2003年全国高中数学联赛一试及解答.doc

1、2003 年全国高中数学联合竞赛试卷 一选择题（本题满分 36 分，每小题 6 分）本题共有 6 小题，每题均给出 A、B、C、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代 表字母填在题后的括号内，每小题选对得 6 分；不选、选错或选出的代表 字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分)。 1删去正整数数列 1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列 的第 2003 项是 A2046 B2047 C2048 D2049 答（ ） 2设 a，bR，ab0，那么直线 axyb0 和曲线 bx2ay2ab 的图形是 A B C D 答（ ） 3过抛物线 y28(

2、x2)的焦点 F 作倾斜角为 60o的直线，若此直线与抛物线交于 A、B 两点，弦 AB 的中垂线与 x 轴交于 P 点，则线段 PF 的长等于 A 3 16 B 3 8 C 3 316 D38 答（ ） 4若) 3 , 12 5 ( x，则) 6 cos() 6 tan() 3 2 tan( xxxy的最大值是 A 5 212 B 6 211 C 6 311 D 5 312 答（ ） 5.已知 x，y 都在区间(2，2)内，且 xy1，则函数 22 9 9 4 4 yx u 的最小值是 A 5 8 B 11 24 C 7 12 D 5 12 答（ ） 6.在四面体 ABCD 中，设 AB1，

3、CD3，直线 AB 与 CD 的距离为 2，夹角为 3 ，则 四面体 ABCD 的体积等于 A 2 3 B 2 1 C 3 1 D 3 3 答（ ） 二填空题（本题满分 54 分，每小题 9 分）本题共有 6 小题，要求直接将 答案写在横线上。 7不等式 | x | 32x24| x | 3 0 的解集是_ 8设 F1，F2是椭圆1 49 22 yx 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|2 : 1，则 得分 评卷人 得分 评卷人 y y y y x x x x 三角形PF1F2的面积等于_ 9已知 Axx24x30，xR，Bx21 xa0，x22(a7)50，xR， 若

4、AB，则实数 a 的取值范围是_ 10已知 a，b，c，d 均为正整数，且 4 5 log 2 3 logdb ca ，若 ac9，则 bd 11将 8 个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相 切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_ 12设 M n (十进制)n 位纯小数 n aaa 21 . 0ai只取 0 或 1（i1，2，n1，an 1，Tn是 Mn中元素的个数，Sn是 Mn中所有元素的和，则 n n n T S lim_ 三解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13设 2 3 x5，证明不等式1923153212xxx 14

5、设 A，B，C 分别是复数 Z0ai，Z1 2 1 bi，Z21ci（其中 a，b，c 都是实数） 对应的不共线的三点，证明：曲线 ZZ0cos4t2Z1cos2t sin2tZ2sin4t （tR） 与ABC 中平行于 AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点 15. 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A，且 OAa. 拆叠纸片，使圆周上某一 点 A/ 刚好与 A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当 A/取遍圆周上所有点时， 求所有折痕所在直线上点的集合 得分 评卷人 2003 年全国高中数学联合竞赛试卷 试题参考答案及评分标准 说明： 1评阅试卷时，请依据本评分

6、标准选择题只设 6 分和 0 分两档，填空题只设 9 分和 0 分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档 次 2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评 分标准当划分档次评分，5 分为一个档次。不要再增加其它中间档次 一选择题： 1注意到 4522025，4622116，2026a202645a1981，2115a211545a2070 而且在从第 1981 项到第 2070 项之间的 90 项中没有完全平方数 又 1981222003，a2003a1981+222026222048故选(C) 2题设方程可变形为 ya

7、xb 和1 2 2 2 2 b y a x ，则由观察可知应选(B) 3易知此抛物线焦点 F 与坐标原点重合，故直线 AB 的方程为xy3，因此，A，B 两 点的横坐标满足方程 3x28x160，由此求得 AB 中点的横坐标 3 4 0 x，纵坐标 3 4 0 y， 进而求得其中垂线方程为) 3 4 ( 3 1 3 4 xy，令 y0，得 P 点的横坐标 x 3 16 ，即 PF 3 16 ，故选(A) ) 6 cos( ) 3 4 2sin( 2 ) 6 cos( ) 3 2 sin() 3 2 cos( 1 ) 6 cos() 3 2 cot() 3 2 tan(.4 x x x xx x

8、xxy 因为 x 3 , 12 5 ， 6 , 4 6 , 3 2 , 2 3 4 2 xx， 因此 ) 3 4 2sin( 2 x 与) 6 cos( x在 3 , 12 5 上同为增函数，故当 3 x时，y 取最大值 6 311 故选(C) 5 由 已 知得 x y 1 ， 故 ) 4 9(37 35 1 2 2 x x u ， 而)2, 2 1 () 2 1 ,2(x， 故 当 3 24 9 2 2 2 x x x时有最小值 5 12 ，故选(D) 6如图，过 C 作 CEAB 且 CEAB，以CDE 为 底面，BC 为侧棱作棱柱 ABFECD，则所求四面体的体 积 V1等于上述棱柱体积

9、 V2的 3 1 而CDE 的面积 S 2 1 CECDsinECD，AB 与 CD 的公垂线 MN 就是棱 柱 ABFECD)的高，故 2 3 s i n 2 1 2 E C DCDCEMNV，因此 2 1 3 1 21 VV，故选(B) 二填空题： 7由原不等式分解可得(| x |3)(x2| x |1)0，由此得所求不等式的解集为 ) 3, 2 15 () 2 15 ,3( 8 设椭圆的长轴、 短轴的长及焦矩分别为 2a、 2b、 2c， 则由其方程知 a3， b2， c5， 故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，

10、 三边之长分别为 2，4，25，而 2242(25)2，可见PFlF2是直角三角形，且两直角边的 长为 2 和 4，故PFlF2的面积4 9 易得： A(1， 3)， 设5)7(2)(,2)( 21 xaxxgaxf x ， 要使BA， 只需 f (x)、 g (x)在(1，3)上的图象均在 x 轴下方，其充要条件是 f (1)0，f (3)0，g (1)0，g (3)0， 由此推出4a1 10由已知可得：dcba 4 5 2 3 ,，从而 42 )(,)( c d c a b a，因此 ab，cd又由于 a c9，故9)()( 42 c d a b ，即9)( 2 2 2 2 c d a b

11、 c d a b ，故得： 1 9 2 2 2 2 c d a b c d a b ，解得 32,125 16,25 db ca 故 bd93 11如图，由已知，上下层四个球的球心 A/，B/，C/，D/和 A，B， C，D 分别是上下两个边长为 2 的正方形的顶点，且以它们的外接圆 O/和O 为上下底面构成圆柱，同时，A/在下底面的射影必是弧 AB 的 中点 M在A/AB 中，A/AA/BAB2设 AB 的中点为 N，则 A/N 3 又 OMOA2，ON1，MN12A/M 4 8，故所求原来圆柱的高为28 4 12Mn中小数的小数点后均有 n 位，而除最后一位上的数字必为 1 外，其余各位上

12、的 数字均有两种选择(0 或 1)方法，故 1 2 n n T又因在这 2n 1个数中，小数点后第 n 位上的数字 全是 1，而其余各位上数字是 0 或 1，各有一半故 n n n n n n n S 10 1 2) 10 1 1 (2 9 1 ) 10 1 10 1 10 1 (2 2 1 1 1 2 12 1 18 1 10 1 ) 10 1 1 ( 18 1 limlim 1 nn n n n n T S 三解答题： 13解：(abcd)2a2b2c2d22(abacadbcbdcd)4(a2b2c2 d2) 2222 2dcbadcba (当且仅当 abcd 时取等号) 5 分 取xd

13、xcxba315,32,1，则 192142)315() 32() 1() 1(23153212xxxxxxxx 15 分 xxx315,32,1不能同时相等 1923153212xxx 20 分 14解：设 zxyi(x、yR)，则 tcittbiitayix 4224 sin)1 (sincos) 2 1 (2cos 22 2422 )1 (2)1 ( sinsinsincos cxxxbxay ttttx y(ac2b)x22(ba)xa，0x1 又A、B、C 三点不共线，故 ac2b0，可见所给曲线 是抛物线段(如图) 5 分 AB、BC 的中点分别是 D( 2 , 4 1ba )，E

14、( 2 , 4 3cb )， 直线 DE 的方程是)23( 4 1 )(cbaxacy 10 分 由联立得：0) 2 1 )(2( 2 xbca 15 分 ac2b0， 2 1 0) 2 1 ( 2 xx 由于 4 3 2 1 4 1 ，抛物线与ABC 中平行于 AC 的中位线有且仅有一个公共点， 此点的 坐标为) 4 2 , 2 1 ( bca ，对应的复数为i bca z 4 2 2 1 20 分 15解：如图，以 O 为原点，OA 所在直线为 x 轴 建立直角坐标系，则有 A(a，0)设折叠时，O 上点 A/(sin,cosRR)与点 A 重合，而折痕为直线 MN，则 MN 为线段 AA

15、/的中垂线设 P(x，y)为 MN 上任一点， 则PA/PA 5 分 2222 )()sin()cos(yaxRyRx 即axaRyxR2)sincos(2 22 10 分 22 22 22 2 2sincos yxR axaR yx yx 可得：)cos,(sin 2 2 )sin( 222222 22 yx y yx x yxR axaR 22 22 2 2 yxR axaR 1 (此不等式也可直接由柯西不等式得到) 15 分 平方后可化为 22 2 2 2 ) 2 () 2 () 2 ( ) 2 ( aR y R a x 1， 即所求点的集合为椭圆圆 22 2 2 2 ) 2 () 2 () 2 ( ) 2 ( aR y R a x 1 外(含边界)的部分 20 分