2020届汕头高三二模文科数学试题含答案.pdf

1、2020年汕头市普通高考第二次模拟考试文科数学试题 第1页(共6页) 绝密启用前 试卷类型：B 2020年汕头市普通高考第二次模拟考试试题 文 科 数 学 本试卷共6页，23小题，满分150分考试用时120分钟 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位 号填写在答题卡上，粘贴好条形码认真核准条形码上的姓名和考生号、试室号、座位号用 2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑 2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢

2、笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内 相应位置上； 如需改动， 先划掉原来的答案， 然后再写上新的答案； 不准使用铅笔和涂改液 不 按以上要求作答的答案无效 4作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答漏涂、错涂、 多涂的，答案无效 5考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：参考公式： 球的表面积公式： 2 4SR(其中，R为球的半径) 第卷 选择题 一、选择题：本题共一、选择题：本题共12小题，每小题小题，每小题5分，共分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的

3、符合题目要求的 1已知全集|010UxZx，1,2,3,4,5M ，5,6,7,8,9,10N ，则 U MN AN BM C UM DMN 2已知m，nR，i是虚数单位，若()(1)miini ，则mni= A5 B2 C3 D1 3在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用.中医理论讲究食物相生相克， 合理搭配饮食可以增强体质， 提高免疫力， 但不恰当的搭配也可能引起身体的不适.食物相 克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应已知猪肉 2020年汕头市普通高考第二次模拟考试文科数学试题 第2页(共6页) 与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克现从猪肉、螃蟹

4、、茄子、菊花、百合这五种食物 中任意选取两种，则它们相克的概率为 A. 1 3 B. 2 3 C. 3 10 D. 7 10 4若函数 2 2cos0 26 x f x 的最小正周期为 2 3 ，则 f x图象的一条对称轴为 A 9 x B 3 x C 6 x D 2 9 x 5 设 f x是定义在R上的奇函数， 且对任意实数x恒有2( ) f xf x， 当x0,2时， f x 2xx2，则 3f= A0 B3 C1 D2 6已知非零向量a，b，若2ab，且(2 )aab，则a与b的夹角为 A 6 B 4 C 3 D 3 4 7数列 n a中，首项 1 a=2，且点 1 , nn aa在直线

5、2xy上，则数列 n a的前n项和 n S等 于 A31 n B 2 3nn- C31 n D 2 3nn 8已知函数( )f x sinlnxxx，则y ( )f x的大致图象为 A B C D 9在立体几何中，以下命题中假命题的个数为 若直线ba/,b平面，则/a. 2020年汕头市普通高考第二次模拟考试文科数学试题 第3页(共6页) 若平面平面，平面平面，l，则l. 有3个角是直角的四边形是矩形. 若平面平面，a平面，b平面，且ba ，则a. A0个 B1个 C2个 D3个 10ABC的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c， 已知cossin 2 AC abA 若3b ， 则

6、2ac 的取值范围为 A(1, 3) B( 1 ,1 2 ) C(3,2 3) D(3,2) 11设函数 2 log (),2 ( ) 1 ,2 x x f x x ，则满足(1)f x0)内切于圆 22 68110xyxy，则m= 16已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PA平面ABC，ABC是边长为 2的正三角形，DEF、 、分别是ABBCCP、的中点，且 3 cos 4 DFE，则球O的 表面积为 . 2020年汕头市普通高考第二次模拟考试文科数学试题 第4页(共6页) 三、解答题：共三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算

7、步骤第1721题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答第个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答 (一一)必考题：共必考题：共60分分 17(本小题满分 12 分) 已知函数( )21f xx，( )g xx，()xR，数列 n a， n b满足 1 a=1， 1 ()() nn g bf b ， () nn af b，( * nN) (1)求证：数列1 n b是等比数列； (2)设(21) nn cna，求数列 n c的前n项和 n T. 18(本小题满分12分) 如图，在三棱锥ABCP 中，PA平面ABC， 90ACB，1CBACP

8、A，点M，N分别是 PC，AB上的一点，且 aANPM2 )(10 a. (1)求证：MNAC； (2)若 2 1 a，求点B到平面CMN的距离. 19(本小题满分12分) 新型冠状病毒疫情发生后，口罩的需求量大增，某口罩工厂为提高生产效率，开展技术 创新活动，提出两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取80名工人，将他们随 机分成两组，每组40人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式 第一种生产方式40名工人完成同一生产任务所用时间(单位：min)如表1 68 72 85 77 83 82 90 83 89 84 88 87 76 91 79 90 87 91 86

9、92 88 87 81 76 95 94 63 87 85 71 96 63 74 85 92 99 87 82 75 69 第二种生产方式 40 名工人完成同一生产任务所用时间(单位：min)如饼图所示： 2020年汕头市普通高考第二次模拟考试文科数学试题 第5页(共6页) (1)在答题卡填写第一种生产方式完成任务所用时间的频数分布表并作出频率分布直方 图； 生产时间 60,70) 70,80) 80,90) 90,100) 频数 (2)试从饼图中估计第二种生产方式的平均数； (3)根据频率分布图和饼图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由 20(本小题满分12分) 已知点M的坐标为(3,0

10、)，点N的坐标为( 3,0)，且动点Q到点M的距离是2 6， 线段QN的垂直平分线交线段QM于点P (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过圆E： 22 2xy上任意一点作切线l交曲线C于A，B两点，以AB为直径的圆 是否过定点，如过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由. 21(本小题满分12分) 已知函数( ) x f xe，( )sing xxax. (1)若( )( )( )h xf xg x在0,单调递增，求a的取值范围； (2)若 1 2 a ，证明：当x0时，12 ( )g x 2 1 ( )f x . (参考公式：函数 2x ye的导数： 22 2 xx yee ) 2020

11、年汕头市普通高考第二次模拟考试文科数学试题 第6页(共6页) (二二)选考题：共选考题：共10分请考生在第分请考生在第22、23题中任选一题作答如题中任选一题作答如果多做，则按所作的第果多做，则按所作的第 一题计分一题计分 22 【选修44：坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2 cossin60，曲线C的参数方程为： 2cos 3sin x y (为参数). (1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程； (2)直线l与x轴、y轴分别交于,A B两点，设点P为C上的一点，求PAB面积的最小 值. 23 【选修45

12、：不等式选讲】(本小题满分10分) 已知实数ab、满足： 22 1ab. (1)求证:1 1 ab ab ； (2)若a0b ，求()ab 33 ()ab的最小值. 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 1 页 共 10 页 2020 年汕头市普通高考第二次模拟考试试题及答案年汕头市普通高考第二次模拟考试试题及答案 文科数学试题参考答案及评分标准文科数学试题参考答案及评分标准 评分说明: 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分参考制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度

13、，可 视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有 较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A C D C B B C D C D C 二、二、填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 136 14 4 5 151 16 3 28 填空题评分细则：填空题评分

14、细则：1.第第 13、15 题必须与参考答案完全相同分别得题必须与参考答案完全相同分别得 5 分，否则得分，否则得 0 分；分； 2. 第第 14 题答案是题答案是 4 5 或或0.8都得都得 5 分，否则得分，否则得 0 分；分； 3. 第第 16 题答案是题答案是 3 28 或或 28 3 或或28 3 得得 5 分，否则得分，否则得 0 分分. 三、三、解答题：共解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.17. 解：（1）证明：由 1 ()() nn g bf b 得： 1 21 nn bb 1 分 1 12(1) nn b

15、b 2 分 () nn af b 111 ( )21af bb 又 1 1a 1 0b 3 分 1 1 10b 10 n b 4 分 ( (这这 1 1 分是给说明接下去的分母不为分是给说明接下去的分母不为 0)0) 1 1 2 1 n n b b 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 2 页 共 10 页 数列1 n b 是等比数列，首项为 1 1 1b ，公比为 25 分 【本小题若是得出递推关系【本小题若是得出递推关系 1 21 nn bb （1 1 分），再通过列举出分），再通过列举出 n b，进而得，进而得1 n b（2 2 分），分）， 猜想是等比数列猜想是等比数列（3 3 分）

16、】分）】 （2）由（1）知： 1 12n n b 1 21 n n b 2121 n nnn af bb (21)(21) 2(21) n nn cnann 6 分 令 231 1 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n Ann ， 1 3 5(21) n Bn ，则 2, nnnn Bn TAB7 分（这（这 1 1 分是分是 给计算出给计算出 n B的的值值） 231 2341 1 23 25 2(23) 2(21) 2 21 23 25 2(23) 2(21) 2 nn n nn n Ann Ann 8 分 两式相减得： 231 22 222(21) 2 nn n An 9 分

17、 21 1 22 22(21) 2 1 2 n n n 10 分 1 6(23) 2nn 1 (23) 26 n n An 11 分 12 (23) 26 n nnn TABnn 12 分 18.(18.(1)证明证明 1：过点M作ACME 交AC于点E，连接EN， - - - -1 分 PA平面ABC，AC平面ABC ACPA 在平面PAC内，/ /PAME - - - -2 分 AC AE PC PM ， 211 22 ABPCANPM， AC AE AB AN BCNE/ - - - -4 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 3 页 共 10 页 0 90ACB ACNE ，又E

18、NEME AC平面MNE，且MN平面MNE MNAC （要出现（要出现AC平面平面MNE，并得到结论，并得到结论） - - - -5 分 证法证法 2 2：()AC MNACMPPAAN-2 分 AC MPAC PAAC AN cos135cos90cos45ACMPACPAACAN-3 分 22 12()0 12 22 aa 0-4 分 ACMN，即ACMN-5 分 (2)解：解：设点B到平面CMN的距离为h，由（1）可知PAME/， ME平面ABC， - - - -6 分 又由 BCNMCMNB VV 得 CMN BCN S MES h - - - -7 分 2 ABPC，) 10(2aa

19、ANPM，且 2 1 a NM,分别为ABPC,的中点 2 1 ME， 4 1 11 2 1 2 1 2 1 ABCBCN SS - - - -8 分 在直角MEN中， 2 2 ) 2 1 () 2 1 ( 2222 NEMEMN 2 2 2 1 ABCN， 2 2 2 1 PCCM（MN,CN,CM 算出一个算出一个 1 分分）- - - -10 分 CMN为等边三角形，即 8 3 60sin) 2 2 ( 2 1 02 CMN S - - - -11 分 3 3 8 3 2 1 4 1 h，即点B到平面CMN的距离为 3 3 - - - -12 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第

20、4 页 共 10 页 19.19.【解析】（1） 生产时间 60,70） 70,80） 80,90） 90,100） 频数 4 8 18 10 （说明：每填对两个得（说明：每填对两个得 1 1 分分. .） （说明：画对一个得（说明：画对一个得 1 1 分分. .） （2）试从饼图中估计第二种生产方式的平均数为 5 .7505. 0952 . 0855 . 07525. 065 min （说明：列式 1 分，答案 1 分。） （3）从频率分布直方图中估计第一种生产方式的平均数为 5 .8325. 09545. 0852 . 0751 . 065 min （说明：列式 1 分，答案 1 分。）

21、从平均数的角度发现：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80分钟；用第二种生产方 式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80 分钟因此第二种生产方式的效率更高 （说明：只要能从平均数的角度进行比较，即可给（说明：只要能从平均数的角度进行比较，即可给 2 分。）分。） 2020解：解：(1)依题意有：PNPQ 1 分 2 62 3PMPNPMPQMN .2 分 点 P 的轨迹是以,M N为焦点，长轴长为2 6的椭圆.3 分 频率/组距 生产时间 60 70 80 90 100 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 2 分 8 分 6 分 .12 分 10 分 数学（文

22、科）试题参考答案及评分标准 第 5 页 共 10 页 设椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，则 3,22 6ca 22 6,633abac 4 分 所求轨迹 C的方程为 22 1 63 xy .5 分 （没有第（没有第 4 分步骤，从第分步骤，从第 3 分就到第分就到第 5 分直接把方程写对不扣分）分直接把方程写对不扣分） (2)圆E的方程为 22 2xy,设O为坐标原点， 当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为2x，则( 2, 2), ( 2,2)AB， 所以=0OA OB，所以 2 AOB ， 即AB为直径的圆过坐标原点；6 分 当直线l的斜率存在时，设其方程设为

23、ykxm，设 1122 ,A x yB xy ， 因为直线与相关圆相切， 所以 2 2 2 2 1 1 mm d k k 22 22mk，7 分 联立方程组 22 1 63 ykxm xy 得 22 2()6xkxm, 即 222 (12)4260kxkmxm，.8 分 2222 222 164(12)(26) 8(63)8(41)0 k mkm kmk ， 2 1212 22 426 1 21 2 kmm xxx x kk ，.9 分（没有出现判别式不扣分没有出现判别式不扣分） 22 12121212 2222 2 22 (1)() (1)(26)4 1 21 2 x xy ykx xkm

24、xxm kmk m m kk ， 22 2 366 0 12 mk k ， .10 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 6 页 共 10 页 OAOB，11 分 所以以AB为直径的圆恒过坐标原点O 综上可知以AB为直径的圆恒过坐标原点O12 分 21.21.（1）解：依题意有： ( )sin, x h xexax xR ( )cos x h xexa1 分 ( )h x在0,单调递增 ( )0h x对0,x恒成立 即：cos0 x exa对0,x恒成立(*)2 分 令( )cos,0 x xexa x，则( )sin x xex 当0,x时，1, 1sin1,sin0,( )0 xx

25、exexx ( ) x在0,单调递增3 分 min ( )(0)2xa min (*)( )0,x即：20,a解得：2a 故，,2a 5 分 （2）当 1 2 a 时，要证：当0x 时， 2 1 12 ( ) ( ) g x f x . 即要证：当0x 时， 2 (2sin1)1 x xxe6 分 构造函数： 2 ( )2sin1,(0) x F xxxex，则 22 2 ( )(12cos )2(2sin1) (324sin2cos )7 xx x F xx exxe xxx e 分 先证：当0x 时，sinxx 要证：sinxx，即要证：sin0xx 构造函数：( )sin ,(0)xxx

26、 x，则( )1 cosxx 当0,x时，1cos1x ，1 cos0x，( )0x 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 7 页 共 10 页 ( )x在0,单调递增. ( )(0)0x，即：sin0xx sinxx 9 分 2 22 ( )(324sin2cos ) 32(sincos )32 2sin()010 4 x xx F xxxx e xx exe 分 ( )F x在0,单调递增.11 分 0 ( )01F xFe,即：当0x 时， 2 (2sin1)1 x xxe 故，原不等式得证明.12 分 22解：解：（1）依题意，由曲线C的参数方程: 2cos 3sin x y （为参

27、数）， 得cos,sin 23 xy 1 分 由 22 cossin1消参得曲线C的方程： 22 1 49 xy 2 分 由 222 xy，cosx，siny， 3 分 得直线l的直角坐标方程为260xy 4 分 （2）方法 方法 1： l与x轴、y轴分别交于,A B两点，则 3,0A0,6B ，5 分 即 3 5AB 6 分 设C上的点2cos ,3sinP，则点P到直线l的距离为 4cos3sin6 5 d 7 分 5cos6 5 （注：此处写 5 6)sin(5 也正确）8 分 cos1当时, min 5 5 d得 9 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 8 页 共 10 页 （

28、注：此处若是上一步第二个结论 5 6)sin(5 ,则应为“当1)sin(时”） PAB面积的最小值 minmin 1153 3 5 2252 SAB d10 分 方法方法:2： l与x轴、y轴分别交于,A B两点，则 3,0A0,6B ，5 分 即 3 5AB 6 分 设l的平行直线为:m)6(02ccyx ， 联立 1 94 02 22 yx cyx 消去y可得： 03641625 22 ccxx ，7 分 当直线m与曲线C相切时 03600144 2 c ，解得 5c 经检验可知当 5c 且P为切点时， PAB 的面积最小8 分 此时l与m的距离 5 5 12 )6(5 22 d9 分

29、PAB面积的最小值为 2 3 5 5 53 2 1 2 1 min dABS10 分 方法方法 3： 设 )sin,cosP（ ，易知 P 在第一象限时符合 5 分 OPBOPAOABPAB S-S-SS 6 分 PNOB 2 1 -PMOA 2 1 -63 2 1 cos26 2 1 sin33 2 1 9 ）（cos4sin3 2 3 9 ）（ sin 2 15 9 9 分 1sin ）（当 ， 2 3 2 15 9S minPAB ）（ 10 分 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 9 页 共 10 页 23解解：(1)法法 1：要证 1 1 ab ab ， 即证1abab，1 分

30、即证 22 ()(1)abab，.2 分 即证 22 (1) (1)0ab，3 分 22 1ab， 22 11ab，4 分 22 (1) (1)0ab， 故原不等式成立. 5 分 法法 2：要证 1 1 ab ab ， 即证1abab，1 分 即证 22 ()(1)abab，.2 分 即证 2222 212baabbaba3 分 22 1ab， 22 0ba，4 分 显然成立，故原不等式成立.5 分 (2).法法 1：0ab baabbababa 334433 )(. .6 分 4334 2babbaa . .7 分 1)( 222 ba .8 分 当 22 22 abab 或时等号成立 .9

31、 分 )( 33 baba的最小值为 1 . .10 分 法法 2：baabbababa 334433 )( .6 分 baabbaba 3322222 2)( .7 分 )2()( 22222 babaabba 数学（文科）试题参考答案及评分标准 第 10 页 共 10 页 2 )(1baab 0ab 1)(1 2 baab .8 分 当且仅当 2 2 ba 时等号成立 9 分 )( 33 baba 的最小值为 1. 10 分 法法 3 3：（a+b）(a+b)=（a+b）（a+b）（a+b-ab）.6 分 =（a+b+2ab）（a+b-ab） =（1+2ab）（1-ab） =1+ab-2a

32、b.7 分 a+b2ab ab 2 1 .8 分 令 ab=t 原式=1+t-2t，t 2 1 0，.9 分 当 t 2 1 时，原式有最小值 1.10 分 法法 4： 0ab， 22 1ab 由柯西不等式得 )()()( 33 33 babababa )()()()( 2 3 2 3 22 baba .6 分 2 33 )(bbaa 7 分 1)( 222 ba 8 分 当且仅当 2 2 ba 时等号成立 9 分 )( 33 baba 的最小值为 1. 10 分 法 法 5 5：令 a=sin ，b=cos ， .6 分 (a+b)(a+b)=（sin +cos ）(sin +cos ) =（1+2sin cos ）（1-sin cos ）.7 分 =（2sin1）（ 2 sin2 -1 ） = 2sin 2 1 2sin 2 1 -1 2 8 分 a.b0Sin2 0 sin2 （0,1 9 分 当 sin2 =1 时，原不等式有最小值为 1.10 分