2020年高考（北京卷）名师押题压轴卷 数学试题（附答案与详解）.docx

1、2020 年年高考高考（北京卷）名师（北京卷）名师押题押题压轴卷压轴卷 数 学 本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考 试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。项。 1. 已知集合 |13 Axx， 2 |4BxxZ ，则 AB （A）0,1 （B） 1,0,1 （C） 1,0,1,2 （D） 2, 1,0,1,2

2、 2 已知复数 i i z 1 1 ，则z （A）1 （B）3 （C）2 （D）2 3. 6 ) 2 ( x x的展开式中的常数项为 （A）20- （B）20 （C）160- （D）160 4. 设, a bR，若ab，则 （A） 11 ab （B）2 1 b a （C）22 ab （D）lglgab 5. 若角的终边在第一象限,则下列三角函数值中不是 nasi 的是 （A）) 2 (cos a （B）) 2 (cosa （C）) 2 (cos- a （D）) 2 (cos a 6. 设ba,是非零向量，则“ba,共线”是“baba”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充

3、分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 的值为，则的一条渐近线倾斜角为已知双曲线ay a x 3 2 1 2 2 （A）-3 （B） 3 3 （C）3 （D） 3 3 8. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边 长为 1）,则 该三棱锥的体积为 （A）4 （B）2 （C） 8 3 （D） 4 3 9. 在平行四边形ABCD中， = 3 A，= 2AB，1AD，若M，N分别是边BC，CD上的点，且 满足 | | BMCN BCCD ，则AM AN的最小值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 10. 已知函数 , 2, 22 , 2, 12 )( 2 x xxx xf x 且

4、存在不同的实数 x1，x2，x3，使得)( 1 xff(x2)f(x3)， 则 x1 x2 x3的取值范围是( ) （A）(0，2) （B）0，2 （C） (0，3) （D）0，3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 函数( )sin2cos2f xxx的最小正周期是_ 正（主）视图 俯视图 侧（左）视图 （12）圆13 22 yx的圆心到直线310xy 的距离为 （13）设等差数列 n a的前n项和为 n S,若127 69 aS，则数列 n a的公差为_. （14）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的

5、两个全等的等腰直角三角形，该 几何体的体积是_； （15）已知集合 22 ()|(cos )(sin )4 0Px yxy ,.由集合P中所有的点组成的图形如图 中阴影部分所示， 中间白色部分形如美丽的 “水滴” . 给出下列结论： “水滴” 图形与 y 轴相交， 最高点记为 A， 则点 A 的坐标为），（30； 在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 4； 阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则33CD ； 白色“水滴”图形的面积是 11 3 6 . 其中正确的有_ 注：注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0

6、分，其他得 3 分. 三、解答题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 已知ABC满足 ，且, 3 2 ,6 Ab求Csin的值及ABC面积 从 4 B3aBasin23这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 17.(本小题共 14 分) 如图， 在三棱柱 111中， 平面11， = 1= 2 = 2，1= 3， 点为11的 中点。 （I）求证：1 平面； （II）求二面角 的大小。 （18） （本小题 14 分） 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾驶技术也日

7、趋成熟为了尽快在实际生活中 应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试某机构调 查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车， 按照每辆车的行驶里程(单位： 万公里)将这些汽车分为4 组：5,6)，6,7)，7,8)，8,9并整理得到如下的频率分布直方图： （）求a的值； （）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本从样本中行驶里 程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求 X的分布列和数学期望； （）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为 0 若用分层抽样的方法从上述4组

8、无人 驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为 1 ；若用简单随机抽样的方法从上述 无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本， 其行驶里程的平均数为 2 有同学认为 0102 ， 你认为正确吗？说明理由 19 （本小题满分 15 分） 已知函数 ln1 ( ) x f xax x . （）当2a 时,（i）求曲线( )yf x在点(1, (1)f处的切线方程; （ii）求函数( )f x的单调区间; （）若12a,求证:( )1f x . 20 （本小题满分 15 分） 已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点，焦点在 x 轴上，且经过点 A(0，2 3)，离心率为1 2. (1)求椭圆

9、 P 的方程； (2)是否存在过点 E(0，4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R，T，且满足OR OT 16 7 ？若存在，求直 线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分 15 分） 已知项数为 * 2m mNm，的数列 n a满足如下条件： * 1,2, n aNnm； 12 . m aaa 若数列 n b满足 12* 1 mn n aaaa bN m ，其中 1,2,nm 则称 n b为 n a 的“伴随数列”. （I）数列13579， ， ， ，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由； （II）若 n b为 n a的“伴随数列”，证明：

10、12 m bbb； （III）已知数列 n a存在“伴随数列” n b ，且 1 12049 m aa，求m最大值. 答案与解析答案与解析 第一部分（选择题 共 40 分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项。项。 1. 已知集合 |13 Axx， 2 |4BxxZ ，则 AB （A）0,1 （B） 1,0,1 （C） 1,0,1,2 （D） 2, 1,0,1,2 2 已知复数 i i z 1 1 ，则z （A）1 （B）3 （C）2 （D）2

11、 4. 6 ) 2 ( x x的展开式中的常数项为 （A）20- （B）20 （C）160- （D）160 4. 设, a bR，若ab，则 （A） 11 ab （B）2 1 b a （C）22 ab （D）lglgab 5. 若角的终边在第一象限,则下列三角函数值中不是 nasi 的是 （A）) 2 (cos a （B）) 2 (cosa （C）) 2 (cos- a （D）) 2 (cos a 6. 设ba,是非零向量，则“ba,共线”是“baba”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 7. 的值为，则的一条渐近线倾斜角为已知双

12、曲线ay a x 3 2 1 2 2 （A）-3 （B） 3 3 （C）3 （D） 3 3 8. 某三棱锥的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为 1）,则 该三棱锥的体积为 （A）4 （B）2 （C） 8 3 （D） 4 3 9. 在平行四边形ABCD中， = 3 A，= 2AB，1AD，若M，N分别是边BC，CD上的点，且 满足 | | BMCN BCCD ，则AM AN的最小值为 （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 10. 已知函数 , 2, 22 , 2, 12 )( 2 x xxx xf x 且存在不同的实数 x1，x2，x3，使得)( 1 xff(x2)f(x3)， 则 x1

13、 x2 x3的取值范围是( ) （A）(0，2) （B）0，2 （C） (0，3) （D）0，3 第二部分（非选择题 共 110 分） 二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。 （11） 函数( )sin2cos2f xxx的最小正周期是_ 答案： （12）圆13 22 yx的圆心到直线310xy 的距离为 答案：1 正（主）视图 俯视图 侧（左）视图 （14）设等差数列 n a的前n项和为 n S,若127 69 aS，则数列 n a的公差为_. 答案：-2 （14）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该 几何体的体积是_； 答案

14、： 1 3 （15）已知集合 22 ()|(cos )(sin )4 0Px yxy ,.由集合P中所有的点组成的图形如图 中阴影部分所示， 中间白色部分形如美丽的 “水滴” . 给出下列结论： “水滴” 图形与 y 轴相交， 最高点记为 A， 则点 A 的坐标为），（30； 在集合 P 中任取一点 M，则 M 到原点的距离的最大值为 4； 阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C，D，则33CD ； 白色“水滴”图形的面积是 11 3 6 . 其中正确的有_ 注：注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求.全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分. 答案. 三、解答

15、题共 6 小题，共 85 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.(本小题满分 14 分) 已知ABC满足 ，且, 3 2 ,6 Ab求Csin的值及ABC面积 从 4 B3aBasin23这三个条件中选一个，补充上面的问题中，并完成解答。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 解： （不可以选择作为补充条件.） 选择作为补充条件. 2 分 解答如下： 因为在ABC中，ABC， 所以sin sin()CAB 4 分 sincoscossinABAB 6 分 22 sincoscossin 3434 62 4 . 8 分 在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，得

16、 sin 3 sin bA a B . 11 分 所以ABC的面积 193 3 sin 24 SabC . 14 分 选择作为补充条件. 2 分 解答如下： 在ABC中，由3 2sinaB，以及正弦定理 sinsin ab AB ， 4 分 得 3 2sin6 2 sin sin 3 B B ，解得 2 1 sin 2 B . 由 2 3 A，得B为锐角， 所以 4 B ，且3 2sin3aB. 6 分 因为在ABC中，ABC， 所以sin sin()CAB 8 分 sincoscossinABAB 10 分 22 sincoscossin 3434 62 4 . 11 分 所以ABC的面积

17、193 3 sin 24 SabC . 17.(本小题共 14 分) 如图， 在三棱柱 111中， 平面11， = 1= 2 = 2，1= 3， 点为11的 中点。 （I）求证：1 平面； （II）求二面角 的大小。 （17） 解： （） 因为AB 平面 11 BBC C， 1 C B 平面 11 BBC C 所以 1 ABC B. 在 1 BCC中，1BC , 1 3BC , 1 2CC , 所以 222 11 BCBCCC. 所以 1 CBC B. 因为ABBCB, ,AB BC 平面ABC， 所以 1 C B 平面ABC. （）由（）知， 1 ABC B, 1 BCC B,ABBC ,

18、如图,以B为原点建立空间直角坐标系B xyz. 则(0,0,0)B ， 1 (, 3,1) 2 E ， (1,0,0)C. (1,0,0)BC ， 1 (, 3,1) 2 BE . 设平面BCE的法向量为( , , )x y zn， 则 0, 0. BC BE n n 即 0, 1 30. 2 x xyz 令3y 则0x ，3z , 所以(0, 3, 3)n. 又因为平面ABC的法向量为 (0,1,0)m ， 所以 1 cos, |2 m n m n m n . 由题知二面角ABCE为锐角，所以其大小为 3 . （18） （本小题 14 分） 近年来，随着5G网络、人工智能等技术的发展，无人驾

19、驶技术也日趋成熟为了尽快在实际生活中 应用无人驾驶技术，国内各大汽车研发企业都在积极进行无人驾驶汽车的道路安全行驶测试某机构调 查了部分企业参与测试的若干辆无人驾驶汽车， 按照每辆车的行驶里程(单位： 万公里)将这些汽车分为4 组：5,6)，6,7)，7,8)，8,9并整理得到如下的频率分布直方图： （）求a的值； （）该机构用分层抽样的方法，从上述4组无人驾驶汽车中随机抽取了10辆作为样本从样本中行驶里 程不小于7万公里的无人驾驶汽车中随机抽取2辆，其中有X辆汽车行驶里程不小于8万公里，求 X的分布列和数学期望； （）设该机构调查的所有无人驾驶汽车的行驶里程的平均数为 0 若用分层抽样的方法

20、从上述4组无人 驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本，其行驶里程的平均数为 1 ；若用简单随机抽样的方法从上述 无人驾驶汽车中随机抽取10辆作为样本， 其行驶里程的平均数为 2 有同学认为 0102 ， 你认为正确吗？说明理由 （18） （本小题 14 分） 解： （）由题意知，1 (0.1 0.20.4)1a，所以0.3a 3 分 （）4组无人驾驶汽车的数量比为1:2:4:3，若使用分层抽样抽取10辆汽车， 则行驶里程在7,8)这一组的无人驾驶汽车有 4 104 10 辆， 行驶里程在8,9这一组的无人驾驶汽车有 3 103 10 辆 由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2 2 4 2 7 2

21、 (0) 7 C P X C ， 11 43 2 7 4 (1) 7 C C P X C ， 2 3 2 7 1 (2) 7 C P X C 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 2 7 4 7 1 7 所以X的数学期望 2416 ()012 7777 E X 11 分 （）这种说法不正确理由如下： 由于样本具有随机性，故 1 ， 2 是随机变量，受抽样结果影响 因此有可能 1 更接近 0 ，也有可能 2 更接近 0 ， 所以 0102 | |不恒成立 所以这种说法不正确 14 分 19 （本小题满分 15 分） 已知函数 ln1 ( ) x f xax x . （）当2a 时,（i）求曲线(

22、 )yf x在点(1, (1)f处的切线方程; （ii）求函数( )f x的单调区间; （）若12a,求证:( )1f x . 解 19.（本小题满分 15 分） （）当2a 时, ln1 ( )2 x f xx x ,定义域为(0,) 2 22 2ln2ln2 ( )2 xxx fx xx （i）(1)1 23f (1)220 f 所以切点坐标为(1, 3),切线斜率为0 所以切线方程为3y （ii）令 2 ( )2ln2g xxx, 1 ( )40g xx x 所以( )g x在(0,)上单调递减,且(1)0g 所以当(0,1)x时,( )0g x 即( )0fx 所以当(1,+ )x时,

23、( )0g x 即( )0fx 综上所述,( )f x的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,+ ). ()方法一: ( )1f x ,即 ln1 1 x ax x 设 ln1 ( )1(0) x h xaxx x 2 22 2lnln2 ( ) xaxx h xa xx 设 2 ( )ln2xaxx 2 121 ( )20 ax xax xx 所以( )x在(0,)小于零恒成立 即( )h x在(0,)上单调递减 因为12a 所以(1)20ha, 2 ()0h ea 所以在 2 (1,)e上必存在一个 0 x使得 2 00 0 2 0 ln2 ()=0 axx h x x 即 2 0

24、0 ln=2xax 所以当 0 (0,)xx时,( )0h x,( )h x单调递增 当 0 (,+ )xx时,( )0h x,( )h x单调递减 所以 0 00 0 ln1 ( )()1 max x h xh xax x 因为 2 00 ln=2xax 所以 2 00 0 0 21 () axx h x x 令 0 ()=0h x得 0 11 8 4 a x a 因为12a,所以1 1 8 0 4 a a , 11 8 1 4 a a 因为 2 0 (1,)xe,所以 0 ()0h x恒成立 即( )0h x 恒成立 综上所述,当12a时,( )1f x 15 方法二: ( )f x定义域

25、(0,) 为了证明( )1f x ,即 ln1 1 x ax x 只需证明 2 ln1xaxx ,即 2 ln1xaxx 令( )ln1(0)m xxxx 则 1 ( )1m x x 令( )0m x,得01x 令( )0m x,得1x 所以( )m x在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减 所以( )(1)0 max m xm 即ln10xx ,则ln1xx 令 2 ( )22n xaxx 因为12a,所以=480a 所以( )0n x 恒成立 即 2 220axx 所以 2 11axxx 综上所述, 2 ln1xaxx 即当12a时,( )1f x 15 20 （本小题满分 15 分

26、） 已知椭圆 P 的中心 O 在坐标原点，焦点在 x 轴上，且经过点 A(0，2 3)，离心率为1 2. (1)求椭圆 P 的方程； (2)是否存在过点 E(0，4)的直线 l 交椭圆 P 于点 R，T，且满足OR OT 16 7 ？若存在，求直 线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解 (1)设椭圆 P 的方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由题意得 b2 3，ec a 1 2， a2c，b2a2c23c2， c2，a4， 椭圆 P 的方程为 x2 16 y2 121. (2)假设存在满足题意的直线 l，易知当直线 l 的斜率不存在时，OR OT 0 得(32k)264(34k2

27、)0，解得 k21 4. x1x2 32k 34k2，x1x2 16 34k2， y1y2(kx14)(kx24)k2x1x24k(x1x2)16， 故 x1x2y1y2 16 34k2 16k2 34k2 128k2 34k216 16 7 ， 解得 k21. 由解得 k 1， 直线 l 的方程为 y x4. 故存在直线 l：xy40 或 xy40 满足题意. .15 21.（本小题满分 15 分） 已知项数为 * 2m mNm， 的数列 n a满足如下条件： * 1,2, n aNnm； 12 . m aaa 若数列 n b满足 12* 1 mn n aaaa bN m ，其中 1,2,n

28、m 则称 n b为 n a 的“伴随数列”. （I）数列13579， ， ， ，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由； （II）若 n b为 n a的“伴随数列”，证明： 12 m bbb； （III）已知数列 n a存在“伴随数列” n b ，且 1 12049 m aa，求m最大值. 21.已知项数为 * 2m mNm， 的数列 n a满足如下条件： * 1,2, n aNnm； 12 . m aaa 若数列 n b满足 12* 1 mn n aaaa bN m ，其中 1,2,nm 则称 n b为 n a 的“伴随数列”. （I）数列13579， ， ，

29、 ，是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由； （II）若 n b为 n a的“伴随数列”，证明： 12 m bbb； （III）已知数列 n a存在“伴随数列” n b ，且 1 12049 m aa，求m的最大值. 分析： （I）根据“伴随数列”的定义判断出正确结论. （II）利用差比较法判断出 n b的单调性，由此证得结论成立. （III）利用累加法、放缩法求得关于 m a的不等式，由此求得m的最大值. 解： （I）不存在.理由如下：因为 * 4 1 35797 5 1 bN ，所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. （II）因为 * 1 1 ,11

30、, 1 nn nn aa bbnmnN m ， 又因为 12m aaa，所以 1 0 nn aa ，所以 1 1 0 1 nn nn aa bb m ，即 1nn bb ，所以 12 m bbb成立. （III）1ijm ，都有 1 jj ij aa bb m ，因为 * i bN， 12m bbb， 所以 * ij bbN，所以 * 1 1 2048 11 m m aa bbN mm . 因为 * 1 1 1 nn nn aa bbN m ， 所以 1 1 nn aam . 而 111221 111 mmmmm aaaaaaaammm 2 1m，即 2 2049 11m ， 所以 2 12048m，故46m. 由于 * 2048 1 N m ，经验证可知33m.所以m的最大值为33.14