1、 2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分. 1设集合2,0,1,3A=，集合 2 |,2BxxAxA=-?则集合B中所有元素的和 为_ 2在平面直角坐标系xOy中，点AB、在抛物线 2 4yx=上，满足4OA OB?-，F是 抛物线的焦点. 则 OFAOFB SS ?_. 3在ABC中，已知sin10sinsin,cos10coscosABCABC=，则tan A的值为_. 4已知正三棱锥PABC-底面边长为1，高为2，则其内切球半径为_. 5设, a b为实数，函数( )f xaxb=+满足：对任意0,1x，有( )1f x .
2、 则ab的最 大值为_. 6从1, 2, 20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为_. 7若实数, x y满足42xyxy-=-，则x的取值范围是_. 8已知数列 n a共有9项，其中 19 1aa=，且对每个1, 2,8i，均有 1 1 2,1, 2 i i a a + 禳 镲 镲 ?睚 镲 镲铪 ，则这样的数列的个数为_. 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分，解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 9（本题满分 16 分） 给定正数 n x满足 1 2,2,3, nn SSn - ?， 这里 1nn Sxx=+. 证 明：存在常数0C ，使得 2 ,1,2, n n xCn匙=. 10 （本题满分 20 分） 在平面直角坐标系xOy中， 椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab +=， 12 AA、分别为椭圆的左、右顶点， 12 FF、分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上不同于 1 A和 2 A的任意一点. 若平面中两个点QR、满足 11221122 ,QAPA QAPARFPF RFPF，试 确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明. 11 （本题满分 20 分）求所有的正实数对( , )a b，使得函数 2 ( )f xaxb=+满足：对任意 实数, x y，有 ()()( ) ( )f xyf xyf x f y+?.
