条件概率讲义课件.ppt

1、1.4 条件概率一、一、条件概率条件概率的定义及性质的定义及性质1 1、概念及引例、概念及引例 在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息息(条件条件)下求事件的概率下求事件的概率.在事件在事件B发生的条件下（隐含发生的条件下（隐含P(B)0)，事件，事件A发生的概率称为发生的概率称为A对对B的的条件概率条件概率，记作，记作P(A|B).一般来说，一一般来说，一P(A|B)P(A)。如下例。如下例 P(A)=1/6，例如例如，掷一颗均匀的骰子，掷一颗均匀的骰子，A=掷出掷出2点点，B=掷出偶数点掷出偶数点，P(A|B)=？分析：事件分析：事件B已

2、经发生，因此，这时试验的所已经发生，因此，这时试验的所有可能结果构成的集合就是有可能结果构成的集合就是B，于是于是P(A|B)=1/3.B中共有中共有3个元素，它们的出现是等可能个元素，它们的出现是等可能的，其中只有的，其中只有1个在个在A中，中，容易看到，这里容易看到，这里.)()(636131 BPABPP(A|B)2 2条件概率的定义条件概率的定义:BPABPBAP)|(为在事件为在事件B发生的条件下事件发生的条件下事件A发生的发生的条件概条件概率率.注注 （1 1）若）若P(A)0，同样可定义，同样可定义 APABPABP)|(（2 2）条件概率）条件概率P P（|B|B）满足概率定义

3、的三）满足概率定义的三条公理。条公理。设设(,P)为一概率空间，为一概率空间，A，B是两事件，且是两事件，且P(B)0，称，称 P（|B）=0 P（|B）=1P（A|B）P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)P(A1A2|B)这表明，条件概率也是一种概率，因此，概率这表明，条件概率也是一种概率，因此，概率的一切性质都适用于条件概率，例如：的一切性质都适用于条件概率，例如：A2 2计算计算 一般有两种方法：一般有两种方法：(2)(2)缩小样本空间法：缩小样本空间法：P(B|A)=P(B|A)=ABAB/A A (1)定义法：定义法：P(B|A)=P(AB)/P(A)例例1 掷两颗均匀

4、骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少?解法解法1:)()()|(BPABPBAP解法解法2:2163)|(BAP解解:设设A=掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用定义应用定义在在B发生后的发生后的缩减样本空间缩减样本空间中计算中计算21366363条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别：的区别：P(A)与与P(A|B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是它们是两个不同的概念两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同.条

5、件概率条件概率P(A|B)与与P(A)数值关系：数值关系：何时一定有何时一定有:或或 P(A|B)P(A)?P(A|B)P(A)?以及以及P(A)=P(A|B)？由条件概率的定义：由条件概率的定义：若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B)(2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(B),P(A|B),可以反求可以反求P(AB)：将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故P(A)0,则则P(AB)=P(A)P(B|A)(3)若若P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A)(2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式,利用利用它们可计算两个事件

6、同时发生的概率它们可计算两个事件同时发生的概率三、概率乘法公式三、概率乘法公式乘法公式应用举例乘法公式应用举例 一个罐子中包含一个罐子中包含b个白球和个白球和r个红球个红球.随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜个与所抽出的球具有相同颜色的球色的球.这种手续进行四次，试求第一、这种手续进行四次，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概二次取到白球且第三、四次取到红球的概率率.例例4 波里亚罐子模型波里亚罐子模型b个白球个白球,r个红球个红球于是于是W1W2R3R4表示事件表示事件“连续取四个球，第连续取四

7、个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球一、第二个是白球，第三、四个是红球.”b个白球个白球,r个红球个红球 随机取一个球，观看颜色后放随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进回罐中，并且再加进c个与所抽出个与所抽出的球具有相同颜色的球的球具有相同颜色的球.解解:设设Wi=第第i次取出是白球次取出是白球,i=1,2,3,4 Rj=第第j次取出是红球次取出是红球，j=1,2,3,4用乘法公式容易求出用乘法公式容易求出 当当 c0 时，由于每次取出球后会增加下时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率一次也取到同色球的概率.这是一个这是一个传染病传染病模型模型.每次发现一个传染病患者

8、，都会增加每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率再传染的概率.crbcrcrbrcrbcbrbb32=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3)P(W1W2R3R4)当当P(A1A2An-1)0时，有时，有P(A1A2An）=P(A1)P(A2|A1)P(An|A1A2An-1)推广到多个事件的乘法公式推广到多个事件的乘法公式:当当P(A1A2)0时，有时，有P(A1A2A3）=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)一般地，一般地，注意注意P(AB)与与P(A|B)的区别：的区别：“B发生发生”：在：在P(AB)中是结果，中是结果，在在P(A|B)中是

9、条件！中是条件！请看下面的例子请看下面的例子例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件是乙厂生产的件是乙厂生产的.而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个个是标准件，现从这是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？所求为所求为P(AB).设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件所求为所求为P(AB).设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是

10、多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B).B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.*例例3 设某种动物由出生算起活到设某种动物由出生算起活到20年以上年以上的概率为的概率为0.8，活到，活到25年以上的概率为年以上的概率为0.4.问问现年现年20岁的这种动物，它能活到岁的这种动物，它能活到25岁以上的岁以上的概率是多少？概率是多少？解：设解：设A=能活能活20年以上年以上，B=能活能活25年以上年以上依题意，依题意，P(A)=0.8,P(B)=0.4所求为所求为P(B|A).)()()|(APABPABP5.08.04.0)()(

11、APBP 抽签的公平性抽签的公平性5个球迷一张入场券个球迷一张入场券.抽签抽签.入场入场券券5张同样的卡片，张同样的卡片，1张上写有张上写有“入场券入场券”，其余，其余4张空张空白白.将它们放在一起，洗匀，让将它们放在一起，洗匀，让5个人依次抽取个人依次抽取.用用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券”,i1,2,3,4,5.iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”显然，显然，P(A1)=1/5，P()4/51A因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.)|()()(1212AAPAPAP2121212AAAAAAA

12、由于由于 由乘法公式由乘法公式=(4/5)(1/4)=1/5 同理，同理，)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP(4/5)(3/4)(1/3)=1/5继续做下去就会发现继续做下去就会发现,每个人抽到每个人抽到“入场券入场券”的概率都是的概率都是1/5.综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)0三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式样本空间的划分样本空间的划分：设：设 为试验为试验E E的样本空间，的样本空间，A A1 1,A,A2 2,A,An n为为

13、E E的一组事件，若的一组事件，若 （1 1）A Ai iA Aj j=,=,i i j j,i,j ,i,j=1,2,n;=1,2,n;（2 2）A A1 1AA2 2AAn n=，则称则称A A1 1，A A2 2，,A,An n为样本空间为样本空间 的一个的一个划分划分。设设A1,A2,An是试验是试验E的样本空间的样本空间的一个划的一个划分，且分，且P(Ai)0，i=1,2,n,B是任一事件是任一事件,则则 niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式:A1A2A3A4A5A6A7A8B在较复杂情况下直接计算在较复杂情况下直接计算P(B)不易不易,但但B总是总是伴随着某个伴

14、随着某个Ai出现，适当地去构造这一组出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算往往可以简化计算.niiiABPAPBP1)()()(全概率公式的来由全概率公式的来由,不难由上式看出不难由上式看出:“全全”部概率部概率P(B)被分解成了许多部分之和被分解成了许多部分之和.它的理论和实用意义在于它的理论和实用意义在于:某一事件某一事件B的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，其中，其中，B由原因由原因Ai所引发的概率所引发的概率是是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的发生的概率是各原因引发概率是各原因引发B的概率的总和。这就是的概率的总和。这就

15、是全概率公式全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解例例 盒中盒中1212个新乒乓球，每次比赛从盒中任取个新乒乓球，每次比赛从盒中任取3 3个球，用后放回。第三次比赛时个球，用后放回。第三次比赛时3 3个球，取到个球，取到3 3个个新球的概率。新球的概率。解：设解：设A:A:第三次比赛时取到第三次比赛时取到3 3个新球，个新球，B Bi i:第二次比赛时取到第二次比赛时取到i i个新球（个新球（i=0,1,2,3i=0,1,2,3）。）。则则B Bi i构成了第三次比赛取球试验的样本空间的一构成了第三次比赛

16、取球试验的样本空间的一个划分。个划分。,)(,)(31223191312330CCCBPCCBP 21393923331212(),()C CCP BP BCC,)|(,)|(312381312390CCBAPCCBAP 于是.146.03025441)|()()(30 iiiBAPBPAP337623331212(|),(|)CCP A BP A BCCnjjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(该公式于该公式于1763年由英国统计学家贝叶斯年由英国统计学家贝叶斯(Bayes)给出给出.它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条已发生的条件下，寻找导致件下，寻找导致B发

17、生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.贝叶斯公式：贝叶斯公式：ni,21设设A1,A2,An是试验是试验E的样本空间的样本空间的一个划的一个划分，且分，且P(Ai)0，i=1,2,n,B是任一事件且是任一事件且P(B)0,则则 Thomas Bayes1702-1763 Born:1702 in London,EnglandDied:7 April 1763 in Tunbridge Wells,Kent,England 例例2:2:对以往数据分析结果表明，当机器调整得对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为良好时，产品的合格率为90%90%，而当机器发生，而当机器发生某一

18、故障时，其合格率为某一故障时，其合格率为30%30%。每天早上机器。每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为开动时，机器调整良好的概率为75%75%，试求已，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整良好的概率是多少？良好的概率是多少？解解:设设A A：“产品合格产品合格”，B B：“机器调整良好机器调整良好”，则则P(A|B)=0.9P(A|B)=0.9，P(A|)=0.3,PP(A|)=0.3,P（B B）=0.75=0.75，所求概率为所求概率为P(B|A)P(B|A)。由贝叶斯公式。由贝叶斯公式B 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在

19、实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生）发生的最可能原因的最可能原因.9.025.03.075.09.075.09.0)()|()()|()()|()|(BPBAPBPBAPBPBAPABP njiiiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|(贝叶斯公式贝叶斯公式在贝叶斯公式中，在贝叶斯公式中，P(Ai)和和P(Ai|B)分别称为分别称为原因的原因的先验概率先验概率和和后验概率后验概率.P(Ai)(i=1,2,n)是在没有进一步信息（不是在没有进一步信息（不知道事件知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸是否发生）的情况下，人们对诸事件

20、发生可能性大小的认识事件发生可能性大小的认识.当有了新的信息（知道当有了新的信息（知道B发生），人们对诸发生），人们对诸事件发生可能性大小事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计有了新的估计.贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。例例3:3:假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，假定用甲胎蛋白法诊断肝癌，P P（A|BA|B1 1）=0.99,P=0.99,P（A|BA|B2 2）=0.05=0.05，其中，其中B B1 1表示表示“被检被检验者患有肝癌验者患有肝癌”，B B2 2=B B1 1,A,A 表示表示“被检被检验者试验反应为阳性验者试验反应为阳性”。据调查某地

21、区居民。据调查某地区居民的肝癌发病率的肝癌发病率P P（B B1 1）=0.0004=0.0004。现若由该地。现若由该地区某居民检验结果呈阳性，问他患肝癌的概区某居民检验结果呈阳性，问他患肝癌的概率率P P（B B1 1|A|A）是多少？）是多少？00786.005.09996.099.00004.099.00004.0)|()()|()()|()()|(2211111 BAPBPBAPBPBAPBPABP 在实际中，医生常用另一些辅助方法先进行初查，排在实际中，医生常用另一些辅助方法先进行初查，排除大量明显不是肝癌的人，当医生怀疑某人有可能患肝除大量明显不是肝癌的人，当医生怀疑某人有可能患

22、肝癌时，才建议用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象癌时，才建议用甲胎蛋白法检验。这时在被怀疑的对象中，肝癌的发病率已显著提高了，比如说中，肝癌的发病率已显著提高了，比如说P P（B B1 1）=0.4=0.4，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得，这时再用贝叶斯公式进行计算，可得9296.06.005.04.099.04.099.0)|(1 ABP这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。这样就大大提高了甲胎蛋白法的准确率了。解：解：练：练：一男子到闹市区去，他遇到背后袭击并被抢劫，他断一男子到闹市区去，他遇到背后袭击并被抢劫，他断定凶手是个白人。然而，当调查这一案件的法院在相定凶手是个白人。然而，当

23、调查这一案件的法院在相似的条件下多次重复现场情况时，受害者正确识别袭似的条件下多次重复现场情况时，受害者正确识别袭击者种族的次数约占击者种族的次数约占80%。求袭击者为白人的概率。求袭击者为白人的概率。解：记解：记A:“袭击者为白人袭击者为白人”，B:“受害者指认袭击者受害者指认袭击者为白人为白人”，所求概率为，所求概率为P(A|B)。由题意。由题意(|)0.8,(|)0.8P B AP B A设该地白人比例为设该地白人比例为p，即，即P(A)=p，则，则()()(|)(|)()()(|)()(|)0.84 0.8(1)0.81 3P ABP A P B AP A BP BP A P B AP A P B Appppp若若p=1/2,则所求概率为则所求概率为0.8;若若p1/2,则所求概率大于则所求概率大于0.8。