1、 三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1 设P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点若，则（ ）A或 B6 C7 D9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出的值，利用双曲线的定义求出的值解：双曲线渐近线方程为y=，由已知渐近线为，.，.故选C归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法（二）基本量求解例2(2009山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线只有一个公共点，则双曲线的离心率为（ ）A B5 C D解析：双曲线的一条渐近线为，由方程组，消去y，得有唯一解，所以=，所以，故选D归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念
2、，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能例3（2009全国理）设双曲线（a0，b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )A. B.2 C. D.解析：设切点，则切线的斜率为由题意有又有，联立两式解得:因此选C例4（2009江西）设和为双曲线()的两个焦点，若，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ）A B C D3解析：由有，则，故选B归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出，体现数形结合思想的应用（三）求曲线的方程例5（2009，北京）已知双曲线的离心率为，右准线方程为（1）求双
3、曲线C的方程；（2）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆上，求m的值分析：（1）由已知条件列出的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值解：（1）由题意，得，解得.，所求双曲线的方程为（2）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，由得（判别式），点在圆上，另解：设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为，由，两式相减得.由直线的斜率为1，代入上式，得.又在圆上，得，又在直线上，可求得m的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能
4、力例6 过的直线交双曲线于两点，若为弦的中点，求直线的方程分析：求过定点的直线方程，只需要求出它的斜率为此可设其斜率是，利用M为弦的中点，即可求得的值，由此写出直线的方程也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解解法一：显然直线不垂直于轴，设其斜率是，则方程为由消去得 设，由于M为弦的中点，所以，所以显然，当时方程的判别式大于零.所以直线的方程为，即解法二：设，则得.又因为，所以若则，由得，则点都不在双曲线上，与题设矛盾，所以所以所以直线的方程为，即经检验直线符合题意，故所求直线为解法三：设（），由于关于点M（1，1）对称，所以的坐标为（），则消去平方项，得 即点的坐标满足方程，同理点的坐标也满足
5、方程故直线的方程为归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在（四）轨迹问题例7 已知点为双曲线（为正常数）上任一点，为双曲线的右焦点，过作右准线的垂线，垂足为，连接并延长交轴于求线段的中点的轨迹的方程分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点是线段的中点，可利用相关点法解：由已知得，则直线的方程为：令得，即设，则，即代入得：，即的轨迹的方程为归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法（五）突出几何性质的考查例8（2006江西）是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的
6、最大值为（ ）A.6 B.7 C.8 D.9解析：双曲线的两个焦点与恰好是两圆的圆心，欲使的值最大，当且仅当最大且最小，由平面几何性质知，点在线段的延长线上，点是线段与圆的交点时所求的值最大.此时因此选D例9（2009重庆）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（1）求该双曲线的方程；（2）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标.分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将转化为其它线段，再利用不等式的性质求解解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得解得.从而，该双曲线的方程为.（2）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，则.所以因为是圆上的点，其圆心为，半径为1，故，从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组解得所以点的坐标为归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想
