1、2.2 电位及其方程ERqP140点 两个方程求电位：往往需要建立电位的微分方程。02/02某点的电位电场力从该点将单位正电荷移动到零电位处做的功(WUq)解解(1)单个点电荷q的电场中任一点的电位:202000044444PPPPRRRRRRRRPqEdlrdlRqdRqRRqqRR 若令RP,则 Rq04单个点电荷电场的电位 (2)n个点电荷电场中的电位:;应用叠加原理,对每个点电荷计算电位,且均取无穷远处为参考点,则可得 iininiiRq0114(3)体、面、线电荷场中的电位:同样利用叠加原理,可得;体电荷:VvdvR04SsdsR04lldlR04面电荷:线电荷:书例书例2.7 位于
2、xoy平面上的半径为a、圆心在坐标原点的带电圆盘，面电荷密度为S，求z轴上的电位。解解：由面电荷产生的电位公式：022 1/2222 1/222 1/20000()1()4()()()4()2SSaSSrrdSrrrrzdSdddzdazzz以上结果是z0 的结论。对任意轴上的任意点，电位为)(2)(2/122zzazS 例例 设有一个半径为a的球体,其中均匀充满体电荷密度为v(C/m3)的电荷,球内外的介电常数均为。试求:(1)球内外的电场强度E;(2)球内外的电位分布;(3)画出球内外的E、随半径r的分布图。解解(1)因为电荷分布为均匀球体,所以电场有球对称性,即在与带电球同心,半径为r的
3、高斯面上,E是常数,方向是径向,可以应用高斯定理求距球心r处的电场强度。当ra时,03121344vSrErdsE所以)/(301mVrEv当ra时,0322344vaEr所以)/(32032mVraEv (2)因为电荷分布在有限区域,故球内、外的电位分布均可选无限远处为参考点。当ra时,)(630202211VradrEdrEEdrvvrara当ra时,)(30322VradrErv 计算电位ERdq4BBl dE?2 E 需要掌握直角坐标系下该算符的展开形式：22222222zyx)()(2uu2.2.2 电位方程电位方程 v2称为电位的泊松(Poisson)方程。如果介质中无自由电荷存在
4、,即v=0,则得 02上式称为电位的拉普拉斯(Laplace)方程。例例 若半径为a的导体球面的电位为U0,球外无电荷，求空间的电位。解：解：020122drdrdrdr12Cdrdr即 21rCdrd再对其积分一次，得 21CrC 在导体球面上，电位为U0，无穷远处电位为零。分别将r=a、r=代入上式，得 210CaCU0,201CaUC这样解出两个常数为 raUr0)(所以 E点点PPl dE 两个方程求电位：往往需要建立电位的微分方程。02/02例题例题2.5：电偶极子：电偶极子 电偶极子 用电偶极矩表示电偶极子的大小和空间取向，它定义为电荷q乘以有向距离l，即 qlp 电偶极子在空间任意点P的电位为 210114rrq其中，r1和r2分别表示场点P与q和-q的距离，r表示坐标原点到P点的距离。当1r时，cos2111cos2111cos21cos224cos21cos224212/12/12222/12/1221rlrrrlrrlrlrlrrlrlrlrr从而有 2030cos44qlrp rr 其电场强度在球坐标中的表示式为 30(2cossin)4rpEeer电偶极子的电场线 零电位面电力线yz00
