杆梁结构的有限元法课件.ppt

1、3-13-1、杆梁结构的单元划分、杆梁结构的单元划分3-23-2、两节点杆单元的单元分析、两节点杆单元的单元分析3-33-3、两节点平面梁单元单元分析、两节点平面梁单元单元分析3-43-4、空间梁单元单元分析、空间梁单元单元分析3-53-5、拉压弯曲综合作用梁单元、拉压弯曲综合作用梁单元3-63-6、单元刚度矩阵的坐标变换、单元刚度矩阵的坐标变换3-73-7、整体刚度矩阵的形成、整体刚度矩阵的形成3-83-8、实例、实例l 本章讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁本章讨论杆梁单元和由它们组成的平面和空间杆梁结构系统。杆梁结构是指长度远大于其横断面尺寸的构件结构系统。杆梁结构是指长度远大于其

2、横断面尺寸的构件组成的系统。在机械、建筑等领域承担着重要角色。根据组成的系统。在机械、建筑等领域承担着重要角色。根据构件两端的连接形式和载荷作用点不同，导致构件内的受构件两端的连接形式和载荷作用点不同，导致构件内的受力状态不同，从而将构件分为杆和梁。在结构力学中常将力状态不同，从而将构件分为杆和梁。在结构力学中常将承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩的承受轴力或扭矩的杆件成为杆，而将承受横向力和弯矩的杆件称为梁。在有限元法中将上述两种单元称为杆单元和杆件称为梁。在有限元法中将上述两种单元称为杆单元和梁单元。实际中，由杆件组成的平面和空间结构系统，其梁单元。实际中，由杆件组成的平面和

3、空间结构系统，其上的受力往往是轴力、扭矩、横向力、弯矩联合作用，杆上的受力往往是轴力、扭矩、横向力、弯矩联合作用，杆件的轴线方向也是相互交错，因此，对杆件系统的分析，件的轴线方向也是相互交错，因此，对杆件系统的分析，必须涉及杆单元与梁单元的组合，以及单元矩阵从局部坐必须涉及杆单元与梁单元的组合，以及单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换。本章讨论：标到总体坐标的转换。本章讨论：l1 1、杆梁结构的单元划分、杆梁结构的单元划分l2 2、只承受轴力的杆单元、承受横向力和弯矩的梁单元、只承受轴力的杆单元、承受横向力和弯矩的梁单元l3 3、承受轴力、横向力、弯矩联合作用的梁单元、承受轴力、横向力、弯矩联合

4、作用的梁单元l4 4、单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换、单元矩阵从局部坐标到总体坐标的转换l5 5、单元刚度的集成。、单元刚度的集成。一般而言，杆梁问题都有精确解，只是问题太复杂时，结构一般而言，杆梁问题都有精确解，只是问题太复杂时，结构力学中方法求解困难，必须借助有限元求解。力学中方法求解困难，必须借助有限元求解。杆梁结构的单元划分一般都按杆梁的自然连接杆梁结构的单元划分一般都按杆梁的自然连接进行，即两铰接点之间的构件为一个单元，当然，进行，即两铰接点之间的构件为一个单元，当然，对于梁结构，考虑到集中载荷作用点、截面变化点对于梁结构，考虑到集中载荷作用点、截面变化点和分布载荷突变点应设置节

5、点，也可将一根梁构件和分布载荷突变点应设置节点，也可将一根梁构件划分为多个梁单元划分为多个梁单元,如上图中的梁结构。如上图中的梁结构。1 2 3 4 5 载荷突变点必须设置节点载荷突变点必须设置节点截面变化点必须设置节点截面变化点必须设置节点l由于杆梁问题有解析解，所以杆梁单元无需假设近似函数作为由于杆梁问题有解析解，所以杆梁单元无需假设近似函数作为位移函数，其刚度矩阵可直接按材料力学的基本公式，建立平位移函数，其刚度矩阵可直接按材料力学的基本公式，建立平衡推得，如绪论介绍的实例所示。但为了统一有限元分析的格衡推得，如绪论介绍的实例所示。但为了统一有限元分析的格式，这里仍按有限元的基本格式推导

6、，其结果是相同的，亦即式，这里仍按有限元的基本格式推导，其结果是相同的，亦即杆梁单元的有限元解是精确解。杆梁单元的有限元解是精确解。y x jf iu ju if 假设杆只承受轴向力，只有轴线方向的位移和假设杆只承受轴向力，只有轴线方向的位移和变形，不受剪力，同时，假设杆单元中间没有变形，不受剪力，同时，假设杆单元中间没有外力，即外力只能作用于节点上。所以，每个外力，即外力只能作用于节点上。所以，每个节点只有一个自由度，单元有两个自由度。常节点只有一个自由度，单元有两个自由度。常称为轴力杆单元称为轴力杆单元1、位移函数、位移函数待定系数可得到待定系数可得到12ux1212,1 ijuuN Nu

7、xxNNll l2、应变矩阵、应变矩阵l3、刚度矩阵、刚度矩阵 1 1,ixjeuduudxl lB 0 leTKBEA B dxexxEEB1111eAEKl y x jf iu ju if iijjfukkfukkAEkl*TTFd xd yd z y x xjM xi xj xiM TeixjxTeixjxFMM假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变假设杆只承受扭矩，只有绕轴线扭转变形，即自由扭转，所以，每个节点只有形，即自由扭转，所以，每个节点只有一个回转自由度，单元有两个自由度。一个回转自由度，单元有两个自由度。常称为扭力杆单元。实际结构中，除圆常称为扭力杆单元。实际结构中，除圆截面杆外

8、，其他截面的杆扭转变形后，截面杆外，其他截面的杆扭转变形后，截面不再保持平面，会发生翘曲；同时，截面不再保持平面，会发生翘曲；同时，很多截面受扭转变形时，并不是绕截面很多截面受扭转变形时，并不是绕截面形心转动，会复杂的多。形心转动，会复杂的多。如图为只受扭转的杆单如图为只受扭转的杆单元。同上分析，只需将元。同上分析，只需将相应的变量和符号进行相应的变量和符号进行替换，可得扭力杆的刚替换，可得扭力杆的刚度矩阵：度矩阵：1111eGJKll设设x轴与梁单元重合，梁的轴与梁单元重合，梁的主惯性轴为主惯性轴为y，外载作用于，外载作用于同一平面内，则梁单元处于同一平面内，则梁单元处于平面弯曲状态。每个节

9、点两平面弯曲状态。每个节点两个自由度，即个自由度，即y向线位移和向线位移和绕绕z轴的转角，节点力和节轴的转角，节点力和节点力矩如图所示。节点力和点力矩如图所示。节点力和节点位移向量为：节点位移向量为：（称平（称平面弯曲梁单元）面弯曲梁单元）x ,iyiF v y,jjM,iiM,jyjFv TeiyijyjTeiijjFFMFMvv1、位移函数、位移函数据材料力学可知，转角与扰度存在如下关系：据材料力学可知，转角与扰度存在如下关系：231234vxxx223423dvxxdx利用两个节点坐标可带定四个系数，并整理为插值函数形式：利用两个节点坐标可带定四个系数，并整理为插值函数形式：1212ei

10、iiijjjjvNN vNN vN23123222231232223212132iijjxxNllxxNxllxxNllxxNxll（）（-）梁单元弯曲变形时，若忽略剪切梁单元弯曲变形时，若忽略剪切的影响，则由材料力学得的影响，则由材料力学得x方向的方向的位移及应变为：位移及应变为：22xdvuyydxdud vydxdx l2、应变矩阵、应变矩阵l 将形函数代入几何方程得：将形函数代入几何方程得：l3、刚度矩阵、刚度矩阵l注意：注意：23222212346124661226 =exeeexxxxxxyllllllllBBBBBEE B 0 leTzKBEI B dx2zIy dydz 223

11、21261264621264ezlllllEIKlll *TTFdxdydzl当梁单元受到拉压和弯曲综合当梁单元受到拉压和弯曲综合作用时，单元的节点位移向量作用时，单元的节点位移向量和节点力向量为：（称平面刚和节点力向量为：（称平面刚架梁单元）架梁单元）l其刚度矩阵可直接迭加得到其刚度矩阵可直接迭加得到（当然，必须先将矩阵扩大为（当然，必须先将矩阵扩大为6x6的矩阵）的矩阵）x ,iyiF v y,jjM,iiM,jyjFv,ixiF u,jxjF u TeixiyijxjyjTeiiijjjFFFMFFMuvuv 12eeeKKKl刚度矩阵为：刚度矩阵为：122232222232210010

12、000000000000126012600004062 =1000000012604000012601264062 001264eeezzzzzzzzzzzKKKlllllEAEIllllAlAlIlIIlIl IlIl IElAlIlIl I杆单元扩大刚度矩阵杆单元扩大刚度矩阵弯曲梁单元扩大刚度矩阵弯曲梁单元扩大刚度矩阵l对于空间梁单元，每个节点对于空间梁单元，每个节点有六个自由度，设有六个自由度，设x轴为单轴为单元轴线，元轴线，l节点位移和节点力向量为：节点位移和节点力向量为：l其刚度矩阵类似上述受拉压其刚度矩阵类似上述受拉压-弯曲综合作用的梁单元刚弯曲综合作用的梁单元刚阵的形成，可迭加得

13、：（也阵的形成，可迭加得：（也可据刚度矩阵元素的物理意可据刚度矩阵元素的物理意义，从材料力学得到）义，从材料力学得到）y z i x,ixiixixF u M,iziizizFw M,iyiiyiyF v M j TeixiyizixiyizjxjyjzjxjyjzTeiiiixiyizjjjjxjyjzFFFFMMMFFFMMMuvwuvw 32323232223232000000000012612600000001261260000000000000462000004620000000001260001260000404zzzzyyyyyyyzzzezzyyyzEAEAllEIEIEIEI

14、llllEIEIEIEIllllGJGJllEIEIEIlllEIEIEIlllKEAlEIEIllEIEIllGJlEIlEIl第第1行，对应只有行，对应只有ui=1，其他自由度位移为，其他自由度位移为0时，在相应时，在相应自由度上的受力（只有轴线方向受力）；即受拉压作用自由度上的受力（只有轴线方向受力）；即受拉压作用的杆单元刚阵；的杆单元刚阵；第第2，3行，行，vi=1,(或或wi=1)，其他自由度位移为，其他自由度位移为0时，即单时，即单垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，第第4行，即杆纯扭转情况，行，即杆纯扭转情况，第第5，6行，即单垮超静定梁因

15、杆端位移产生杆端力的情行，即单垮超静定梁因杆端位移产生杆端力的情况，纯弯曲。况，纯弯曲。（以上矩阵元素均可从材料力学公式中查得）（以上矩阵元素均可从材料力学公式中查得）l前述的杆梁单元节点位移、节点力及刚度矩阵都是建立于局前述的杆梁单元节点位移、节点力及刚度矩阵都是建立于局部坐标系，坐标方向由单元方向确定。但在实际结构中，由部坐标系，坐标方向由单元方向确定。但在实际结构中，由于构件的轴线都是纵横交错的，因此，为了便于整体分析，于构件的轴线都是纵横交错的，因此，为了便于整体分析，必须将局部坐标系下的节点位移、节点力和刚度矩阵变换到必须将局部坐标系下的节点位移、节点力和刚度矩阵变换到统一的整体坐标

16、，然后才能实施组装集成，进行整体分析。统一的整体坐标，然后才能实施组装集成，进行整体分析。eeeFK eeeFK x y 局部坐标 整体坐标 设单元在局部坐标系下的形式为：设单元在局部坐标系下的形式为：单元在整体坐标系下的形式为：单元在整体坐标系下的形式为：l设单元局部坐标系与整设单元局部坐标系与整体坐标系间的变换关系体坐标系间的变换关系为为 T，则相应的节点，则相应的节点力、节点位移：力、节点位移：l同时，推得整体坐标下同时，推得整体坐标下的刚度方程的刚度方程 eeeeFTFT 11 eeeeeeTeeeFTKTKTK eeeFK 1eeKTKTl设节点设节点i的位移在局部坐标上的位移在局部

17、坐标上的分量为的分量为ui，vi，wi，则在整，则在整体坐标的分量为体坐标的分量为 xz x y z y cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()iiiiiiiiiiiiuux xvy xwz xvux yvy ywz ywux zvy zwz z 123123123cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()iiiiiiiiiux xy xz xuvx yy yz yvwwx zy zz zlllummmvtnnnw2D位移矢量的坐标变换式位移矢量的坐标变换式这里这里t为变换矩阵为变换矩阵l若考虑

18、节点若考虑节点i的转角位的转角位移，同理，可得相同移，同理，可得相同的变换矩阵的变换矩阵 123123123cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()cos()ixixiyiyizizixixiyiyizizx xy xz xx yy yz yx zy zz zlllmmmtnnn由于每个梁单元有两由于每个梁单元有两个节点，每个节点有个节点，每个节点有6个自由度，故空间梁个自由度，故空间梁单元有单元有12个自由度，个自由度，与其相对应的变换矩与其相对应的变换矩阵阵T应为应为12x12阶，阶，即即 12 12000000000000ttTttl可以证明可以证

19、明t或或T是正交矩阵，即它的逆等于其转置是正交矩阵，即它的逆等于其转置。eeTKTKT 1231111232221233332221231122331 122332221231 12233222123 Tllllmnt tmmmlmnnnnlmnllll ml ml ml nl nl nmmmmnm nm nnnnI注意注意:一个矢量的三个一个矢量的三个方向余弦的平方和为方向余弦的平方和为1,垂直矢量的内积为垂直矢量的内积为0.从而整体坐标下的单从而整体坐标下的单元刚度矩阵可改写为元刚度矩阵可改写为 1 eeeeeFTKTKl杆梁结构的整体刚度矩阵的组装和连续体单元刚阵的组装杆梁结构的整体刚度

20、矩阵的组装和连续体单元刚阵的组装原则完全相同，只是注意组装之前必须对单元刚阵进行坐原则完全相同，只是注意组装之前必须对单元刚阵进行坐标变换，将局部坐标下的杆梁单元刚阵变换为整体坐标下标变换，将局部坐标下的杆梁单元刚阵变换为整体坐标下的单元刚阵，然后的单元刚阵，然后“对号入座对号入座”即可。即可。x y 6 5 4 3 2 1 R1 R2 总刚组装步骤：总刚组装步骤：1、局部坐标下的各个单刚、局部坐标下的各个单刚、节点力计算；节点力计算；2、各个单元与整体坐标变、各个单元与整体坐标变换矩阵计算；换矩阵计算；3、整体坐标下各个单刚、整体坐标下各个单刚、节点力计算；节点力计算；4、“对号入座对号入座

21、”组装形成组装形成总刚。总刚。各个单元在整体坐各个单元在整体坐标系下的单元刚阵标系下的单元刚阵形式如右：形式如右：1、单元、单元1、2、3，局，局部坐标下单刚与整部坐标下单刚与整体坐标下的相同；体坐标下的相同；2、单元、单元4、5，局部坐，局部坐标与整体坐标的变标与整体坐标的变换矩阵为换矩阵为 22222232223233kkKKkk 33333343334344kkKKkk 11111121112122kkKKkk 44(4)(4)(4)4(4)(4)4(4)5552(4)4(4)(4)4(4)2522 TTTTTKTKTtkttkttkttkt 55(5)(5)(5)5(5)(5)5(5)

22、3336(5)5(5)(5)5(5)6366 TTTTTKTKTtkttkttkttkt(4)(5),TT l将各个单元在整体坐将各个单元在整体坐标下的单元刚阵对号标下的单元刚阵对号入坐，即可形成总刚：入坐，即可形成总刚：l平面刚架单元每个节平面刚架单元每个节点有点有3个自由度，共有个自由度，共有3*6=18 个自由度个自由度1111121 2 4242223252 3 5353334363444555660000000000kkkkkkkkKkkk x y 6 5 4 3 2 1 R1 R2 l杆单元用来加强悬臂杆单元用来加强悬臂梁。确定节点梁。确定节点1的位的位移和节点力。移和节点力。y x 1 2 3 3m 45 500 kN A=0.001 m A=0.002 m I=0.00005 m?E=210 GPa 1110.00338 0.0225 0.0113 um vmrad 11111102.3540.354050070000 0.3540.4210.1000.10.2xyFuFvM