（数学）培优反比例函数辅导专题训练及详细答案.doc

1、一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y= （k为常数，且k0）的图象交于A（1，a），B（b，1）两点（1）求反比例函数的表达式； （2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标； （3）求PAB的面积 【答案】（1）解：当x=1时，a=x+4=3，点A的坐标为（1，3）将点A（1，3）代入y= 中，3= ，解得：k=3，反比例函数的表达式为y= （2）解：当y=b+4=1时，b=3，点B的坐标为（3，1）作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，如图所示点B的坐标为（3，1），点D的

2、坐标为（3，1）设直线AD的函数表达式为y=mx+n，将点A（1，3）、D（3，1）代入y=mx+n中， ，解得： ，直线AD的函数表达式为y=2x+5当y=2x+5=0时，x= ，点P的坐标为（ ，0）（3）解：SPAB=SABDSBDP= 22 2 = 【解析】【分析】（1）由一次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，根据点A的坐标利用待定系数法，即可求出反比例函数的表达式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，作点B关于x轴的对称点D，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，由点B的坐标可得出点D的坐标，根据点A、D的坐标利用待定系数法，即可求出直线AB的函数表

3、达式，再由一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；（3）根据三角形的面积公式结合SPAB=SABDSBDP ， 即可得出结论2如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tanOAC= （1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式； （2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由； （3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求BMC的度数 【答案】（1）解：A（5，0），OA=5 ， ，解得OC=2，C（0，2），BD=OC=2，B（0，

4、3），BDx轴，D（2，3），m=23=6， ，设直线AC关系式为y=kx+b，过A（5，0），C（0，2）， ，解得 ， ；（2）解：B（0，3），C（0，2），BC=5=OA，在OAC和BCD中 OACBCD（SAS），AC=CD，OAC=BCD，BCD+BCA=OAC+BCA=90，ACCD；（3）解：BMC=45如图，连接AD，AE=OC，BD=OC，AE=BD，BDx轴，四边形AEBD为平行四边形，ADBM，BMC=DAC，OACBCD，AC=CD，ACCD，ACD为等腰直角三角形，BMC=DAC=45 【解析】【分析】（1）由正切定义可求C坐标，进而由BD=OC求出D坐标，求出 反

5、比例函数解析式；由A、C求出直线解析式；（2）由条件可判定OACBCD，得出AC=CD，OAC=BCD，进而ACCD；（3） 由已知可得AE=OC，BD=OC，得出AE=BD，再加平行得四边形AEBD为平行四边形，推出 OACBCD，AC=CD，ACCD，ACD为等腰直角三角形，BMC=DAC=45.3给出如下规定：两个图形G1和G2 ， 点P为G1上任一点，点Q为G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点（1）点A的坐标为A（1，0），则点B（2，3）和射线OA之间的距离为_，点C（2，3）和射线OA之间的距离

6、为_； （2）如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为 ，那么k=_；（可在图1中进行研究） （3）点E的坐标为（1， ），将射线OE绕原点O顺时针旋转120，得到射线OF，在坐标平面内所有和射线OE，OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M请在图2中画出图形M，并描述图形M的组成部分；（若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示）将射线OE，OF组成的图形记为图形W，直线y=2x4与图形M的公共部分记为图形N，请求出图形W和图形N之间的距离 【答案】（1）3；（2）4（3）解：如图，x轴正半轴，GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直），；由知OH所在直线解析式为y= x

7、，OG所在直线解析式为y= x，由 得 ，即点M（ ， ），由 得： ，即点N（ ， ），则 x ，图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，2x4），即图形W与图形N之间的距离为d，d= = = 当x= 时，d的最小值为 = ，即图形W和图形N之间的距离 【解析】【解答】解：（1）点（2，3）和射线OA之间的距离为3，点（2，3）和射线OA之间的距离为 = ，故答案分别为：3， ；（2）直线y=x+1和双曲线y= k x 之间的距离为 ，k0（否则直线y=x+1和双曲线y= 相交，它们之间的距离为0）过点O作直线y=x+1的垂线y=x，与双曲线y= 交于点E、F，过点E作EGx轴，如图1，由

8、 得 ，即点F（ ， ），则OF= = ，OE=OF+EF=2 ，在RtOEG中，EOG=OEG=45，OE=2 ，则有OG=EG= OE=2，点E的坐标为（2，2），k=22=4，故答案为：4；【分析】（1）由题意可得出点B（2，3）到射线OA之间的距离为B点纵坐标，根据新定义得点C（2，3）和射线OA之间的距离；（2）根据题意即可得k0（否则直线y=x+1和双曲线y= k x 相交，它们之间的距离为0）过点O作直线y=x+1的垂线y=x，与双曲线y= k x 交于点E、F，过点E作EGx轴，如图1，将其联立即可得点F坐标，根据两点间距离公式可得OF长，再由OE=OF+EF求出OE长，在Rt

9、OEG中，根据等腰直角三角形的性质可得点E的坐标为（2，2），将E点代入反比例函数解析式即可得出k值.（3）如图，x轴正半轴，GOH的边及其内部的所有点（OH、OG分别与OE、OF垂直）；由知OH所在直线解析式为y= x，OG所在直线解析式为y= x，分别联立即可得出点M、N坐标，从而得出x取值范围，根据题意图形N（即线段MN）上点的坐标可设为（x，2x4），从而求出图形W与图形N之间的距离为d，由二次函数性质知d最小值.4如图，过原点O的直线与双曲线 交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线 于点P. （1）当m2时，求n的值； （2）当OD：OE

10、1：2，且m3时，求点P的坐标； （3）若ADDE，连接BE，BP，求PBE的面积. 【答案】 （1）解：点A（m，n）在双曲线y 上， mn6，m2，n3；（2）解：由（1）知，mn6， m3，n2，A（3，2），OD：OE1：2，设ODa，则OE2a，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，D（a，0），E（0，2a），直线DE的解析式为y2x2a，点A（3，2）在直线y2x2a上，62a2，a2，直线DE的解析式为y2x4，双曲线的解析式为y ，联立解得， （点A的横纵坐标，所以舍去）或 ，P（2，3）；（3）解：ADDE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n）， E（0，

11、n），D（ m，0），直线DE的解析式为y xn，mn6，m ，y xn，双曲线的解析式为y ，联立解得， （点A的横纵坐标，所以舍去）或 ，P（2m，2n），A（m，n），直线AB的解析式为y x.联立解得， （点A的横纵坐标，所以舍去）或 B（m，n），E（0，n），BEx轴，SPBE BE|yEyP| m|n（2n）| mn3.【解析】【分析】（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A点坐标，设ODa，则OE2a，得D（a，0），E（0，2a），直线DE的解析式为y2x2a，把点A（3，2）代入求出a，再联立两函数即可求出交点P；（3）由ADDE，点D在x轴坐标轴上，点E在

12、y轴负半轴上，故A（m，n），E（0，n），D（ m，0），求得直线DE的解析式为y xn，又mn6，得y xn，与y 联立得 ，即为P点坐标，由直线AB的解析式为y x与双曲线联立解得B（m，n），再根据SPBE BE|yEyP| m|n（2n）|求出等于3.5如图、在矩形OABC中， ， 双曲线 与矩形两边BC，AB分别交于E，F两点. （1）如图一，若E是BC中点，求点F的坐标； （2）如图二，若将 沿直线EF对折，点B恰好落在x轴上的点D处，求k的值. 【答案】 （1）解：矩形OABC中， ， ，E是BC中点， 点 . 点E在双曲线 上， . . 点F的横坐标为4，且在双曲线 上， ，

13、即点 ；（2）解：过点E做 轴于H点， 点 点 ， . ， . ， ， ， . ， ， . ， ， .【解析】【分析】（1）根据E点坐标求出k的值，而后把F点的横坐标代入反比例函数解析式求出纵坐标；（2）过点E做 轴于H点，根据 ，分别用k表示出DF、AF、AD长度，根据勾股定理构造出关于k的方程.6如图，已知函数 的图象与一次函数 的图象相交不同的点A、B，过点A作AD 轴于点D，连接AO，其中点A的横坐标为 ，AOD的面积为2.（1）求 的值及 =4时 的值； （2）记 表示为不超过 的最大整数，例如： ， ，设 ,若 ，求 值 【答案】（1）解：设A（x0 ， y0），则OD=x0 ，

14、AD=y0 ， SAOD= ODAD= x0y0=2，k=x0y0=4；当x0=4时，y0=1，A（4，1），代入y=mx+5中得4m+5=1，m=-1 （2）解： ， mx+5，整理得，mx2+5x-4=0，A的横坐标为x0 ， mx02+5x0=4，当y=0时，mx+5=0，x=- ，OC=- ，OD=x0 ， m2t=m2（ODDC），=m2x0（- -x0），=m（-5x0-mx02），=-4m，- m- ，5-4m6，m2t=5 【解析】【分析】(1）根据反比例函数比例系数k的几何意义，即可得出k的值；根据反比例函数图像上的点的坐标特点，即可求出A点的坐标，再将A点的坐标代入直线y=

15、mx+5中即可求出m的值；（2）解联立直线与双曲线的解析式所组成的方程组，得出mx2+5x-4=0，将A点的横坐标代入得出mx02+5x0=4，根据直线与x轴交点的坐标特点，表示出OC,OD的长，由m2t=m2（ODDC）=-4m，根据m的取值范围得出5-4m6，从而答案。7如图，已知A（3，m），B（2，3）是直线AB和某反比例函数的图象的两个交点（1）求直线AB和反比例函数的解析式； （2）观察图象，直接写出当x满足什么范围时，直线AB在双曲线的下方； （3）反比例函数的图象上是否存在点C，使得OBC的面积等于OAB的面积？如果不存在，说明理由；如果存在，求出满足条件的所有点C的坐标 【答

16、案】（1）解：设反比例函数解析式为y= ，把B（2，3）代入，可得k=2（3）=6，反比例函数解析式为y= ；把A（3，m）代入y= ，可得3m=6，即m=2，A（3，2），设直线AB 的解析式为y=ax+b，把A（3，2），B（2，3）代入，可得 ，解得 ，直线AB 的解析式为y=x1（2）解：由题可得，当x满足：x2或0x3时，直线AB在双曲线的下方（3）解：存在点C如图所示，延长AO交双曲线于点C1 ， 点A与点C1关于原点对称，AO=C1O，OBC1的面积等于OAB的面积，此时，点C1的坐标为（3，2）；如图，过点C1作BO的平行线，交双曲线于点C2 ， 则OBC2的面积等于OBC1的

17、面积，OBC2的面积等于OAB的面积，由B（2，3）可得OB的解析式为y= x，可设直线C1C2的解析式为y= x+b，把C1（3，2）代入，可得2= （3）+b，解得b= ，直线C1C2的解析式为y= x+ ，解方程组 ，可得C2（ ）；如图，过A作OB的平行线，交双曲线于点C3 ， 则OBC3的面积等于OBA的面积，设直线AC3的解析式为y= x+ ，把A（3，2）代入，可得2= 3+ ，解得 = ，直线AC3的解析式为y= x ，解方程组 ，可得C3（ ）；综上所述，点C的坐标为（3，2），（ （） ）【解析】【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数解析式,一次函数解析式,将已知的点A,

18、B的坐标代入设的函数解析式列出关于待定系数的方程（组）求出系数，再回代到解析式（2）结合图像判断直线AB在双曲线的交点坐标为A,B，X取值范围为双曲线所在象限交点的横坐标，第一象限为为小于横坐标大于零，第三象限为小于横坐标（3）结合已知条件根据同底等高、等底同高作出与原三角形面积相等的三角形，再结合已知条件用待定系数法求出与双曲线有交点的直线的解析式，得出点的坐标，注意要考虑满足条件的所有点C的坐标。8如图，直线 y=kx与双曲线 = 交于A、B两点，点C为第三象限内一点（1）若点A的坐标为（a，3），求a的值； （2）当k= ，且CA=CB，ACB=90时，求C点的坐标； （3）当ABC为等

19、边三角形时，点C的坐标为（m，n），试求m、n之间的关系式 【答案】（1）解：把（a，3）代入 = ，得 ，解得a=2；（2）解：连接CO，作ADy轴于D点，作CE垂直y轴于E点，则ADO=CEO=90，DAO+AOD=90，直线 y=kx与双曲线 = 交于A、B两点，OA=OB，当CA=CB，ACB=90时，CO=AO，BOC=90，即COE+BOE=90，AOD=BOE，DAO=EOC，ADOOEC，又k= ，由y= x和y= 解得 ， ，所以A点坐标为（2，3），由ADOOEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，所以C（-3，-2）； （3）解：连接CO，作ADy轴于D点，作CEy轴于E

20、点，则ADO=CEO=90，DAO+AOD=90，直线 y=kx与双曲线 = 交于A、B两点，OA=OB，ABC为等边三角形，CA=CB，ACB=60，BOC=90，即COE+BOE=90，AOD=BOE，DAO=EOC，ADOOEC， ，ACO= ACB=30，AOC=90， ，C的坐标为（m，n），CE=-m，OE=-n，AD= n，OD= m，A（ n， m），代入y= 中，得mn=18.【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数的解析式即可求出a的值；（2）连接CO，作ADy轴于D点，作CE垂直y轴于E点，根据垂直的定义得出ADO=CEO=90，故DAO+AOD=90，根据双曲线

21、的对称性得出OA=OB，当CA=CB，ACB=90时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及等腰三角形的三线合一得出CO=AO，BOC=90，即COE+BOE=90，根据等角的余角相等得出DAO=EOC，从而利用AAS判断出ADOOEC，解联立直线与双曲线的解析式组成的方程组，得出A点的坐标，由ADOOEC得，CE=OD=3，EO=DA=2，进而得出C点坐标；（3）连接CO，作ADy轴于D点，作CEy轴于E点，根据垂直的定义得出ADO=CEO=90，故DAO+AOD=90，根据双曲线的对称性得出OA=OB，ABC为等边三角形，故CA=CB，ACB=60，BOC=90，即COE+BOE=90

22、，根据等角的余角相等得出DAO=EOC，从而判断出ADOOEC，根据相似三角形的旋转得出,根据锐角三角函数的定义，及特殊锐角三角函数值得出,C的坐标为（m，n），故CE=-m，OE=-n，AD= n，OD= m，从而得出A点的坐标，再代入反比例函数的解析式即可求出mn=18.9如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折现”）（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式； （2）如图2，双曲线y= 与新函数的图象交于点C(1，a)，点D是线段AC上一动点(不包括端点)，过点D作x轴的

23、平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P 试求PAD的面积的最大值； 探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形?若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由 【答案】（1）解：如图1，新函数的性质：1.函数的最小值为0；2.函数图象的对称轴为直线x=3.由题意得，点A的坐标为（-3，0），分两种情况：当x-3时，y=x+3；当x-3时，设函数解析式为y=kx+b，在直线y=x+3中，当x=-4时，y=-1，则点（-4，-1）关于x轴的对称点为（-4，1），把点（-4，1），（-3，0），代入y=kx+b中，得：，解得：，y=-x-3.综上，新函数的解析式为y=.（2）

24、解：如图2，点C（1，a）在直线y=x+3上，a=4，点C（1，4）在反比例函数y=上，k=4，反比例函数的解析式为y=.点D是线段AC上一动点，设点D的坐标为（m，m+3），且-3m1，DPx轴，且点P在双曲线上，点P的坐标为（，m+3），PD=-m，SPAD=（-m）（m+3）=m2-m+2=（m+）2+，a=0，当m=时，S有最大值，最大值为，又-30，m0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，3)，点D在二次函数的图象上，CDAB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分DAE. （1）用含m的代数式表示a； （2）求证： 为定值；

25、 （3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】 （1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得， ， （2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N. 由 解得x1=m，x2=3m.A(m，0)，B(3m，0).CDAB，点D的坐标为（2m，3）.AB平分DAE.DAM=EAN.DMA=ENA=900 ， ADMAEN, .设点E的坐标为（x, ）, ,x=4m. 为定值.（3）解

26、：存在， 如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FHx轴于点H，在RtCGO和RtFGH中,tanCGO , tanFGH , = .OG=3m,由勾股定理得，GF= ，AD= .由（2）得， ，ADGFAE=345.以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CDAB，求点D的坐标，由ADMAEN,对应边成比例，将求 的比转化成求 比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的

27、交点即为所求点G.过点F作FHx轴于点H，在RtCGO和RtFGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2） 是定值，所以可得ADGFAE=345，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.13如图，直线y=x+b与反比例函数y= 的图象相交于A（1，4），B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB （1）求k和b的值； （2）直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围； （3）在y轴上是否存在一点P，使SPAC= SAOB？若存在请求出点

28、P坐标，若不存在请说明理由 【答案】（1）解：将A（1，4）分别代入y=x+b和 得：4=1+b，4= ，解得：b=5，k=4（2）解：一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围为：x4或0x1（3）解：过A作ANx轴，过B作BMx轴， 由（1）知，b=5，k=4，直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 由 ，解得：x=4，或x=1，B（4，1）， ， ， ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），SPAC= OPCD+ OPAE= OP（CD+AE）=|t|=3，解得：t=3，t=3，P（0，3）或P（0，3）【解析】【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据

29、图象中的信息即可得到结论；（3）过A作AMx轴，过B作BNx轴，由（1）知，b=5，k=4，得到直线的表达式为：y=x+5，反比例函数的表达式为： 列方程 ，求得B（4，1），于是得到 ，由已知条件得到 ，过A作AEy轴，过C作CDy轴，设P（0，t），根据三角形的面积公式列方程即可得到结论14如图，直线y=mx+n与双曲线y= 相交于A（1，2）、B（2，b）两点，与y轴相交于点C（1）求m，n的值； （2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积； （3）在坐标轴上是否存在异于D点的点P，使得SPAB=SDAB？若存在，直接写出P点坐标；若不存在，说明理由 【答案】（1）解：点A（1，2）

30、在双曲线y= 上，2= ，解得，k=2，反比例函数解析式为：y= ，b= =1，则点B的坐标为（2，1）， ，解得，m=1，n=1（2）解：对于y=x+1，当x=0时，y=1，点C的坐标为（0，1），点D与点C关于x轴对称，点D的坐标为（0，1），ABD的面积= 23=3（3）解：对于y=x+1，当y=0时，x=1，直线y=x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），SPAB= |1a|2+ |1a|1=3，解得，a=1或3，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），SPAB= |1b|2+ |1b|1=3，解得，b=1或3，P点坐标为（1，0）或（3，0

31、）或（0，1）或（0，3） 【解析】【分析】（1）由点A（1，2）在双曲线上，得到k=2，得到反比例函数解析式为，从而求出b的值和点B的坐标，把A、B坐标代入直线y=mx+n，求出m、n的值；（2）由一次函数的解析式求出点C的坐标，由点D与点C关于x轴对称，得到点D的坐标，从而求出ABD的面积；（3）由一次函数的解析式得到直线y=x+1与x轴的交点坐标为（0，1），当点P在x轴上时，设点P的坐标为（a，0），求出SPAB=3，求出a的值，当点P在y轴上时，设点P的坐标为（0，b），求出SPAB=3，求出b的值，从而得到P点坐标.15如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y=kx+b的图象交于A

32、，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1） （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）点E为y轴上一个动点，若SAEB=10，求点E的坐标 【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y= ，得m=12， 则y= 把点B（n，1）代入y= ，得n=12，则点B的坐标为（12，1）由直线y=kx+b过点A（2，6），点B（12，1）得，解得 ，则所求一次函数的表达式为y= x+7（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE， 则点P的坐标为（0，7）PE=|m7|SAEB=SBEPSAEP=10， |m7|（122）=10|m7|=2m1=5，m2=9点E的坐标为（0，5）或（0，9） 【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数的解析式，把点B的坐标代入已求出的反比例函数解析式，得出n的值，得出点B的坐标，再把A、B的坐标代入直线y=kx+b，求出k、b的值，从而得出一次函数的解析式；（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，先求出点P的坐标（0，7），得出PE=|m7|，根据SAEB=SBEPSAEP=10，求出m的值，从而得出点E的坐标