1、第五节三、三、功与平均功率功与平均功率一、一、液体静压力液体静压力二、二、引力引力定积分在物理学上的应用 第十章 面积为 A 的平板一.液体静压力设液体密度为 深为 h 处的压强:hpgh当平板与水面平行时,ApP 当平板不与水面平行时,所受静压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为小窄条上各点的压强xpg33g2R例1.的液体,求桶的一个端面所受的静压力.解解:建立坐标系如图.所论半圆的22xRy)0(Rx 利用对称性,静压力元素RP0 xxRxdg222oxyRxxxd222xRPdxg端面所受静压力为xd方程为一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,d222xxR说明说明:当桶
2、内充满液体时,)(gxR 小窄条上的压强为侧压力元素Pd故端面所受侧压力为RRxxRxRPd)(g222奇函数奇函数3gR)(gxR RxxRR022dg4oxyRxxxd二二.引力引力质量分别为21,mm的质点,相距 r,1m2mr二者间的引力:大小:221rmmkF 方向:沿两质点的连线若考虑物体物体对质点的引力,则需用积分解决.例2.设有一长度为 l,线密度为 的均匀细直棒,其中垂线上距 a 单位处有一质量为 m 的质点 M,M该棒对质点的引力.解解:建立坐标系如图.y2l2l,dxxx细棒上小段对质点的引力大小为 dkF xmd22xa故垂直分力元素为cosddFFya22dxaxmk
3、22xaa23)(d22xaxamkaxox在试计算FdxFdyFdxxd利用对称性利用对称性223022)(d2lxaxamkFy02222lxaaxamk22412laalmk棒对质点引力的水平分力.0 xF22412llmkFaa故棒对质点的引力大小为2lFdxFdyFdMy2laoxxxxd棒对质点的引力的垂直分力为 y2l2laoxxxdx说明说明:amk22)若考虑质点克服引力沿 y 轴从 a 处1)当细棒很长时,可视 l 为无穷大,此时引力大小为方向与细棒垂直且指向细棒.移到 b(a b)处时克服引力作的功,bybalyyylmkW224d222412llmkyyWdyd则有lo
4、xyacosdFyFd23)(d22xaxamkxFd23)(d22xaxxmklyxaxamkF02223)(dlxxaxxmkF02223)(d引力大小为22yxFFF22ddxaxmkFxxxdxFdyFdsindF注意正负号3)当质点位于棒的左端点垂线上时,三三.功与平均功率功与平均功率设物体在连续变力 F(x)作用下沿 x 轴从 xa 移动到,bx 力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.xabxxxd，上任取子区间在d,xxxba在其上所作的功元素为xxFWd)(d因此变力F(x)在区间,ba上所作的功为baxxFWd)(例3.一个单求电场力所作的功.qorabrrdr 11解解:
5、当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律库仑定律电场力为2rqkF 则功的元素为rrqkWdd2所求功为barrqkWd2rqk1ab)11(baqk说明说明:处的电势为电场在ar arrqkd2aqk位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处(a 2 R)的水池底,水的密度多少功?解解:建立坐标系如图.则对应d,xxx上球的薄片提到水面上的微功为1d Wxyd2提出水面后的微功为2d W)(dg2xRxyxxRxRd)(g22,0 xxRHxRd)(g)(220H),(yxxyxo现将其从水池中取出,需做微元体积所受重力上升高度g)(0)(xRH因此微功元素为21dddWWWxxRd)
6、(g22球从水中提出所做的功为WxxRxRHRRd)()()(2200g“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220g)(34003RHR)(g200RHH)(0)(0 xR Hxoyx5.设有半径为 R 的半球形容器如图.(1)以每秒 a 升的速度向空容器中注水,求水深为为h(0 h R)时水面上升的速度.(2)设容器中已注满水,求将其全部抽出所做的功最少应为多少?解解:过球心的纵截面建立坐标系如图.oxy则半圆方程为2x22yyRhR设经过 t 秒容器内水深为h,.)(thh 则oxyhR(1)求thdd由题设,经过 t 秒后容器内的水量为而高为 h 的球缺的体积为半球可看作半圆绕 y 轴旋转而成体积元素:yxd2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有tayyRyhd)2(20两边对 t 求导,得)2(2hRh thddathdd)2(2hRhaat(升),(2)将满池水全部抽出所做的最少功为将全部水提对应于d,yyyyxd2微元体积:微元的重力:yxdg2薄层所需的功元素oxRyWdyxdg2)(yR yyRyRyd)(2(g2故所求功为WR0gyyyRyRd)32(3224g4Ry到池沿高度所需的功.
