流体运动学基础课件.ppt

1、 3.1 3.1描述流体运动的两种方法描述流体运动的两种方法 3.2 3.2物质导数物质导数 3.3 3.3迹线、流线和染色线，流管迹线、流线和染色线，流管3.43.4流体微团的运动和变形流体微团的运动和变形 在流体静力学中，我们讨论了流体处于平衡状态在流体静力学中，我们讨论了流体处于平衡状态下的一些力学规律，如压力分布规律，及流体对固体下的一些力学规律，如压力分布规律，及流体对固体壁的作用力等。但实际上，流体的静止总是相对的，壁的作用力等。但实际上，流体的静止总是相对的，运动才是绝对的。流体最基本的特性就是它的运动才是绝对的。流体最基本的特性就是它的流动性流动性，因此，进一步研究流体的运动规

2、律便更为重要。因此，进一步研究流体的运动规律便更为重要。流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度流体运动学主要是研究运动参数（速度、加速度等）随等）随空间位置和时间的变化规律空间位置和时间的变化规律。流场流场 充满运动流体的空间称为流场充满运动流体的空间称为流场流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；流体只能在固体壁面所限制的空间内外进行运动；流场中流体流场中流体质点质点的的连续连续性决定表征流体质点运动和物性性决定表征流体质点运动和物性的的参数（速度、加速度、压强、密度等）参数（速度、加速度、压强、密度等）在流场中也是在流场中也是连续连续的。并且随时间和空间而变化。的。并且随时间和空间

3、而变化。连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所占据的空间。的空间。描述流体运动的方法描述流体运动的方法假如你是一名篮球教练，防守中该如何掌控整个篮球场？假如你是一名篮球教练，防守中该如何掌控整个篮球场？二二.描述流体运动的方法描述流体运动的方法用五名己方球员分用五名己方球员分别对对方球员进行一对别对对方球员进行一对一的跟踪防守。一的跟踪防守。用己方五名球员用己方五名球员对防守半场进行分区对防守半场进行分区监管，一人负责一片监管，一人负责一

4、片区域的防守。区域的防守。？请问如何获取某对方球员的行踪？请问如何获取某对方球员的行踪？着眼于流体质点，跟踪着眼于流体质点，跟踪质点描述其运动历程质点描述其运动历程着眼于空间点，研究着眼于空间点，研究质点流经空间各固定质点流经空间各固定点的运动特性点的运动特性 根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动也有两种根据着眼点的不同，流体力学中研究流体的运动也有两种不同的方法，一种是拉格朗日（不同的方法，一种是拉格朗日（LagrangeLagrange）方法，另一种是欧）方法，另一种是欧拉（拉（EulerEuler）方法。）方法。拉格朗日法拉格朗日法着眼于流体质点着眼于流体质点跟踪个别跟踪个别流体质

5、点流体质点 研究其位研究其位移、速度、移、速度、加速度等随加速度等随 时间的变时间的变 化情况化情况综合流场中综合流场中所有流体质所有流体质点的运动点的运动流场分布流场分布又称随体法又称随体法跟踪个别流体质点跟踪个别流体质点(a,b,c)(a,b,c)质点从质点从(a,b,c)(a,b,c)运动到（运动到（x,y,zx,y,z）t t0 0 时刻时刻:t t时刻时刻:),(),(),(321tcbafztcbafytcbafx流 场 中 全 部流 场 中 全 部质 点 都 包 含质 点 都 包 含在（在（a,b,ca,b,c）的变数中的变数中(a,b,c)是拉格朗日变数，即是拉格朗日变数，即t

6、=t0时刻质点的空间位置，用时刻质点的空间位置，用来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。来对连续介质中无穷多个质点进行编号，作为质点标签。当（当（a,b,ca,b,c）变化时，这就表示）变化时，这就表示全部质点随时间的位置变动函全部质点随时间的位置变动函数。当数。当t t变化时，便是质点变化时，便是质点（a,b,ca,b,c）运动轨道的参数方程）运动轨道的参数方程 ),(),(),(321tcbafztcbafytcbafx自变量（自变量（a,b,c,ta,b,c,t）称为拉格朗日变数称为拉格朗日变数流体在运动过程中其它运动要素流体在运动过程中其它运动要素和物理量的时间历程也可用拉

7、格朗和物理量的时间历程也可用拉格朗日法描述，如速度、密度等：日法描述，如速度、密度等：),(tcba)(a,b,c,tuu 注意：注意：在在使用拉格朗日法使用拉格朗日法时必须找到时必须找到 x(a,b,c,t);x(a,b,c,t);y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)y(a,b,c,t);z(a,b,c,t)等的函数形式，即等的函数形式，即跟踪每一跟踪每一个质点进行研究个质点进行研究。由于流体具有易流动性，对每一个。由于流体具有易流动性，对每一个质点进行跟踪是十分困难的。因此，除了在一些特殊质点进行跟踪是十分困难的。因此，除了在一些特殊情况（情况（波浪运动。水滴等的运动时波浪运动。水滴

8、等的运动时），很少采用拉格），很少采用拉格朗日法。朗日法。拉格朗日法的缺陷拉格朗日法的缺陷欧拉法欧拉法着眼于研究空间着眼于研究空间固定点的情况固定点的情况选定某一空选定某一空间固定点间固定点 记录其位记录其位移、速度、移、速度、加速度等随加速度等随 时间的变时间的变 化情况化情况综合流场中综合流场中许多空间点许多空间点随时间的变随时间的变化情况化情况通过描述物理通过描述物理量在空间的分量在空间的分布来研究流体布来研究流体运动的方法。运动的方法。流场分布流场分布分析流动空间某固定分析流动空间某固定位置处，流体运动要素位置处，流体运动要素（速度、加速度）随时（速度、加速度）随时间变化规律间变化规律

9、分析流体质点从某一空间分析流体质点从某一空间位置转移到另一位置，运位置转移到另一位置，运动要素随位置变化的规律动要素随位置变化的规律欧拉法并没有直接给定流体质点的运动轨迹欧拉法并没有直接给定流体质点的运动轨迹同一流体质点同一流体质点在不同时刻经在不同时刻经过空间不同点过空间不同点不同时刻不同不同时刻不同的流体质点通的流体质点通过空间某一点过空间某一点注意：注意：欧拉法是流场法，欧拉法是流场法，它定义流体质点的速它定义流体质点的速度矢量场为：度矢量场为：(,)VV x y z t(x,y,z)是空间点（场是空间点（场点）。流速点）。流速V是在是在t 时时刻占据刻占据(x,y,z)的那个流的那个流

10、体质点的速度矢量。体质点的速度矢量。)(x,y,z,taa)(x,y,z,tpp 流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间流体的其它运动要素和物理特性也都可用相应的时间和空间域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：域上的场的形式表达。如加速度场、压力场等：欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在欧拉法把流场的运动要素和物理量都用场的形式表达，为在分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条分析流体力学问题时直接运用场论的数学知识创造了便利条件。件。采用欧拉法，采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数（

11、见下文）二阶导数（见下文），所得的运动微分方程分别是一阶偏微分，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。分方程求解容易。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。欧拉法在流体力学研究中广欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。两种描述流体运动的泛被采用。两种描述流体运动的方法之间可以相互转换。方法之间可以相互转换。定常流和非定常流定常流和非定常流 若流场中各空间点上的若流场中各空间点上的任何运动要素均不随时间任何运动要素均不随时间变化，称流动

12、为定常（恒变化，称流动为定常（恒定）流。否则，为非定常定）流。否则，为非定常（非恒定）流。（非恒定）流。恒定流中，所有物理恒定流中，所有物理量的欧拉表达式中将不量的欧拉表达式中将不显含时间，它们只是空显含时间，它们只是空间位置坐标的函数，时间位置坐标的函数，时变导数为零。变导数为零。例如，恒定流的例如，恒定流的流速场：流速场：0tu),(zyxuu 恒定流的局部加速恒定流的局部加速度为零，但位变加速度为零，但位变加速度度可以不为零。可以不为零。流动是否流动是否恒定与所选恒定与所选取的参考坐取的参考坐标系有关标系有关,因此是相对因此是相对的概念。的概念。均匀流、非均匀流均匀流、非均匀流若某一时刻

13、流场中各空间点上的物理量都相等，则称均匀场若某一时刻流场中各空间点上的物理量都相等，则称均匀场（流），否则为非均匀场（流）。（流），否则为非均匀场（流）。判别：判别：0,0,0,()txyz或为任意为任意物理量物理量0jkxyz=i梯度是场不均匀的度量梯度是场不均匀的度量 也即梯度为也即梯度为0 0：一元、二元、三元流动模型一元、二元、三元流动模型 用欧拉法描述流动，虽然经过恒定流的简化去掉了时间变量，用欧拉法描述流动，虽然经过恒定流的简化去掉了时间变量，但仍存在但仍存在x，y，z三个空间变量。这种在流场中的速度和性能参量三个空间变量。这种在流场中的速度和性能参量由三个坐标变量来描述的流动就叫

14、三元流，也称为空间流动。在由三个坐标变量来描述的流动就叫三元流，也称为空间流动。在实际情况下，多数的流动都是三元流，但是，这种流动模型太复实际情况下，多数的流动都是三元流，但是，这种流动模型太复杂了，我们是很难求解的。杂了，我们是很难求解的。当流动中的速度和性能参量与坐标中某一方向的变量无关时，当流动中的速度和性能参量与坐标中某一方向的变量无关时，且在这个方向上的分量也不存在的流动且在这个方向上的分量也不存在的流动,就叫二元流或称为平面流。就叫二元流或称为平面流。当流速和性能参量的变化仅与一个坐标变量有关的流动。当流速和性能参量的变化仅与一个坐标变量有关的流动。uf（s）s：是流动方向上的位置

15、坐标。这个模型的实质是忽略流速和：是流动方向上的位置坐标。这个模型的实质是忽略流速和压强参量等沿主流的横向变化。压强参量等沿主流的横向变化。一维流动一维流动二维流动二维流动三维流动三维流动平面流动轴对称流动任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和任何实际流动从本质上讲都是在三维空间内发生的，二维和一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便一维流动是在一些特定情况下对实际流动的简化和抽象，以便分析处理。分析处理。流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动流动要素只取决于一个空间坐标变量的流动在实际问题中，常把总流简化为一维流动。在实际问题中，常把总流简化为一维流动。s 一维流

16、动其流场为其流场为s 空间曲线坐标空间曲线坐标),(tsuu 元流是严格的一维流动，空间曲线坐标元流是严格的一维流动，空间曲线坐标s 沿着流线。沿着流线。uu x y tuux y tuxxyyz(,)(,)0 直角系中的直角系中的平面流动平面流动：流场与某一空间流场与某一空间坐标变量无关，且沿该坐标坐标变量无关，且沿该坐标方向无速度分量的流动。方向无速度分量的流动。xyoxyzou0u0大展弦比机翼绕流 二维流动3.2物质导数 速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度速度是同一流体质点的位移对时间的变化率，加速度则是同一流体质点的速度对时间的变化率。则是同一流体质点的速度对时间的变化率

17、。通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质通过位移求速度或通过速度求加速度，必须跟定流体质点，应该在拉格朗日观点下进行。点，应该在拉格朗日观点下进行。拉格朗日法拉格朗日法3.2物质导数 拉格朗日方法中，某一时刻，任一流体质点的位置可表示为：式中a、b、c为初始时刻任意流体质点的坐标，即不同的a、b、c代表不同的流体质点。对于某个确定的流体质点，a、b、c为常数，而t为变量，则得到流体质点的运动规律。对于某个确定的时刻，t为常数，而a、b、c为变量，得到某一时刻不同流体质点的位置分布。通常称a、b、c为拉格朗日变量，它不是空间坐标的函数，而是流体质点标号。123(,)(,)(,)xf a

18、 b c tyfa b c tzf a b c t221222222222322(,)(,)(,)xyzfa b c txattfa b c tyattfa b c tzatt123(,)(,)(,)fa b c txuttfa b c tyvttfa b c tzwtt质点（质点（a,b,ca,b,c）的速度和加速度为：）的速度和加速度为：拉格朗日法拉格朗日法注意，流体的密度、压强和温度也可写成类似的函数形式。注意，流体的密度、压强和温度也可写成类似的函数形式。求导时求导时a,b,c 作为参作为参数不变，意即数不变，意即跟定流体质点跟定流体质点欧拉法欧拉法欧拉法中，任一空间点处速度场可表示为

19、：(,)(,)(,)uu x y z tvv x y z tww x y z t 其中变量其中变量x,y,z,t称为欧拉变量，其中称为欧拉变量，其中 x，y，z有双重意有双重意义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质义，一方面它代表流场的空间坐标，另一方面它代表流体质点在空间的位移。当参数点在空间的位移。当参数x，y，z不变而改变时间不变而改变时间t，则表示，则表示空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数空间某固定点的速度随时间的变化规律。当参数t不变，而改不变，而改变变x，y，z，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。，则代表某一时刻，空间各点的速度分布。(1)欧拉法欧拉法 根据

20、流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质根据流体连续介质假设，每一个空间点上都有流体质点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的点所占据。而占据每一个空间点上的流体质点都有自己的速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标速度，有速度必然产生位移。也就是说，空间坐标x，y，z也是流体质点位移的变量，它也是时间也是流体质点位移的变量，它也是时间t的函数：的函数：x=x(t)y=y(t)z=z(t)流体质点的运流体质点的运动轨迹方程动轨迹方程txuddtvddytwddz 上式对时间求导就流体质点上式对时间求导就流体质点沿运动轨迹的三个速度分量：沿运动轨迹的三个速度分量：(2)欧拉法欧拉

21、法 加速度定义为在加速度定义为在dt时刻内，流体质点流经某空间点附时刻内，流体质点流经某空间点附近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复近运动轨迹上一段微小距离时的速度变化率，于是可按复合函数的求导法则，分别将合函数的求导法则，分别将(1)式中三个速度分量对时间式中三个速度分量对时间取全导数，并将取全导数，并将(2)式代入，即可得流体质点在某一时刻式代入，即可得流体质点在某一时刻经过某空间点时的三个加速度分量：经过某空间点时的三个加速度分量：zD wwwwwauvwD ttxyzxD uuuuuauvwD ttxyzyDvvvvvauvwDttxyz用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问

22、题。用欧拉法描述，处理拉格朗日观点的问题。(3)DVDtVt()VV=+质点加速度位变加速度由流速非均由流速非均匀性引起匀性引起局部加速度由流速由流速非恒定非恒定性引起性引起欧拉法欧拉法V也可为流体密度、压强和温度等任一物理量（矢、标）。也可为流体密度、压强和温度等任一物理量（矢、标）。物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，物质导数是反映流体质点某一物理量对时间的变化率，即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可即观察者随流体质点一起运动时看到的物理量变化率。也可称为质点导数或随体导数。物质导数本质上是拉格朗日观点称为质点导数或随体导数。物质导数本质上是拉格朗日观点下的概念

23、。下的概念。例子()DVDttuvwtxyz流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即流体不可压是指流体质点的密度运动过程中不变，即const流体均质，则流体均质，则若流体既均质，同时不可压，则若流体既均质，同时不可压，则00DDt0DDt0t流体密度场定常，其不是空间坐标和时间的函数，即流体密度场定常，其不是空间坐标和时间的函数，即0 【例】【例】已知用拉格朗日变量表示得速度分布为已知用拉格朗日变量表示得速度分布为 u=(a+2)et-2，v=(b+2)et-2，且，且t=0时，时，x=a，y=b。求（求（1）t=3时质点分布；（时质点分布；（2）a=2，b=2质点的运动规质点的运动规律

24、；（律；（3）质点加速度。）质点加速度。【解】【解】根据根据(2)式得式得 将上式积分，得将上式积分，得 上式中上式中c1、c2为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。为积分常数，它仍是拉格朗日变量的函数。利用利用t=0时，时，x=a，y=b得得c1=-2，c2=-22)2(teatx2)2(tebty12)2(cteaxt22)2(ctebyt X=(a+2)et-2t-2 y=(b+2)et-2t-2 （1）将t=3代入上式 得 X=(a+2)e3-8 y=(b+2)e3-8 （2）a=2，b=2时 x=4et-2t-2 y=4et-2t-2 (3)teatu)2(tebtv)2(【例】【例

25、】在任意时刻，流体质点的位置是在任意时刻，流体质点的位置是x=5t2，其迹，其迹线为双曲线线为双曲线xy=25。质点速度和加速度在。质点速度和加速度在x和和y方向的分量方向的分量为多少？为多少？【解】【解】根据式根据式(2)得得 由式由式(3)得得ttttxu10)5(dddd2txxxttvdd12525ddddy23221010)5(125ttt10tuax430ttvay迹线是流体迹线是流体质点运动的轨质点运动的轨迹，迹，是与拉格是与拉格朗日观点相对朗日观点相对应的概念。应的概念。),(tcbaxx 拉格朗日法中位移拉格朗日法中位移表达式表达式即为迹线的参数方程。即为迹线的参数方程。t

26、是变数，是变数，a,b,c 是参数。是参数。3.3迹线、流线和染色线，流管迹线迹线(),(),(),dru x ty tz tt dt(,)(,)(,)xyzdxdydzdtu x y z tux y z tu x y z tdldxidyjdzk0ud l0 xyzijkdxdydzuuu(,)(,)(,)xyzdxdydzu x y z tu x y z tu x y z t其中在非定常流情况下，流线在非定常流情况下，流线一般会随时间变化。在定常一般会随时间变化。在定常流情况下，流线不随时间变，流情况下，流线不随时间变，流体质点将沿着流线走，迹流体质点将沿着流线走，迹线与流线重合。线与流线

27、重合。迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流迹线和流线最基本的差别是：迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观体质点在不同时刻的位移曲线，与拉格朗日观点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速点对应，而流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。度矢量与之相切的曲线，与欧拉观点相对应。即使是在定常流中，迹线与流线重合，两者仍即使是在定常流中，迹线与流线重合，两者仍是完全不同的概念。是完全不同的概念。根据流线的定义，根据流线的定义，可以推断：除非流可以推断：除非流速为零或无穷大处，速为零或无穷大处，流线不能相交，也流线不能相交，也不能转折。不能转折。染色线染色

28、线染色线是指试验中，利用流场显示技术通过在流场中固染色线是指试验中，利用流场显示技术通过在流场中固定点连续不断注入有色物质所形成的色线（或烟线）。它定点连续不断注入有色物质所形成的色线（或烟线）。它实际是一段时间内相继经过流场中同一空间点实际是一段时间内相继经过流场中同一空间点的流体质点的流体质点在某瞬时连接起来得到的一条曲线，其形状和结构可反映在某瞬时连接起来得到的一条曲线，其形状和结构可反映流场结构和流动特点，也称之为脉线。流场结构和流动特点，也称之为脉线。染色线既不是流线，染色线既不是流线，也不是迹线。也不是迹线。非定常流动条件下：非定常流动条件下：染色线、流线、迹线互不染色线、流线、迹

29、线互不重合。重合。定常流动条件下：染定常流动条件下：染色线与流线、迹线重合。色线与流线、迹线重合。3.4流体微团的运动和变形考察和分析流考察和分析流体质点之间的相体质点之间的相对运动对运动谈及相对运动就谈及相对运动就必须把讨论问题的必须把讨论问题的尺度从流体质点扩尺度从流体质点扩大到流体微团大到流体微团给出在同一时刻给出在同一时刻流体微团中任意两流体微团中任意两点速度之间的关系点速度之间的关系分析流体微分析流体微团的运动形式团的运动形式流体微团运动时，不像刚体那么简单，除了可以平动和转动流体微团运动时，不像刚体那么简单，除了可以平动和转动外，还伴随有变形运动。变形运动可分为体变形和角变形两种。

30、外，还伴随有变形运动。变形运动可分为体变形和角变形两种。所谓平动运动，是一个流体微团移动到另一个地方，微团所谓平动运动，是一个流体微团移动到另一个地方，微团内各质点的相对位置没有发生变化，微团的形状也没有发生内各质点的相对位置没有发生变化，微团的形状也没有发生变化，也称平移。变化，也称平移。（1）平动）平动流体微团的转动和刚体的转动不同，如果在流体微团中流体微团的转动和刚体的转动不同，如果在流体微团中引出若干条直线，它们的旋转角速度可以各不相同。因此，引出若干条直线，它们的旋转角速度可以各不相同。因此，要说流体微团的旋转，只能是平均。要说流体微团的旋转，只能是平均。（2）旋转）旋转 可见，在一

31、般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：可见，在一般情况下，流体微团的运动总是可以分解成：整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动整体平移运动、旋转运动、线变形运动及角变形运动，与，与此相对应的是此相对应的是平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切平移速度、旋转角速度、线变形速率和剪切（角）变形速率（角）变形速率。平移速度 旋转角速度 线变形速率 剪切变形速率1()21()21()2yzxxzyyxzuuyzuuzxuuxyxxyyzzuuuuuuxxxyyyzzzuxuxux121212yxxyyxyzyzzyxzzxxzuuxyuuyzuuzx流体微团的角速度矢量：流体微团的角速度矢量

32、：111()()()222yyxxzzxyzuuuuuuijkijkyzzxxy1122rotVV依据场论的表示法：依据场论的表示法：SSdSndS涡量：涡量：涡通量：涡量在一截面上的面积分涡通量：涡量在一截面上的面积分SLV dldS V 速度环量：速度矢量沿封闭曲线的线积分速度环量：速度矢量沿封闭曲线的线积分斯托克斯斯托克斯公式公式速度的旋度速度的旋度有旋流动和无旋流动有旋流动和无旋流动沿沿封封闭闭曲曲线线的的速速度度环环量量在封闭曲线k上的速度矢量 速度 与该点上切线之间的夹角 V 速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所取的绕行方速度环量的正负不仅与速度方向有关，而且与积分时所

33、取的绕行方向有关。通常规定逆时针方向为向有关。通常规定逆时针方向为K的正方向，即封闭曲线所包围的面积总的正方向，即封闭曲线所包围的面积总在前进方向的左侧。在前进方向的左侧。由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，由此可见，在流体流动中，如果涡量的三个分量中有一个不等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，即为有旋流动。如果在一个流动区域内各处的涡量或它的分量都等于零，也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一也就是沿任何封闭曲线的速度环量都等于零，则在这个区域内的流动一定是无旋流动。定是无旋流动。旋度？0u 无旋流动无旋流动有势流动有势流动这个分类是 很重要的！流体微团运动流体微团运动无旋流动有旋流动 无旋流动无旋流动有势流动有势流动 等价0u0 xyzLLu dlu dxu dyu dz 称为 速度势函数u xyzuxuyuzxyzdu dxu dyu dz本章作业3-3,3-9,3-11,3-13,3-17