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1、等比数列的性质等比数列的性质教学目标：教学目标：理解并掌握等比数列的性质及其初步应用。理解并掌握等比数列的性质及其初步应用。引导学生学习观察、类比、猜测等推理方引导学生学习观察、类比、猜测等推理方法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻法，提高学生分析、综合、抽象、概括等逻辑思维能力。辑思维能力。等差数列等比数列等差数列等比数列 常数常数减减除除加加乘乘dnaan)1(1)0(111qaqaann加加-乘乘乘乘乘方乘方 迭迭加加法法迭迭乘乘法法等比数列用等比数列用“比比”代替了等差数列中的代替了等差数列中的“差差”定定 义义数数 学学 表表达达 式式通项公通项公式证明式证明通通 项项 公公 式式

2、an-an-1=d （n2）)0(1qqaannan是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质：an=am+(n-m)d猜想：性质：若an-k,an,an+k是an中的三项，则2an=an-k+an+k 猜想2：性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：性质：从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d.(可推广)猜想：性质:若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。猜想：由等差数列的性质，猜想等比数列的性质an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列性质：an=am+(n-m)d性质：若an-k,an,an+k 是an中的三项，则2an=

3、an+k+an-k猜想2：性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aqknknnbbb2猜想1：nmmqbnb 若bn-k,bn,bn+k 是bn中的三项 则猜想3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq由等差数列的性质，猜想等比数列的性质性质：从原数列中取出间隔相同的项am，am+k，am+2k，am+3k组成的新数列仍然是等差数列，其公差为kd性质:若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。2q猜想：从原数列中取出间隔相同的项bm，bm+k，bm+2k，bm+3k组成的新数列仍然是等比数列，其公比为qk猜想：若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq

4、的等比数列.性质：若n+m=p+q 猜想3：若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 则bnbm=bpbq,an是公差为d的等差数列 bn是公比为q的等比数列 性质：an=am+(n-m)d猜想：性质：若an-k,an,an+k是an中的三项，则2an=an-k+an+k 猜想2：若an-k,an,an+k是an的三项，则 =bn-kbn+k性质：若n+m=p+q则am+an=ap+aq猜想3：若n+m=p+q则bnbm=bpbq,性质：性质：从原数列中取出间隔相同的项am，am+k，am+2k，am+3k组成的新数列仍然是等差数列，其公差为kd猜想：从原数列中取出间隔相同的项bm，bm+k

5、，bm+2k，bm+3k组成的新数列仍然是等比数列，其公比为qk性质:若cn是公差为d的等差数列，则数列an+cn是公差为d+d的等差数列。猜想：若dn是公比为q的等比数列,则数列bndn是公比为qq的等比数列.nmmqbnb 2q2nb1110nnnnaaa qqA BA Bq例：已知an,bn是项数相同的等比数列，求证anbn是等比数列.证明：设数列an的首项是a1，公比为q1;bn的首项为b1，公比为q2，那么数列anbn 的第n项与第n+1项分别为：nnnnqbqaqbqa2111121111与nnqqbaqqba)()(211112111与即为.)()(2112111211111qq

6、qqbaqqbababannnnnn它是一个与n无关的常数，所以anbn是一个以q1q2为公比的等比数列.练习:在等比数列an中，a2=-2,a5=54，a8=.在等比数列an中，且an0，a2 a4+2a3a5+a4a6=36,那么a3+a5=_ .在等比数列an中，a15=10,a45=90,则 a60=_.在等比数列an中，a1+a2=30,a3+a4=120,则a5+a6=_ .思考：在等比数列an中，a1+a2=30,a3+a4 =120,则a5+a6=_ .-14586270480480或-270解题技巧的类比应用：三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数。

7、分析：若三个数成等差数列，则设这三个数 为a-d,a,a+d.由类比思想的应用可得，若三个数成等比数列，则设这三个数 为：，qa21a,a q.再由方程组可得：q=2 或既这三个数为2，4，8或8，4，2。复习复习1、等比数列定义：、等比数列定义：nn-1a=q q0,n2a2、等比数列通项公式：、等比数列通项公式：an=a1qn-1讲授新课讲授新课一、等比中项一、等比中项:如果如果 a与与b中间插入一个数中间插入一个数G,使使a,G,b成等比数列成等比数列,22Gb Gab=,aGG=ab,G=ab.a,bGab-ab,G=ab,Ga,b 如如果果 是是 与与 的的等等比比中中项项，那那么么

8、即即因因此此反反过过来来，如如果果同同号号，等等于于或或即即那那么么 是是的的等等比比中中项项。那么那么G叫做叫做a与与b的等比中项。的等比中项。211nnnnaaaa为等比数列二、等比数列的性质：二、等比数列的性质：1、若、若an为等比数列，且为等比数列，且k+l=m+n(k,l,m,nN*)则则akal=anam.2、若、若an为等比数列，公比为为等比数列，公比为q,则则a2n也是等比数列，也是等比数列，3、在等比数列、在等比数列an中，序号间隔相等的项组成的数列中，序号间隔相等的项组成的数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,为等比数列。为等比数列。5、从数列的分类来说：、从数列的分类来

9、说：当当a10,q1或或a10,0q0,0q1或或a11时，数列时，数列an为为递减数列递减数列。当当q=1时，数列时，数列an为为常数列常数列。当当q0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么那么a3+a5的值为的值为 A、5 B、10 C、15 D、20 5、数列、数列an成等比数列的充要条件是成等比数列的充要条件是 A、an+1=anq(q为常数为常数)B、an+12=a2an+20 C、an=a1qn-1(q为常数为常数)D、n+1nn+2a=a a6、在各项都为正数的等比数列、在各项都为正数的等比数列an中，若中，若a5a6=9,则则log3a1+log3a2+log3a3+lo

10、g3a10等于等于 A、8 B、10 C、12 D、2+log35ABB7、某种产品平均每三年自降低价格的、某种产品平均每三年自降低价格的 ，目前售价，目前售价为为640元，元，9年后售价为年后售价为 A、210元元 B、240元元 C、270元元 D、360元元14 8 8、已知等差数列、已知等差数列aan n 的公差为的公差为2 2，若，若a a1 1,a,a3 3,a,a4 4成等比成等比数列，则数列，则a a2 2等于等于 A A、-4 B-4 B、-6 C-6 C、-8 D-8 D、-10-10 9 9、已知等比数列、已知等比数列aan n 中，中，a a3 3=-4,a=-4,a6

11、 6=54,=54,则则a a9 9=_=_ 10 10、等比数列、等比数列aan n 中，已知中，已知a a9 9=-2,=-2,则数列则数列aan n 的前的前1717项项之积为之积为_ n461111aa=,q=,a=_22、在等比数列中，若则 12 12、在数列、在数列aan n,b,bn n 中，中，a a1 1=2=2，且对任意自然数，且对任意自然数n,n,3a3an+1n+1-a-an n=0,b=0,bn n是是a an n与与a an+1n+1的等差中项，则的等差中项，则bbn n 是是_CB-729-21718等比数列等比数列 例例1、在、在 和和n之间插入之间插入n个正数

12、，使这个正数，使这n+2个数成等比个数成等比数列，求插入的数列，求插入的n个数之积。（三维）个数之积。（三维）1/n解解:设公比为设公比为q，则，则n+1n+121n=qq=nnn+2n+1 n+21+2+n+n+1n+2212n+211a aa=aq=qnn+2n+21=n1=n或倒序相乘或倒序相乘 例例2、已知数列、已知数列an为等比数列，为等比数列，a4a7=-512,a3+a8=124,且公比且公比q为整数，求为整数，求a10.（三维）（三维）解：解：a4a7=a3a8，所以可得方程组，所以可得方程组38333888a+a=124a=-4a=128a a=-512a=128a=-4解得

13、或583a1=q=-32-,a32q=-2或所以a10=a8q2=512或或-11-2或或 例例3、已知一个等比数列的首项为、已知一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其，项数是偶数，其奇数项的和为奇数项的和为85，偶数项的和为，偶数项的和为170，求这个数列的公，求这个数列的公比和项数。（三维）比和项数。（三维）解：设该等比数列的公比为解：设该等比数列的公比为q，项数为，项数为2n，则，则170=qSq=852=S偶奇又又S2n=S偶偶+S奇奇2n1a 1-q=85+170=2551-q22n-1=255，2n=8故这个数列的故这个数列的公比为公比为2，项数为，项数为8。例例4、设、设an为等

14、差数列，为等差数列，bn为等比数列，为等比数列，a1=b1=1,a2+a4=b3，b2b4=a3，分别求出，分别求出an及及bn的通项公式及的通项公式及an的前的前n项和项和Sn.（三维）（三维）解：解：an为等差数列，为等差数列，bn为等比数列，为等比数列，a2+a4=2a3，b2b4=b32,又又a2+a4=b3，b2b4=a3b3=2a3=2b32，b30，31b=231,a=4 13n13a=1a=ad=-48由，知的公差1n3 n-1=a+n-1 d=1-11=8-3na82n-3n+19nS=16n-1n-1n22b=-222-,222q或或 例例5、已知数列、已知数列an的前的前

15、n项和项和Sn与与an的关系是的关系是Sn=1+kan,(其中其中k是与是与n无关的常数，且无关的常数，且k1)试求由试求由n,k表示的表示的an的表达式。（三维）的表达式。（三维）解：当解：当n2时，时，an=Sn-Sn-1=kan-kan-1,n-1nn-11kka=a=a1-k1-k11111a=S=1+ka,a=1-kn-1n1kk0a=1-k 1-k时时，n1 n=10a=0 n2k时时，小结小结 1、掌握运用等比数列的一些性质，可以提高解题、掌握运用等比数列的一些性质，可以提高解题2、常见性质：、常见性质：1)当当m+n=p+q时，等比数列有时，等比数列有aman=apaq 2)等比数列的间隔相等的连续等长片断的序列等比数列的间隔相等的连续等长片断的序列的灵活性，简化解题过程。的灵活性，简化解题过程。仍是等比数列。仍是等比数列。