高数竞赛复习资料.ppt

1、例、例、.0142;1:,.41,.,41,41,14313123010的的唯唯一一正正根根是是方方程程的的极极限限收收敛敛数数列列求求证证已已知知 xxaxxxxxxxxxnnnn:证明证明 .410有界有界nnxx ;4141,1411303230312xxxxxxx ;:121121222122 kkkkkkxxxxxx令令 413122212 kkkxxx .4122312单调减少单调减少子列子列nkkxxx 4132232112 kkkxxx .41121232单单调调增增加加子子列列 nkkxxx.lim,lim122bxaxnnnn ,414133122 baxxnn由由4141

2、33212 abxxnn由由 bbaaababba44443333 040422 abababbaabab 421412 ababba 122limlim nnnnxx .收敛收敛nx4141331 aaxxnn由由.0144 aa 041,010,144 ffxxxf设设 0,0443 xxxf.0144的正根存在且唯一的正根存在且唯一 xx例、例、.111.221111lim22222 nnnnnn求求:解解 22222111.221111:nnnnnxn令令 2222211.22111nnnnnnnnn ;11.11111211222211 nnnnnnnnn 1021limxxdxxn

3、n 20sincossincos tttdttx dttttttt 20cossincossincossin21 2200cossincossin2121 ttttddt .4cossinln21420 tt例、例、.42cos1lim121 ndtttnn求求:解解 1121112cos4142cosnnttddttt 11112cos1412cos41nntdttt 1212sin21cos2cos41ndtttnn 1212112sin21limcos2cos41lim42cos1limnndtttnnndtttnnnnn 1212sin21limcoslim4142coslimndtt

4、tnnnnnn;2sin21lim4111 ndtttnn 11112212sin210nndtttndtttn nnn0111;2sin21lim4111 ndtttnn 12142cos1limndxttnn02sin21lim11 ndtttnn.4142cos1lim121 ndtttnn例、例、.sintantansinsintanlim0 xxxxx 求求:解解 xxxxxxxxxxxxsintantansintantantantansintanlimsintantansinsintanlim00 ;sintantansintantanlimsintantantansintanli

5、m00 xxxxxxxxxx .1sintansectansinlimsintantantansintanlim20tan,sin0 xxxxxxxxxxxx 之间之间介于介于 .1limcos1tantancos1tantanlimsintantansintantanlim221221000 xxxxxxxxxxxxxxx .011sintantansinsintanlim0 xxxxx例、例、.01lim22的连续性的连续性讨论函数讨论函数 xxxfnnxnn:解解;2,1max:2 xxM令令nnnnnMxxM3212 nMMn,31 .2,1max1lim222 xxMxxfnnxnn

6、 ;2,21,10,1221 xxxxxxf 110101 fff 220202 fff .,0上上连连续续在在 xf例、例、.22,0,0cos.1coscos,.:0110121个根个根内至少有内至少有在在方程方程时时当当证明证明naxaxnanxaaaaaannnnn :证明证明 .2,0,cos.1coscos:011 xaxaxnanxaxfnn令令 .2,.,2,1,0,2,0,nkxnkxkk 设设 011cos.1coscosankanknanknaxfnnk ;1cos.1cos1011Aankanknaaknnk 0111cos1.1cos1ankanknaaAkknkn

7、01111cos.11cos1cosankanknanknaxfnnk ;11cos.11cos110111Bankanknaaknnk ;11cos1.11cos1011111ankanknaaBkknkn ;1111ABABxfxfkkkk 0111cos1.1cos1ankanknaaAkknkn 0111cos1.1cos1ankanknaaAkknkn .0,0.0121 Aaaaaannn ;11cos1.11cos1011111ankanknaaBkknkn 01111111cos1.11cos1ankanknaaBkknkn .0,0.0121 Baaaaannn ,12,.,

8、2,1,0,01 nkABxfxfkk ;1111ABABxfxfkkkk 由零点存在定理由零点存在定理上连续上连续在在,1 kkxxxf ,12,.,2,1,0,0,1 nkfxxkkkk 使得使得 .22,0,0cos.1coscos011个个根根内内至至少少有有在在即即方方程程naxaxnanxann 例、例、.,00,10,10,00,.2.,.12121221xfgfgfxgyfygxfyxfyxRxgxfxfxxxfxfxxRxf 求求恒恒有有且且对对任任意意的的上上定定义义在在实实数数集集和和求求恒恒有有对对任任意意上上定定义义在在实实数数集集设设 2.1xxfxxf :解解 0

9、0 xxxxfxxf 0lim0 xxfxxfx .0 xf .,00,10,10,00,.2xfgfgfxgyfygxfyxfyxRxgxf 求求恒有恒有且对任意的且对任意的上上定义在实数集定义在实数集和和:解解 xfxgxfxgxfxfxxf xgxfxgxf 1 xgfxfgxgxf00 xxfxxfxfx 0lim)(xfxfxgxgxgxfxx 0lim0lim00 .00 xgfxggxf 例、例、:解解 .lim,000,00,0 xtftxfxxfxxfytfffxfx 求求轴轴的的截截距距处处的的切切线线在在上上点点是是曲曲线线且且具具有有二二阶阶连连续续导导数数设设 xXx

10、fxfY .0 xfxfxtxtxfxf xfxfxtxxx 000limlimlim 000lim0 ffxfxfx .10.21210022 ttfttftfftf tf txfxxtftxfxx 00lim21lim tfxfxfxxfxxx 00limlim21 xfxxfxfx20lim021 xfxxfxfxx020limlim021 tf txfxxtftxfxx 00lim21lim xfxxfxfxx020limlim021 xfxfxfxx1lim2lim02100 012lim0210fxffx 0102021fff .2101021 ff例、例、.0,1,0,1,001

11、010 dxxfdxxfdxxxfxf使使得得证证明明存存在在且且上上连连续续在在设设:证明证明 ,:0dttftxxFx 令令 ,1,0,1,0内内可可导导在在上上连连续续在在xF ,00000 dttftF dttftF 1011 01010 dxxxfdxxf 10FF .0,1,0:FRolle使得使得定理得定理得由由 dtttfdttfxdttftxxFxxx000 dtttfdttfxxx00 .00dttfxxfxxfdttfxx .00 dxxfF 例、例、.0,2,0,22,0,2,0,2,012121 ffdxxfffxf使得使得证明存在一个证明存在一个且且内二阶可导内二阶

12、可导在在上连续上连续在在设设:证明证明 ,0,0,0212121ffxf 且且内内可可导导在在上上连连续续在在 .0,0:1211 fRolle使得使得定理定理由由 ,1,21上连续上连续在在xf 2121212211,:fdxxf 使使得得由由积积分分中中值值定定理理得得 .2222212121fffdxxf :,2,2,22定理定理由由内可导内可导在在上连续上连续在在Rollexf ,2,23 .0:3 f使得使得 ,3131内内可可导导在在上上连连续续在在 xf 031 ff .0,2,0,:31 fRolle使得使得定理定理由由例、例、.8max,1min,010,1,01,01,0

13、xfxfffxfxx试证试证且且上二阶导数连续上二阶导数连续在在设设:证明证明 ,1min,1,0:1,000 xfxfxx令令 .01,001000 xfxff 2021000:xxfxxxfxfxfx 由泰勒公式由泰勒公式 .,.102021之间之间介于介于xxxxfxfxx .0100.1202020021xfxff .1110.22012120121xfxff ;81,02020210 xfx 由由时时若若 .82,120121021 xfx 由由时时若若 .8:,1,0,f使得使得存在存在总之总之 .8max1,0 fxfx例、例、./,60,1000,2910秒秒米米加速度的绝对值

14、不小于加速度的绝对值不小于试证该车在途中某点的试证该车在途中某点的秒秒费时费时米米全长全长沿直线行驶沿直线行驶点停止点停止点开车到点开车到设某人自设某人自BA:证明证明 .;60,0,为路程为路程为时间为时间设设tsstt .060,00.100060,00 ssss:由泰勒公式由泰勒公式 .0,00.1121212121ttttsttstssts .60,60100060606060.2222212221 ttttsttstssts ;3030.3130129002121tstsst 代入代入 .10006030100030.4230229002221tstsst 代入代入 22900129

15、001000:43tsts 得得、由由 22900129001000tsts 22900129001000tsts ,900212900 ststs 21,maxtstss ./2910sms 例、例、.:,021 fcaxfcaxfcbabcaccfcbabbfcabaaf 使使得得存存在在必必有有一一数数试试证证明明上上具具有有二二阶阶导导数数在在函函数数设设:证明证明 .:xfcfbfafxFbcacbxaxcbabcxaxcabacxbx 令令 ,内可导内可导在在上连续上连续在在cbbacbbaxF ,0 afafaF ,0,0 cfcfcFbfbfbF .cFbFaF .0,0.,2

16、121 FFstcbbaRolle定理定理由由 ,212121 FFxF 且且内可导内可导在在上连续上连续在在 .0.,21 FstcaRolle定定理理由由 xfxFbcaccfcbabbfcabaaf 222 0222 fFbcaccfcbabbfcabaaf .21 fbcaccfcbabbfcabaaf 例、例、.1,0,:211 xexxx证明证明:证明证明 .11:2xexxxF 令令 xxexexF22121 .1,0,0414222222 xxeexeexFxxxx 单增单增单增单增xFFxFxF 00 011002 xexxFxF .1,0,211 xexxx例、例、.1,0

17、,arcsin1ln11 xxxxx证明证明:证明证明 .1ln1arcsin1:2xxxxxf 令令 11ln1arcsin21 xxxfxx .1,0,01lnarcsin21 xxxxfxx 00 fxfxf单减单减 ,01ln1arcsin12 xxxx .1,0,arcsin1ln11 xxxxx dxxxex cos1sin1:解解 dxxxedxxedxxxexxx cos1sincos1cos1sin1xxdexxxdxe cos1sincos1xxdexxexdxexxxcos1sincos1sincos1 dxxxxxxexxexdxexxx2cos1cos1sincos1

18、coscos1sincos1 xdxexdxexxexxxcos1cos1cos1sin.cos1sincxxex 例、例、dxxxexxexdxexxx2cos1cos1cos1sincos1 dxxxx cossin1tan2 22222111212tan21cossin1tantttttdttxtdxxxx 221212ttttdt tdtdtttdt11ctt 1lncxx 22tan1lntandxxxxx sin2cos5sin3cos7 dxxxxxbxxadxxxxx sin2cos5sin2cos5sin2cos5sin2cos5sin3cos7 ,sin2cos5sin52

19、cos25dxxxxbaxba 11352725:bababa令令:解解:解解例、例、例、例、dxxxxxxxdxxxxx sin2cos5sin2cos5sin2cos5sin2cos5sin3cos7 cxxxxxxxddx sin2cos5lnsin2cos5sin2cos5 dxxxxcos1sin xxdxxxdxdxxxxcos1sincos1cos1sin xxdxxdxxcos1sincos222 xxdxdxcos1cos1tan2 xdxxxxcos1lntantan22 cxxxx cos1lncosln2tan22:解解例、例、:解解dxxxxx 201010cossi

20、n4cossin 求求xttxdxxxx 222010cossin4sin dtttt 02221021cossin4sin dxxxx 2010cossin4cos.0cossin4cossin201010 dxxxxx 例、例、.tan1ln40 dxx求求:解解 dxxxdxx 4400cossin1lntan1ln dxxxx 40cossincosln 4400coslnsincosln xdxdxxx 44040coslnsin2ln xdxdxx 4440400coslnsinln2ln xdxdxxdx .coslnsinln2ln844040 xdxdxx xttxdxx 4

21、4440sinln 44020cosln1sinln tdtdtt 0coslnsinln44040 xdxdxx .2ln8tan1ln40 dxx例、例、.max,0,:24dxxfxfbfafxfbabaabbxa 则则有有如如果果上上的的连连续续可可微微函函数数对对于于证证明明:证明证明 :,根根据据中中值值定定理理有有设设理理条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定与与在在由由假假设设得得知知baxbxxaxf ,11xaaxfafxf ,22bxxbfxfbf 0 bfaf因为因为 .21bxfaxfxf 所以所以 则则设设,maxxfMbxa ,21MfMf .,xbMx

22、faxMxf 且且 dxxfdxxfabdxxfabbabababa222244 dxxbMdxaxMabbababa2224 .884222MMabMabab 例、例、.:22sin2124 dxxx 证证明明:证明证明 ,sincos,sin2xxxxxfxxxf 则则设设 ,sincos,xxxxgxf 设设符号符号为判别为判别 ,0sincossincos24 xxxxxxxxg则则 ;单单减减所所以以xg ,0,0,00 xfxgg从而从而故故又又 .,24 xxf单减单减由此由此 4sin2 fxxf于是于是 22sin2 xxdxdxxxdx 24242422sin2 从而从而.

23、22sin2124 dxxx 例、例、.1,0:21101所所围围成成的的立立体体体体积积平平面面轴轴旋旋转转所所得得旋旋转转面面与与两两绕绕求求直直线线 zzzLzyxzoxy yx,Rz解：解：21121101:zyxzyxL直线直线222211 zyxR 22211zRzA 截面积截面积 10dzzAV旋旋转转体体体体积积.1213211102 dzz例、例、.1211:面面的的方方程程轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转曲曲绕绕求求直直线线zzyxL :解解,12111211:tztytxzyxL直直线线 所得旋转曲面所得旋转曲面 zyxM,tttMLzM 1,2,1,的交点为的交点为与直线与直线轴的平面轴的平面作垂直于作垂直于过点过点 tzttyx14)1(2222.)1(4:2222 zzyxt旋转曲面的方程旋转曲面的方程消去消去例、例、