1、 经典三角形证明题选讲(含答案)三角形辅助线做法线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验 1.已知:AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求ADADBC1. 证明:延长AD到E,使DE=AD, 则ADCEBD BE=AC=2 在ABE中,AB-BEAEAB+BE ,10-22AD10+2 4AD6又AD是整数,则AD=5思路点拨:三角形中有中线,延长中线等中线。2.已知:BC=DE,B=E,C=D,F是CD中点,求证:1=2ABCDEF212.证明:连接BF和EF. BC=ED,CF=DF,BCF=EDF BCFEDF(边角边). BF=EF,CBF=DEF.
2、连接BE.在BEF中,BF=EF,EBF=BEF又 ABC=AED, ABE=AEB. AB=AE在ABF和AEF中,AB=AE,BF=EF,ABF=ABE+EBF=AEB+BEF=AEF. ABFAEF1=2.思路点拨:解答本题的关键是能够想到证明AB=AE,而AB、AE在同一个ABE中,可利用ABE=AEB来证明.同一三角形中线段等,可用等角对等边BACDF21E3.已知:1=2,CD=DE,EF/AB,求证:EF=AC证明:过E点,作EG/AC,交AD延长线于G则DEG=DCA,DGE=2又CD=DEADCGDE(AAS)EG=ACEFABDFE=11=2DFE=DGEEF=EGEF=A
3、C思路点拨:角平分线平行线,等腰三角形来添。4.已知:AD平分BAC,AC=AB+BD,求证:B=2C证明: 延长AC到E使CE=CD,连接 ED,则CDE=E AB=AC+CD AB=AC+CE=AE又BAD=EAD,AD=AD BADEAD B=EACB=E+CDE,ACB=2B 方法二在AC上截取AE=AB,连接EDAD平分BACEAD=BAD又AE=AB,AD=ADAEDABD(SAS)AED=B,DE=DBAC=AB+BD ,AC=AE+CE CE=DEC=EDCAED=C+EDC=2C B=2C思路点拨:线段等于线段和,理应截长或补短5.已知:AC平分BAD,CEAB,B+D=18
4、0,求证:AE=AD+BE证明:过C作CFAD交AD的延长线于F.在CFA和CEA中 CFACEA90又CAFCAE, AC=ACCFACEA , AEAFADDF, CE=CFBADC180,FDCADC180 BFDCE在CEB和CFD中 ,CE=CF,CEBCFD90, BFDCECEBCFDBEDF AEADBE思路点拨:图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现6. 如图,四边形ABCD中,ABDC,BE、CE分别平分ABC、BCD,且点E在AD上。求证:BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF. ABE=FBE,BE=BE, ABEFBE(SA
5、S),EFB=A;ABCD, A+D=180;又EFB+EFC=180, EFC=D;又FCE=DCE,CE=CE, FCEDCE(AAS),FC=CD.BC=BF+FC=AB+CD. 思路点拨:线段等于线段和,理应截长或补短法二:延长BE交CD的延长线于点F,易证BC=FC=FD+DC又BCE=FCEBE=FE; 易证ABEDFE AB=FD BC=AB+DC法三:易证BEC=90,取BC中点F,连接EF,则;FEB=FBE=ABEABEF同理DCEF又F为BC中点 E为BC中点 BC=AB+DC思路点拨:三角形两边有中点,连接可得中位线。梯形一腰有中点,亦可尝试中位线法四:过E作EF/AB
6、交BC于点F,则FEB=ABE=FBE EF=BF,同理EF=CF, BF=CF, EF=又EF/AB/DC AE=ED BC=AB+DC思路点拨:角平分线平行线,等腰三角形来添。7. 已知:AB/ED,EAB=BDE,AF=CD,EF=BC,求证:F=CDCBAFE证明:连接BEABED, ABE=DEB又EAB=BDE ,BE=EBABEDEB,AE=DB又AF=CD,EF=BCAFEDCB,C=F8如图,在ABC中,BD=DC,1=2,求证:ADBC证明:延长AD至H交BC于H;BD=DC, DBC=DCB1=2, DBC+1=DCB+2;即ABC=ACB, AB=ACABDACD, B
7、AD=CADADBC思路点拨:中线、垂线、角平分线,三线合一试试看。9如图,OM平分POQ,MAOP,MBOQ,A、B为垂足,AB交OM于点N求证:OAB=OBA证明:OM平分POQ ,MAOP,MBOQMA=MBMAB=MBAOAM=OBM=90度OAB=90-MAB ,OBA=90-MBAOAB=OBA思路点拨:同一三角形中角相等,可用等边对等角10已知:BC=DE,B=E,C=D,F是CD中点,求证:AFCD ABCDEF证明:同2先证出AB=AE,然后连接AC、AD,再证明ABCAED,从而AC=AD, 又F是CD的中点,AFCD11.如图,在ABC中,已知AB=AC,1=2,求证:B
8、D=DC证明:AB=AC ABC=ACB 又 1=2 DBC=DCB BD=DC12(改编)如图,在ABC中,已知AB=AC,ADB=ADC,求证:BD=DC提示:将ADB绕点A逆时针旋转BAC得AEC,连接DE,可证出CDE=CED从而CD=CE=BD思路点拨:当题中出现等腰三角形时,可以考虑用旋转的方法打开思路,添加辅助线。特别是题中有正方形、等边三角形、等腰直角三角形时 ,更是如此13如图,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DEAC于E,BFAC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M(1)求证:MB=MD,ME=MF(2)当E、F两点移动到如图的位置时,其余条件不变,上述结论
9、能否成立?若成立请给予证明;若不成立请说明理由(1)证明:连接BE,DFDEAC于E,BFAC于F,DEC=BFA=90,DEBF,在RtDEC和RtBFA中,AF=CE,AB=CD,RtDECRtBFA,DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD,ME=MF;(2)解:上述结论仍然成立证明如下:连接BE,DFDEAC于E,BFAC于F,DEC=BFA=90,DEBF,在RtDEC和RtBFA中,AF=CE,AB=CD,RtDECRtBFA,DE=BF四边形BEDF是平行四边形MB=MD,ME=MF 本题也可以用证明两次三角形全等的方法14已知:如图,DCAB,且DC=AE,E为AB的中点
10、,(1)求证:AEDEBC(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除EBC外,请再写出两个与AED的面积相等的三角形(直接写出结果,不要求证明):(1) 证明:DCAE,且DC=AE,四边形AECD是平行四边形。于是知AD=EC,且EAD=BEC。由AE=BE, AEDEBC。(2)解:AEC、ACD、ECD都与AED面积相等。15如图,ABC中,BAC=90度,AB=AC,BD是ABC的平分线,BD的延长线垂直于过C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F求证:BD=2CE证明: BECE BEF=BEC=90 在BEF和BEC中 FBE=CBE, BE=BE, BEF=BEC BEFBEC(
11、ASA) EF=EC CF=2CE ABD+F=90,ACF+F=90 ABD=ACF 在ABD和ACF中 ABD=ACF, AB=AC, BAD=CAF=90 ABDACF(ASA) BD=CF BD=2CE思路点拨:如何发现哪两个三角形全等?可以通过旋转来发现16、如图:AE、BC交于点M,F点在AM上,BECF,BE=CF。求证:AM是ABC的中线。证明:BECFE=CFM,EBM=FCMBE=CFBEMCFMBM=CMAM是ABC的中线. 17、AB=AC,DB=DC,F是AD的延长线上的一点。求证:BF=CF证明:在ABD与ACD中AB=AC ,BD=CD, AD=ADABDACDB
12、AD=CADBDF=FDC在ABF与ACF中AB=AC,BAD=CAD,AF=AFABFACF,BF=CF本题也可利用线段的垂直平分线定理来证,该证法更简洁18、如图:AB=CD,AE=DF,CE=FB。求证:AF=DE。证明:AB=DC AE=DF CE=FB CE+EF=EF+FBABECDF DCB=ABFAB=DC BF=CEABFCDEAF=DE本题亦可用平行四边形的知识来证明19. .公园里有一条“Z”字形道路ABCD,如图所示,其中ABCD,在AB,CD,BC三段路旁各有一只小石凳E,F,M,且BECF,M在BC的中点,试说明三只石凳E,F,M恰好在一条直线上.证明:AB平行CD
13、(已知)B=C(两直线平行,内错角相等)M在BC的中点(已知)BM=CM(中点定义)在BME和CMF中 BE=CF(已知) B=C(已证) BM=CM(已证)BMECMF(SAS)EMB=FMC(全等三角形的对应角相等)EMF=EMB+BMF=FMC+BMF=BMC=180(等式的性质)E,M,F在同一直线上思路点拨:要证明E、M、F三点在同一条直线上,只需证明EMF=18020已知:点A、F、E、C 在同一条直线上, AFCE,BEDF,BEDF求证:ABECDF证明:AF=CEAF+EF=CE+EFAE=CFBE/DFBEA=DFC又BE=DF ABECDF(SAS)21已知:如图,AB=
14、AC,BDAC,CEAB,垂足分别为D、E,BD、CE相交于点F,ACBDEF求证:BE=CD证明:连接BC AB=AC, EBC=DCB BDAC,CEAB BEC=CDB BC=CB (公共边) EBCDCB BECD也可证CEABDA,从而AE=AD,又AB=AC,AB-AE=AC- AD, BECD22 . 已知:如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于A , BC =AE若AB = 5 ,DCBAE求AD 的长?解:C=E=90度B=EAD=90度-BACBC=AEABCDAEAD=AB=523如图:AB=AC,MEAB,MFAC,垂足分别为E、F,ME=MF。求证:M
15、B=MC证明AB=AC ,B=CMEAB,MFAC MEB=MFC=90又ME=MF,BEMCFMMB=MC24在ABC中,直线经过点,且于,于.(1)当直线绕点旋转到图1的位置时,求证: ;(2)当直线绕点旋转到图2的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.(1)ADC=ACB=BEC=90,CAD+ACD=90,BCE+CBE=90,ACD+BCE=90CAD=BCEAC=BC,ADCCEBADCCEB,CE=AD,CD=BEDE=CE+CD=AD+BE(2)ADC=CEB=ACB=90,ACD=CBE又AC=BC,ACDCBECE=AD,CD=BEDE=C
16、ECD=ADBE25如图所示,已知AEAB,AFAC,AE=AB,AF=AC。求证:(1)EC=BF;(2)ECBFAEBMCF(1)AEAB,AFAC,BAE=CAF=90,BAE+BAC=CAF+BAC,即EAC=BAF,在ABF和AEC中,AE=AB,EAC=BAF,AF=AC,ABFAEC(SAS),EC=BF;(2)如图,根据(1),ABFAEC,AEC=ABF,AEAB,BAE=90,AEC+ADE=90,ADE=BDM(对顶角相等),ABF+BDM=90,在BDM中,BMD=180-ABF-BDM=180-90=90,ECBF 26如图:BEAC,CFAB,BM=AC,CN=AB
17、。求证:(1)AM=AN;(2)AMAN。证明:(1)BEAC,CFABABM+BAC=90,ACN+BAC=90ABM=ACNBM=AC,CN=AB ABMNCAAM=AN(2)ABMNAC,BAM=NN+BAN=90 BAM+BAN=90即MAN=90 AMAN也可先证明BFMCFA得BF=CF,FM=FA 又CN=AB AB- BF= CN- CFFA= FN,FM=FA= FN, 又AFM=AFN=90AM=AN,3=4=45AMAN27如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BCEF证明:在ABF和CDE中, AB=DE,A=D, AF=CDABFCDE(边角边
18、),FB=CE在四边形BCEF中,FB=CE ,BC=EF四边形BCEF是平行四边形, BCEF29、 如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE求证:BECF证明:AD是ABC的中线 BD=CDDF=DE(已知),BDE=FDC BDEFDC EBD=FCD BECF(内错角相等,两直线平行) 28、已知:如图,ABCD,DEAC,BFAC,E,F是垂足,ADECBF求证:证明:DEAC,BFAC,DEC=BFA=90,在RtDEC和RtBFA中,DE=BF,AB=CD,RtDECRtBFA,C=A,ABCDACEDB29、 如图,已知ACAB,DBAB,ACBE,AEBD,试猜想线段
19、CE与DE的大小与位置关系,并证明30、 如图,已知ABDC,ACDB,BECE,求证:AEDE.ABECD证明:AB=DC,AC=DB,BC=BCABCDCB,ABC=DCB又BE=CE,AB=DC ABEDCEAE=DEABCDEF图9*31如图9所示,ABC是等腰直角三角形,ACB90,AD是BC边上的中线,过C作AD的垂线,交AB于点E,交AD于点F,求证:ADCBDE证明:作CG平分ACB交AD于GACB=90ACG= DCG=45ACB=90 AC=BCB=BAC=45B=DCG=ACGCFADACF+DCF=90 ACF+CAF=90CAF=DCF AC=CB ACG=BACGC
20、BECG=BE DCG=B CD=BDCDG BDEADC=BDE32、已知:D是AB中点,ACB=90,求证:DABC延长CD与P,使D为CP中点。连接AP,BPDP=DC,DA=DBACBP为平行四边形又ACB=90平行四边形ACBP为矩形AB=CP=1/2AB33.已知:AB=CD,A=D,求证:B=CABCD证明:设线段AB,CD所在的直线交于E,(当ADBC时,E点是射线AB,DC的交点)。则:AED是等腰三角形。AE=DE而AB=CDBE=CE (等量加等量,或等量减等量)BEC是等腰三角形B=C.34.P是BAC平分线AD上一点,ACAB,求证:PC-PBDE。当AEB越小,则DE越小。证明:过D作AE平行线与AC交于F,连接FB由已知条件知AFDE为平行四边形,ABEC为矩形 ,且DFB为等腰三角形。RTBAE中,AEB为锐角,即AEB90DF/AE FDB=AEB45RTAFB中,FBA=90-DBF 45ABAFAB=CE AF=DECEDE
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