人教版八年级上册整式的乘法及因式分解单元总结与归纳.doc

1、整式的乘法同底数幂的乘积 注意点：（1）必须清楚底数、指数、幂这三个基本概念的涵义。 （2）前提必须是同底数，指数才可以相加 （3）底可以是一个具体的数或字母，也可以是一个单项式或多项式， （4）指数都是正整数（5）三个或三个以上的同底数幂相乘，即 （6）不要与整式加法相混淆。（7）这个公式是可逆的类型一：x3x4 = xnx4 = ； 3x2xnx4= ； 类型二：(1) 已知xm-nx2n+1=x11,且ym-1y4-n=y5,求mn2的值。 (2)若22m8=2n ,则n= 类型三：(1)、 (- )(- )2(- )3 (2)、 -a4(-a)4(-a)5 (3)、 (x-y)3(y-

2、x)(y-x)6 （4）、 类型四：已知2a=3, 2b=6, 2c=12，试探究a、b、c之间的关系；1. 幂的乘方 注意点：（1）幂的底数a可以是具体的数也可以是多项式。 （2）不要和同底数幂的乘法法则相混淆 （3）公式的可逆性： ； （4）公式的扩展: 类型一：(a3)5 = ; ; ; (a+b)23= ; (a2)53= ;类型二：【例1】若 【例2】若求的值； 【例3】已知，试比较a,b,c的大小;2. 积的乘方 注意点：（1）注意与前二个法则的区别： （2）积的乘方推广到3个以上因式的积的乘方 （3）每个因式可以是单项式，多项式，或者其他代数式 （4）每个因式都要乘方，然后将所得

3、的幂相乘 （5）公式的可逆性： (6) 幂的乘方,积的乘方的可逆性： amn=(am)n=(an)m 类型一：；类型二：【例1】当ab= ，m=5, n=3, 求(ambm)n的值。 【例2】若a3b2=15，求-5a6b4的值。 【例3】如果3m+2n=6，求8m4n的值。 【例4】 （1）解方程 （2）解方程 【例5】已知ax=5，ax+y=25，求ax+ay的值 【例6】已知：2x=4y+1，27y=3x-1，求xy的值 类型三：【例】计算： 4.单项式乘法法则：【例】 5.单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.【例】 6.多

4、项式乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.【例1】 【例2】：解方程与不等式 （4+3y)(4-3y)9(y-2)(y+3) 【例3】确定参数a的值. 题型一：确定参数的值【例】若展开式中不含项和项，求m,n的值，并写出展开式中的最后结果练习：题型二：整式乘法的实际应用【例1】：小明将现金x元存入银行，年利率为a，到期后他又连本带利存入该银行，形式还是1年期，蛋年利率调整为b，那么一年后，小明能获得的本息总和是多少（扣除5%的利息税）练习：一种商品进价是p元，他的价格提高10k%，再打k折，则售价是 元【例2】：观察下列各式： 观察等式

5、左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来： .题型三：整式的乘法能力提升训练；例1. 已知，求的值.变式： 已知，求的值变式： 已知的值.例2. 已知，求代数式的值。变式： 已知，求代数式的值。变式： 已知，求代数式的值。平方差和完全平方一、复习:(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 (a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2)=a3b3 归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，(x+y)(-y+x)=x2-y2 符号变化，(-x+y)(-x-y)

6、=(-x)2-y2= x2-y2 指数变化，(x2+y2)(x2-y2)=x4-y4 系数变化，(2a+b)(2a-b)=4a2-b2 换式变化，xy+(z+m)xy-(z+m)=(xy)2-(z+m)2=x2y2-(z+m)(z+m)=x2y2-(z2+zm+zm+m2)=x2y2-z2-2zm-m2 增项变化，(x-y+z)(x-y-z)=(x-y)2-z2=(x-y)(x-y)-z2=x2-xy-xy+y2-z2=x2-2xy+y2-z2 连用公式变化，(x+y)(x-y)(x2+y2)=(x2-y2)(x2+y2)=x4-y4 逆用公式变化，(x-y+z)2-(x+y-z)2 =(x-

7、y+z)+(x+y-z)(x-y+z)-(x+y-z) =2x(-2y+2z)=-4xy+4xz例题解析：例1已知，求的值。解： =， =例2已知，求的值。解： =， 例3：计算19992-20001998解析此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。解：19992-20001998 =19992-（1999+1）（1999-1） =19992-（19992-12）=19992-19992+1 =1例4：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。解析此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，

8、所以只要求出x-z的值即可。解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=144=56。例5运用公式简便计算（1）1032 （2）1982解：（1）1032=(100+3)2 =1002+21003+32 =10000+600+9 =10609 （2）1982=(200-2)2 =2002-22002+22 =40000-800+4 =39204 例6计算（1）(a+4b-3c)(a-4b-3c) （2）(3x+y-2)(3x-y+2)解：（1）原式=(a-3c)+4b(a-3c)-4b=(a-3c)2-(4b)2=a2-6ac+9c2-16b2

9、 （2）原式=3x+(y-2)3x-(y-2)=9x2-( y2-4y+4)=9x2-y2+4y-4例7解下列各式（1）已知a2+b2=13，ab=6，求(a+b)2，(a-b)2的值。（2）已知(a+b)2=7，(a-b)2=4，求a2+b2，ab的值。（3）已知a(a-1)-(a2-b)=2，求的值。（4）已知，求的值。分析：在公式(a+b)2=a2+b2+2ab中，如果把a+b，a2+b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。解：（1）a2+b2=13，ab=6 (a+b)2=a2+b2+2ab=13+26=25 (a-b)2=a2+b2-2ab=1

10、3-26=1 （2）(a+b)2=7，(a-b)2=4 a2+2ab+b2=7 a2-2ab+b2=4 +得 2(a2+b2)=11，即 -得 4ab=3，即 （3）由a(a-1)-(a2-b)=2 得a-b=-2 （4）由，得 即 即 例8（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.（2） (-2m-1)2=-(2m+1)2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.例9四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？分析：由于1234+1=25=52

11、2345+1=121=112 3456+1=361=192 得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。解：设n，n+1，n+2，n+3是四个连续自然数则n(n+1)(n+2)(n+3)+1 =n(n+3)(n+1)(n+2)+1 =(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1 =(n2+3n+1)2n是整数， n2，3n都是整数 n2+3n+1一定是整数(n2+3n+1)是一个平方数 四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。例10计算 （1）(x2-x+1)2 （2）(3m+n-p)2解：（1）(x2-x+1)2=(x2)2+(-x)2+12+2

12、x2(-x)+2x21+2(-x)1=x4+x2+1-2x3+2x2-2x=x4-2x3+3x2-2x+1 （2）(3m+n-p)2=(3m)2+n2+(-p)2+23mn+23m(-p)+2n(-p)=9m2+n2+p2+6mn-6mp-2np分析：两数和的平方的推广 (a+b+c)2 =(a+b)+c2 =(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 =a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac 即(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法(一)、套用:这是最初的公式

13、运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例1. 计算： 解：原式(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。例2. 计算：解：原式例3. 计算：解：原式三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例4. 计算：解：原式四、变用: 题目变形后运用公式解题。例5. 计算：解：原式五、活用: 把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想

14、认识乘法公式：对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。.

15、七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一. 先分组，再用公式 例1. 计算： 简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式运用加法交换律和结合律变形为；将另一个整式变形为，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。 解：原式 二. 先提公因式，再用公式 例2. 计算： 简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同

16、的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为，则可利用乘法公式。 解：原式 三. 先分项，再用公式 例3. 计算： 简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。 解：原式= 四. 先整体展开，再用公式 例4. 计算： 简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。 解：原式 五. 先补项，再用公式 例5. 计算： 简析：由观察整式，不难发现，若先补上一

17、项，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。 解：原式 六. 先用公式，再展开 例6. 计算： 简析：第一个整式可表示为，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。 解：原式 七. 乘法公式交替用 例7. 计算： 简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。 解：原式 八、中考与乘法公式1. 结论开放例1. 请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是_。分析：利用面积公式即可列出或或在上述公式中任

18、意选一个即可。例2. 如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是_。分析：利用面积公式即可列出或2. 条件开放例3. 多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是_（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出 或只要再动点脑筋，还会得出 故所加的单项式可以是，或，或，或等。3. 找规律例4. 观察下列各式：由猜想到的规律可得_。分析：由已知等式观察可知 4. 推导新公式例5. 在公式中，当a分别取1，2

19、，3，n时，可得下列n个等式将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：_（用含n的代数式表示）分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得： 移项，整理得：例6. 阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如： 就可以用图4或图5等图表示。（1）请写出图6中所表示的代数恒等式_；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。解：（1）（2）如图7（3）略九、怎样熟练运用公式：（一）

20、、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式如计算（x+2y3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（ab）2=a22ab+b2来解了。（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式

21、特征，合理调整变化，使其满足公式特点常见的几种变化是：1、位置变化 如（3x+5y）（5y3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了2、符号变化 如（2m7n）（2m7n）变为（2m+7n）（2m7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化 如98102，992，912等分别变为（1002）（100+2），（1001）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了4、系数变化 如（4m+）（2m）变为2（2m+）（2m）后即可用平方差公式进行计算了5、项数变化 如（x+3y+2z）（x3y+6z）变为（x+3y+4z2z）（x3y+4z+2z）后再适当分

22、组就可以用乘法公式来解了因式分解十字相乘法.（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进行分解。特点：（1）二次项系数是1； （2）常数项是两个数的乘积； （3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例1.已知05，且为整数，若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一个完全平方数。于是为完全平方数，例2、分解因式：分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，从中可以发现只有23的分解适合，即2+3=5。 1 2解：= 1 3 = 12+1

23、3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例3、分解因式：解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7练习1、分解因式(1) (2) (3)练习2、分解因式(1) (2) (3)（二）二次项系数不为1的二次三项式条件：（1） （2） （3） 分解结果：=例4、分解因式：分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：=练习3、分解因式：（1） （2） （3） （4）（三）二次项系数为1的齐次多项式例5、分解因式：分析：将看成常数，把原多项式看成关于的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解：= =练习4、分解因式(1)(2)(3)（四）二次项系数不为1的齐次多项式例9、 例10、 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式=练习9、分解因式：（1） （2）综合练习5、（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）