 M 与圆 N： 22 (1)1xy+-=（ -1）的位置关系是（ ） （A）内切 （B）相交 （C）外切 （D）相离 【答案】B 【解析】 试题分析： 由 22 20xyay（0a）得 2 22 xyaa（0a） ，所以圆的圆心为0,a，半径为 1 ra，因为圆截直线0xy所得线段的长度是2 2，所以 2 2 22 2 2 2 11 a a ，解得 2a，圆的圆心为1,1，半径为 2 1r ，所以 22 0 12 12 ， 12 3rr， 12 1rr，因为 1212 rrrr ，所以

9、圆与圆相交，故选 B 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系. 【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本 题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键， 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （8）ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 22 ,2(1sin )bc abA=-,则 A=（ ） （A） 3 4 （B） 3 （C） 4 （D） 6 【答案】C 考点：余弦定理 【名师点睛】本题主要考查余弦定理的应用、三角函数的同角公式及诱导公式，是高考常

10、考知识内容. 本题难度较小，解答此类问题，注重边角的相互转换是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问 题的能力、基本计算能力等. (9) 已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)=x3-1；当-1x1 时，f(-x)= f(x)；当 x 1 2 时， f(x+ 1 2 )=f(x 1 2 ).则 f(6)= （ ） （A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2 【答案】D 【解析】 试题分析： 当 1 2 x 时， 11 ()() 22 f xf x，所以当 1 2 x 时，函数( )f x是周期为1的周期函数，所以 (6)(1)ff，又因为当11x 时， fxf x，所以 3

11、 (1)( 1)112ff ， 故选 D. 考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数. 【名师点睛】本题主要考查分段函数的概念、函数的奇偶性与周期性，是高考常考知识内容.本题具 备一定难度.解答此类问题，关键在于利用分段函数的概念，发现周期函数特征，进行函数值的转化. 本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等. （10） 若函数( )yf x的图象上存在两点， 使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则称( )yf x 具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是（ ） （A）sinyx （B）lnyx （C）exy （D） 3 yx 【答案】A 【解析】 试题分析：由

12、函数的图象在两点处的切线互相垂直可知，存在两点处的切线斜率的积，即导函数值的 乘积为负一. 当sinyx时，cosyx ， 有c o s0c o s1， 所以在函数sinyx图象存在两点0,xx使 条件成立，故 A 正确；函数 3 ln , x yx yeyx的导数值均非负，不符合题意，故选 A. 考点：1.导数的计算；2.导数的几何意义. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、导数的几何意义及两直线的位置关系，本题给出常见的三角 函数、指数函数、对数函数、幂函数，突出了高考命题注重基础的原则.解答本题，关键在于将直线 的位置关系与直线的斜率、切点处的导数值相联系，使问题加以转化，利用特殊化思想

13、解题，降低难 度.本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力及转化与化归思想的应用等. 第第 II 卷（共卷（共 100 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 （11）执行右边的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出的 S 的值为_ 【答案】1 考点： 程 序框图 【名师点睛】自新课标学习算法以来，程序框图成为常见考点，一般说来难度不大，易于得分.题目 以程序运行结果为填空内容，考查考生对各种分支及算法语言的理解和掌握，本题能较好的考查考生 应用知识分析问题解决问题的能力等. （12）观察下列等式：

14、22 24 (sin)(sin)1 2 333 ； 2222 2344 (sin)(sin)(sin)(sin)2 3 55553 ； 2222 2364 (sin)(sin)(sin)(sin)3 4 77773 ； 2222 2384 (sin)(sin)(sin)(sin)4 5 99993 ； 照此规律， 2222 232 (sin)(sin)(sin)(sin) 21212121 n nnnn _ 【答案】 4 1 3 nn 考点：合情推理与演绎推理 【名师点睛】本题主要考查合情推理与演绎推理，本题以三角函数式为背景材料，突出了高考命题注 重基础的原则.解答本题，关键在于分析类比等号

15、两端数学式子的特征，找出共性、总结规律，降低 难度.本题能较好的考查考生逻辑思维能力及归纳推理能力等. （13）已知向量1,-()()16,-4ab，若 atab，则实数 t 的值为_ 【答案】5 【解析】 试题分析： 6, 4,6, 41, 12100tabtttabattt ，解得5t 考点：平面向量的数量积 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从 atab出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好的考查考生转化与化归思想、基本 运算能力等. （14）已知双曲线 E： 2 2 x a 2 2 y b =1（a0，b0） 矩形 ABCD 的

16、四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2|AB|=3|BC|，则 E 的离心率是_ 【答案】2 【解析】 试题分析： 依题意，不妨设6,4ABAD，作出图象如下图所示 则 21 24,2;25 32,1,ccaDFDFa 故离心率 2 2 1 c a 考点：双曲线的几何性质 【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论， 转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及 基本运算能力等. （15）已知函数 2 |, ( ) 24 , xxm f x xmxm xm 其中0m ，若存在实数

17、 b，使得关于 x 的方程 f（x） =b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是_. 【答案】3, 【解析】 试题分析： 画出函数图象如下图所示： 由图所示，要 f xb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即 22 24 ,30mmm mm mm，解得3m 考点：1.函数的图象与性质；2.函数与方程；3.分段函数 【名师点睛】本题主要考查二次函数函数的图象与性质、函数与方程、分段函数的概念.解答本题， 关键在于能利用数形结合思想，通过对函数图象的分析，转化得到代数不等式.本题能较好的考查考 生数形结合思想、转化与化归思想、基本运算求解能力等. 三、解答题：本大题共 6 小题，共

18、 75 分 （16） （本小题满分 12 分） 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次， 每次转 动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为 x，y.奖励规则如下： 若3xy ，则奖励玩具一个； 若8xy ，则奖励水杯一个； 其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. （I）求小亮获得玩具的概率； （II）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由. 【答案】 （） 5 16 .（）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 【解析】 试题分析：用数对, x y表示儿童参加活动

19、先后记录的数，写出基本事件空间与点集 ,|,14,14Sx yxN yNxy一一对应.得到基本事件总数. （）利用列举法，确定事件A包含的基本事件，计算即得. （）记“8xy ”为事件B， “38xy”为事件C. 确定事件B包含的基本事件共有6个， 事件C包含的基本事件共有5个，计算得到 P B 、 P C，比较即知. 试题解析：用数对, x y表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间与点集 则事件B包含的基本事件共有6个，即 2,4 , 3,3 , 3,44,2 , 4,3 , 4,4 , 所以， 63. 168 P B 则事件C包含的基本事件共有5个，即 1,4 , 2,2 , 2,3

20、 , 3,2 , 4,1 , 所以， 5 . 16 P C 因为 35 , 816 所以，小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率. 考点：古典概型 【名师点睛】本题主要考查古典概型概率的计算.解答本题，关键在于能准确确定所研究对象的基本 事件空间、基本事件个数，利用概率的计算公式求解.本题较易，能较好的考查考生数学应用意识、 基本运算求解能力等. （17） （本小题满分 12 分） 设 2 ( )2 3sin()sin(sincos )f xxxxx . （I）求( )f x得单调递增区间； （II）把( )yf x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，再把得到的图象向左

21、平移 3 个单位，得到函数( )yg x的图象，求 ( ) 6 g的值. 【答案】（） f x的单调递增区间是 5 , 1212 kkkZ （或 5 (,) 1212 kkkZ ） （）3. 【解析】 试题分析： （）化简 2 2 3sinsinsincosf xxxxx得 ( )2sin 231, 3 f xx 由222, 232 kxkkZ 即得 5 , 1212 kxkkZ 写出 f x的单调递增区间 （）由 f x2sin 231, 3 x 平移后得 2sin3 1.g xx进一步可得. 6 g 试题解析： （）由 2 2 3sinsinsincosf xxxxx 2 2 3sin1

22、2sin cosxxx 3 1 cos2sin21xx sin23cos23 1xx 2sin 231, 3 x 由222, 232 kxkkZ 得 5 , 1212 kxkkZ 再把得到的图象向左平移 3 个单位，得到y2sin3 1x的图象， 即 2sin3 1.g xx 所以 2sin313. 66 g 考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换. 【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此 类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、 进一步讨论函数的性质，利

23、用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.本题 较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等. （18） （本小题满分 12 分） 在如图所示的几何体中，D 是 AC 的中点，EFDB. （I）已知 AB=BC，AE=EC.求证：ACFB； （II）已知 G,H 分别是 EC 和 FB 的中点.求证：GH平面 ABC. 【答案】 （） ）证明：见解析； （）见解析. 【解析】 试题分析：（） ） 根据BDEF/， 知EF与BD确定一个平面， 连接DE， 得到ACDE ，ACBD ， 从而AC平面BDEF，证得FBAC . （）设FC的中点为I，连HIGI,，

24、在CEF，CFB中，由三角形中位线定理可得线线平行， 证得平面/GHI平面ABC，进一步得到/GH平面ABC. 试题解析： （） ）证明：因BDEF/，所以EF与BD确定一个平面，连接DE，因为EECAE, 为AC的中点，所以ACDE ；同理可得ACBD ，又因为DDEBD，所以AC平面 BDEF，因为FB平面BDEF，FBAC 。 （）设FC的中点为I，连HIGI,，在CEF中，G是CE的中点，所以EFGI /，又DBEF/， 所以DBGI/；在CFB中，H是FB的中点，所以BCHI /，又IHIGI，所以平面/GHI 平面ABC，因为GH平面GHI，所以/GH平面ABC. I F E H

25、G B D C A 考点：1.平行关系；2.垂直关系. 【名师点睛】本题主要考查直线与直线垂直、直线与平面平行.此类题目是立体几何中的基本问题.解 答本题，关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，给 出规范的证明.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力及转化与化归思想等. （19） （本小题满分 12 分） 已知数列 n a的前 n 项和 2 38 n Snn， n b是等差数列，且 1nnn abb . （I）求数列 n b的通项公式； （II）令 1 (1) (2) n n n n n a c b .求数列 n c的前 n 项和 n T. 【

26、答案】 （）13 nbn;（） 2 23 n n nT 试题解析： （）由题意当2n时，56 1 nSSa nnn ，当1n时，11 11 Sa；所以 56 nan；设数列的公差为d，由 322 211 bba bba ，即 db db 3217 211 1 1 ，解之得3, 4 1 db，所 以13 nbn。 （）由（）知 1 1 2) 1(3 )33( )66( n n n n n n n c，又 nn ccccT 321 ，即 2) 1(242322 3 1432 n n nT ，所以2) 1(242322 32 2543 n n nT，以上两式两边相减得 2221432 232) 1(

27、 12 ) 12(4 4 32) 1(22222 3 nn n nn n nnnT。 所以 2 23 n n nT 考点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列、等比数列的求和；3.“错位相减法”. 【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的“错位相 减法”.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高.解答本题，布列 方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数 列的项数.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. (20) (本小题满分 13 分) 设 f(x)=xlnxax2

28、+(2a1)x，aR. ()令 g(x)=f(x)，求 g(x)的单调区间； ()已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围. 【答案】()当0a时，函数 g x单调递增区间为0,； 当0a时，函数 g x单调递增区间为 1 0, 2a ，单调递减区间为 1 , 2a . () 1 2 a . 【解析】 试题分析：()求导数 ln22 ,fxxaxa 可得 ln22 ,0,g xxaxa x， 从而 11 2 2 ax gxa xx ， 讨论当0a时，当0a时的两种情况下导函数正负号，确定得到函数的单调区间. ()分以下情况讨论：当0a时，当 1 0 2 a时，当 1 2

29、a 时，当 1 2 a 时，综合即得. 试题解析：()由 ln22 ,fxxaxa 可得 ln22 ,0,g xxaxa x， 则 11 2 2 ax gxa xx ， 当0a时，0,x时， 0gx ，函数 g x单调递增； 当0a时， 1 0, 2 x a 时， 0gx ，函数 g x单调递增， 1 , 2 x a 时， 0gx ，函数 g x单调递减. 所以当0a时，函数 g x单调递增区间为0,； 当0a时，函数 g x单调递增区间为 1 0, 2a ，单调递减区间为 1 , 2a . ()由()知， 10f. 当0a时， 0fx ， f x单调递减. 所以当0,1x时， 0fx ， f

30、 x单调递减. 当1,x时， 0fx ， f x单调递增. 当 1 2 a 时，即 1 1 2a 时， fx在(0,1)内单调递增，在 1,内单调递减， 所以当0,x时， 0fx ， f x单调递减，不合题意. 当 1 2 a 时，即 1 01 2a ，当 1 ,1 2 x a 时， 0fx ， f x单调递增, 当1,x时， 0fx ， f x单调递减， 所以 f x在1x 处取得极大值，合题意. 综上可知，实数 a 的取值范围为 1 2 a . 考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本

31、题覆 盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关 键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算 能力、分类讨论思想等. (21) (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:（ab0）的长轴长为 4，焦距为 2. （I）求椭圆 C 的方程； ()过动点 M(0，m)(m0)的直线交 x 轴与点 N，交 C 于点 A，P(P 在第一象限)，且 M 是线段 PN 的中 点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于另一点 Q，延长线 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM、QM 的斜率分别为 k、k，证明 为定值

32、. (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 【答案】() 22 1 42 xy .()(i)见解析；(ii)直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 . 【解析】 试题分析：()分别计算, a b即得. ()(i)设 0000 ,0,0P x yxy， 利用对称点可得 00 ,2, 2.P xm Q xm 得到直线 PM 的斜率，直线 QM 的斜率，即可证得. (ii)设 1122 ,A x yB x y，分别将直线 PA 的方程ykxm，直线 QB 的方程3ykxm 与椭 圆方程 22 1 42 xy 联立， 应用一元二次方程根与系数的关系得到 21 xx、 21 yy及 AB k用k表示的式子

33、， 进一步应用基本不等 式即得. 所以 直线 PM 的斜率 00 2mmm k xx ， 直线 QM 的斜率 00 23 mmm k xx . 此时 3 k k ，所以 k k 为定值3. (ii)设 1122 ,A x yB x y， 直线 PA 的方程为ykxm， 直线 QB 的方程为3ykxm . 联立 22 1 42 ykxm xy ， 整理得 222 214240kxmkxm. 由 2 0 1 2 24 21 m x x k 可得 2 1 2 0 22 21 m x kx ， 所以 2 11 2 0 22 21 k m ykxmm kx ， 同理 22 22 22 00 2262 ,

34、 181181 mk m xym kxkx . 所以 2222 21 2222 000 2222322 18121181 21 mmkm xx kxkxkkx ， 2222 21 2222 000 62228612 18121181 21 k mmkkm yymm kxkxkkx ， 考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用, , ,a b c e的关系，确定 椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次 方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错 漏百出本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.