有限元数学原理课件.ppt

1、第二章第二章 有限元法模拟有限元法模拟第一节第一节 有限元模拟数学原理有限元模拟数学原理主要内容主要内容v有限元发展历史沿革有限元发展历史沿革v塑性力学知识简单回顾塑性力学知识简单回顾v刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v刚粘塑性有限元基本原理刚粘塑性有限元基本原理有限元简介有限元简介v有限元发展历史有限元发展历史 4040年代萌芽年代萌芽;50 50年代中期创始年代中期创始;(M.J.Turner;(M.J.Turner和和R.W.Clough);R.W.Clough);6060年代诞生年代诞生;(;(R.W.Clough,O.C.ZienkiewiczR.W.Clough,O.C.Z

2、ienkiewicz););有限元简介有限元简介v塑性成型有限元发展历史塑性成型有限元发展历史 19671967年，年，P.V.MarcalP.V.Marcal和和I.P.King3 I.P.King3 1968 1968年年 Y.Yamada4 Y.Yamada4 弹塑性小变形问题弹塑性小变形问题;1970 1970年年 H.D.HibbitH.D.Hibbit,1975 1975年年 R.M.McMeekingR.M.McMeeking大变形弹塑性问题大变形弹塑性问题;1973 1973年年 C.H.LeeC.H.Lee和和S.KobayashiS.Kobayashi 1979 1979年

3、，年，O.C.ZienkiewiczO.C.Zienkiewicz刚塑性有限元法刚塑性有限元法;8080年代年代O.C.ZienkiewiczO.C.Zienkiewicz;S.Kobayashi;S.Kobayashi和和S.Oh S.Oh 推推导了刚粘塑性有限元方法导了刚粘塑性有限元方法.有限元简介有限元简介v刚塑性有限元特点刚塑性有限元特点v优点优点 没有应力的误差累积没有应力的误差累积 可以取较大的增量步可以取较大的增量步 历史变量少历史变量少 有限元列式简单有限元列式简单v缺点缺点 不适合计算弹性问题不适合计算弹性问题 不能处理回弹不能处理回弹 不能处理残余应力不能处理残余应力 不适

4、合计算小变形问题不适合计算小变形问题塑性力学知识回顾塑性力学知识回顾v塑性力学的基本方程塑性力学的基本方程-应力平衡微分方程应力平衡微分方程000zyxzyxzyxzyzxzzyyxyzxyxx塑性力学知识回顾塑性力学知识回顾v塑性力学的基本方程塑性力学的基本方程-小变形几何方程小变形几何方程)(21 )(21 )(21 zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx)(21 )(21 )(21 zuxwzwywzvyvxvyuxuxzzxzzyyzyyxxyx塑性力学知识回顾塑性力学知识回顾v塑性力学的基本方程塑性力学的基本方程-屈服准则屈服准则Tresca、Mises准

5、则Tresca、Mises准则s31s塑性力学知识回顾塑性力学知识回顾v塑性力学的基本方程塑性力学的基本方程-本构方程本构方程zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxx232323)(21)(21)(21zxzxyzyzxyxyyxzzxzyyzyxxdddddddddddd232323)(21)(21)(21塑性力学知识回顾塑性力学知识回顾v塑性力学的基本方程塑性力学的基本方程-上限原理上限原理TisiDSijvUisidSuTdSuKdVdSuTTDijU*TisiDSijvUisidSduTdSuKdVddSduTTDijU*塑性力学知识回顾塑性力学知识回顾v基本问题描述基本问题描

6、述 1 1、有一块刚塑性材料，其边界、有一块刚塑性材料，其边界S S围成的体积为围成的体积为V V内满足平衡方程、协调内满足平衡方程、协调方程、体积不可压缩条件和本构关系。方程、体积不可压缩条件和本构关系。基本方程基本方程 2 2、在边界、在边界S S上，上，一部分表面上给定位移速度，只一部分表面，给定表一部分表面上给定位移速度，只一部分表面，给定表面力。面力。力学边界条件力学边界条件 3 3、在体积、在体积V V内可能生热；通过表面内可能生热；通过表面S S，变形体与工具或与周围环境之间，变形体与工具或与周围环境之间可能发生热交换可能发生热交换q q，但维持能量平衡。，但维持能量平衡。热力学

7、边界条件热力学边界条件 刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v基本问题求解基本问题求解1515个方程组成的方程组个方程组成的方程组上限原理上限原理;应力平衡微分方程（应力平衡微分方程（3）小变形几何方程（小变形几何方程（6）本构方程（本构方程（6）（屈服准则）（屈服准则）TisiDSijvUisidSuTdSuKdVdSuTTDijU*刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v数学基础数学基础 讨论极值的求解方法讨论极值的求解方法!TisiDSijvUisidSuTdSuKdVdSuTTDijU*优化穷举法优化穷举法求导数方法求导数方法刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v数学基础数学

8、基础 函数函数 ：对于某一值域中的任意数：对于某一值域中的任意数X,FX,F都有唯一的都有唯一的值与之对应，我们称值与之对应，我们称F F是一个函数。是一个函数。泛函：泛函：对于某一值域中的任意一个函数对于某一值域中的任意一个函数F(xF(x),II),II都有唯一的值与之对应，我们称都有唯一的值与之对应，我们称IIII是一个泛函。是一个泛函。实质：泛函是自变量为函数的函数。实质：泛函是自变量为函数的函数。刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v数学基础数学基础函数：函数：F(X)F(X)自变量：自变量：X X微分：微分：df(xdf(x)极值：一阶微分极值：一阶微分为为0 0泛函：泛函：I

9、III宗量：宗量：F(X)F(X)变分：变分：&II(F(x&II(F(x)极值：一阶变分极值：一阶变分为为0 0刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理vMarkov变分原理变分原理 设一刚塑性物体体积为设一刚塑性物体体积为V V，边界表面为，边界表面为 S S，整个物，整个物体处于塑性变形状态。在表面的体处于塑性变形状态。在表面的SPSP部分给定表面力，在表部分给定表面力，在表面的面的SVSV部分给定速度。在满足几何方程、体积不可压缩条部分给定速度。在满足几何方程、体积不可压缩条件和速度边界条件的一切动可容速度场，使泛函件和速度边界条件的一切动可容速度场，使泛函psiivdsvpdv取得极

10、少值的速度场，即是真实速度场。取得极少值的速度场，即是真实速度场。刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v自然变分原理自然变分原理0Vsiivpdsvpdv刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v广义变分原理广义变分原理-拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法),(yxfz 0),(yxg),(),(yxgyxfz0),(00yxgzygyfyzxgxfxz刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v广义变分原理广义变分原理-拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法0VsiivpdsvpdvdsvpdVdVpsiivvvm刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v广义变分原理广义变分原理-拉格朗日乘子法拉格朗日乘

11、子法m速度场速度场应变速率应变速率应力场应力场刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v广义变分原理广义变分原理-罚函数法罚函数法0VsiivpdsvpdvdsvpdVdVpsiivvv22）（vm刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v广义变分原理广义变分原理-可压缩法可压缩法认为材料是可压缩的认为材料是可压缩的g刚塑性有限元基本原理刚塑性有限元基本原理v广义变分原理广义变分原理-各种方法的比较各种方法的比较 1)1)拉格朗日乘子法引进了附加的未知数，所以拉格朗日乘子法引进了附加的未知数，所以总自由度增加约总自由度增加约5050，计算消耗就增加很多。，计算消耗就增加很多。2)2)虽然三种方

12、法的总刚度矩阵都是对称、稀疏虽然三种方法的总刚度矩阵都是对称、稀疏的，但拉格朗日乘子法的刚度阵不呈带状，所以的，但拉格朗日乘子法的刚度阵不呈带状，所以拉格朗日法需要更多的存储空间和计算时间。拉格朗日法需要更多的存储空间和计算时间。3)3)如果罚函数法的罚数选得过大，或可压缩性法如果罚函数法的罚数选得过大，或可压缩性法的的g g值选得过小，有可能使刚度方程病态。值选得过小，有可能使刚度方程病态。4)4)理论上，拉格朗日乘子法更精确理论上，拉格朗日乘子法更精确刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性的概念刚粘塑性的概念 刚塑性刚塑性:忽略变形速度的影响忽略变形速度的影响;(;(低温低

13、温)粘塑性粘塑性:考虑变形速度的影响。考虑变形速度的影响。(高温高温),(T刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性模型刚粘塑性模型 1、过应力模型、过应力模型 ),(T)(1)(nrY刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性模型刚粘塑性模型 2、Backofen模型模型 ),(Tmc刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性模型刚粘塑性模型 3、Rosserd模型模型 ),(Tnmk刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性模型刚粘塑性模型 4、Norton-Hoff模型模型 ),(TijmijK1)3(2mmK1)3(刚粘塑性有限元基本思

14、想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性模型刚粘塑性模型 、Sellars-Tegart模型模型 ),(TmA)(sinh11刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性有限元列式刚粘塑性有限元列式 VijijSiiVdVdSuFdVFVijijSiiVijdVdSuFdVEF)(ddEijijijij00)(刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性有限元列式刚粘塑性有限元列式 dVdSuFdVvvSiiVF22）（dVdSuFdVEvvSiiVijF22)(）（ddEijijijijij00)(刚粘塑性有限元基本思想刚粘塑性有限元基本思想v刚粘塑性有限元列式刚粘塑性有限元列式 )(1)(nrY)(1)()(1)()(100nnijrnrYdrYdE小结小结vMarkovMarkov变分原理变分原理v广义变分原理广义变分原理v刚粘塑性变分原理刚粘塑性变分原理