指数与指数幂的运算课件.pptx

1、 树龄达树龄达35003500多年多年,树高树高26.326.3米米,周粗周粗15.715.7米米,号称号称“天下第一银杏树天下第一银杏树”.浮来山上浮来山上“千年古刹定林寺千年古刹定林寺”曾是南曾是南北朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居北朝时期杰出的文学评论家刘勰的故居,距距今已有今已有15001500多年的历史多年的历史,院内有一棵银杏树院内有一棵银杏树,树龄达树龄达35003500多年多年,号称号称“天下第一银杏天下第一银杏树树”主页主页考古学家根据什么推断出银杏考古学家根据什么推断出银杏于于200200多万年前就存在呢多万年前就存在呢?银杏银杏,叶子夏绿叶子夏绿秋黄秋黄,是全球中最古是全

2、球中最古老的树种老的树种.在在200200多多万年前万年前,第四纪冰川第四纪冰川出现出现,大部分地区的大部分地区的银杏毁于一旦银杏毁于一旦,残留残留的遗体成为了印在的遗体成为了印在石头里的植物化石石头里的植物化石.在这场大灾难中在这场大灾难中,只只有中国保存了一部有中国保存了一部分活的银杏树分活的银杏树,绵延绵延至今至今,成了研究古代成了研究古代银杏的活教材银杏的活教材.所以所以,人们把它称为人们把它称为“世世界第一活化石界第一活化石”.主页主页问题问题:当生物体死亡后当生物体死亡后,它机体内原有的碳它机体内原有的碳14会会按确定的规律衰减按确定的规律衰减,大约每经过大约每经过5730年衰减为

3、原年衰减为原来的一半来的一半,这个时间称为这个时间称为“半衰期半衰期”.根据此规根据此规律律,人们获得了生物体内人们获得了生物体内碳碳14含量含量P与死亡年数与死亡年数t之间的关系之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢这个关系式应该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题我们可以先来考虑这样的问题:(1)当生物体死亡了当生物体死亡了5730,57302,57303,年后年后,它体内碳它体内碳14的含量的含量P分别为原来的多少分别为原来的多少?1,221(),231(),.2主页主页(2)当生物体死亡了当生物体死亡了6000年年,10000年年,100000年年后后,它体内碳它体内碳14的含量的含量P

4、分别为原来的多少分别为原来的多少?600057301(),210000057301(),.21000057301(),2(3)由以上的实例来推断关系式应该是什么由以上的实例来推断关系式应该是什么?57301().2tP 考古学家根据上式可以知道考古学家根据上式可以知道,生物死亡生物死亡t年年后后,体内碳体内碳14的含量的含量P的值的值.主页主页(4)那么这些数那么这些数 的意义究竟的意义究竟是什么呢是什么呢?它和我们初中所学的指数有什么区它和我们初中所学的指数有什么区别别?60001000030000573057305730111(),(),()222这里的指数是分数的形式这里的指数是分数的形

5、式.指数可以取分数吗指数可以取分数吗?除了分数还可以取除了分数还可以取其它的数吗其它的数吗?我们对于数的认识规律是怎样我们对于数的认识规律是怎样的的?自然数自然数 整数整数 分数分数(有理数有理数)实数实数.主页主页关系式关系式 就会成为我们后面将要相继就会成为我们后面将要相继 为了能更好地研究指数函数为了能更好地研究指数函数,我们有必我们有必要认识一下指数概念的扩充和完善过程要认识一下指数概念的扩充和完善过程,这这就是下面几节课将要研究的内容就是下面几节课将要研究的内容:57301()2tP (5)指数能否取分数指数能否取分数(有理数有理数)、无理数呢、无理数呢?如如果能，那么在脱离开上面这

6、个具体问题以后果能，那么在脱离开上面这个具体问题以后,从今天开始从今天开始,我们学习指数与指数幂的运我们学习指数与指数幂的运算算.研究的一类基本初等函数研究的一类基本初等函数“指数函数指数函数”的的一个具体模型一个具体模型.主页主页22=4(-2)2=4 回顾初中知识回顾初中知识,根式是如何定义的？有根式是如何定义的？有那些规定？那些规定？如果一个数的平方等于如果一个数的平方等于a,则这个数叫做则这个数叫做 a的平方根的平方根.如果一个数的立方等于如果一个数的立方等于a,则这个数叫做则这个数叫做a 的立方根的立方根.2,-2叫叫4的平方根的平方根.2叫叫8的立方根的立方根.-2叫叫-8的立方根

7、的立方根.23=8(-2)3=-8主页主页24=16(-2)4=162,-2叫叫16的的4次方根次方根;2叫叫32的的5次方根次方根;2叫叫a的的n次方根次方根;x叫叫a的的n次方根次方根.xn=a2n=a25=32通过通过方法，可得方法，可得n次方根的定义次方根的定义.主页主页1.方根的定义方根的定义 如果如果xn=a,那么那么x叫做叫做 a 的的n次方根次方根,其中其中n1,且且nN*.24=16(-2)4=1616的的4次方根是次方根是2.(-2)5=-32-32的的5次方根是次方根是-2.2是是128的的7次方根次方根.27=128即即 如果一个数的如果一个数的n次方等于次方等于a(n

8、1，且，且nN*)，那么这个数叫做，那么这个数叫做 a 的的n次方根次方根.主页主页 【1】试根据试根据n次方根的定义分别求出下次方根的定义分别求出下列各数的列各数的n次方根次方根.(1)25的平方根是的平方根是_;(2)27的三次方根是的三次方根是_;(3)-32的五次方根是的五次方根是_;(4)16的四次方根是的四次方根是_;(5)a6的三次方根是的三次方根是_;(6)0的七次方根是的七次方根是_.点评点评:求一个数求一个数a的的n次方根就是求出次方根就是求出哪个数哪个数的的n次方等于次方等于a.53-220a2主页主页23=8(-2)3=-8(-2)5=-32 27=1288的的3次方根

9、是次方根是2.-8的的3次方根是次方根是-2.-32的的5次方根是次方根是-2.128的的7次方根是次方根是2.奇次方根奇次方根 1.正数的奇次方根是一个正数正数的奇次方根是一个正数,2.负数的奇次方根是一个负数负数的奇次方根是一个负数.nana的的 次次方方根根(奇奇用用符符号号次次)表表示示.382.记记作作：382.记记作作：5322.记记作作：71282.记记作作：主页主页72=49(-7)2=4934=81(-3)4=8149的的2次方根是次方根是7，-7.81的的4次方根是次方根是3，-3.偶次方根偶次方根 2.负数的偶次方根没有意义负数的偶次方根没有意义 1.正数的偶次方根有两个

10、且互为相反数正数的偶次方根有两个且互为相反数 想一想想一想:哪个数的平方为负数？哪个数的偶次哪个数的平方为负数？哪个数的偶次方为负数？方为负数？记记作作：497 记记作作：4813 (nanan 正正数数 的的 次次方方根根用用符符号号表表示示为为偶偶数数）26=64(-2)6=6464的的6次方根是次方根是2，-2.记记作作：6642.主页主页正数的奇次方根是正数正数的奇次方根是正数.负数的奇次方根是负数负数的奇次方根是负数.零的奇次方根是零零的奇次方根是零.(1)奇次方根有以下性质：奇次方根有以下性质：,21,N,0,2,N.nnankkxnaak k 那么那么如果如果,axn(2)偶次方

11、根有以下性质：偶次方根有以下性质：正数的偶次方根有两个且是相反数，正数的偶次方根有两个且是相反数，负数没有偶次方根，负数没有偶次方根，零的偶次方根是零零的偶次方根是零.主页主页nana 根指数根指数根式根式被开方数被开方数主页主页 由由xn=a 可知，可知，x叫做叫做a的的n次方根次方根.233(9)_,(8)_.9-8 当当n是奇数时是奇数时,对任意对任意a R都有意义都有意义.它表它表示示a在实数范围内唯一的一个在实数范围内唯一的一个n次方根次方根.()nnaa na 当当n是偶数时是偶数时,只有当只有当a0有意义有意义,当当a 0)510252(2)21022;431233(3)3 12

12、33;123 4344()aaa43 5102 525()aaa105a 124;a 结论结论:当根式的当根式的被开方数的指数被开方数的指数能被能被根指数根指数整除时整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式根式可以表示为分数指数幂的形式.主页主页(2)利用利用(1)的规律的规律,你能表示下列式子吗你能表示下列式子吗?534354;357537;32a23;a 97a97.a 总结总结:当根式的当根式的被开方数的指数不被开方数的指数不能被能被根指数根指数整除整除时时,根式可以写成分数指数幂的形式根式可以写成分数指数幂的形式.主页主页(3)你能用方根的意义解释你能用方根的意义解释(2)的式子吗的式子

13、吗?43的的5次方根是次方根是 354;75的的3次方根是次方根是 537;a2的的3次方根是次方根是 23;aa9的的7次方根是次方根是 97.a353544;535377;2323;aa 9977.aa 结果表明结果表明:方根的结果方根的结果与与分数指数幂分数指数幂是相通的是相通的.综上综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义我们得到正数的正分数指数幂的意义.主页主页3.3.规定规定0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义的负分数指数幂没有意义.mmnnaa 且且11(0,N,1)mnmnmnaam nnaa 1.正数的正分数指数幂的意义：正数的正分数指数幂的意义：2.

14、正数的负分数指数幂的意义：正数的负分数指数幂的意义：(0,N,1)am nn 且且4.有理指数幂运算性质有理指数幂运算性质()(0,Q);rsrsa aaar s 1 1()()(0,Q);rsrsaaar s 2 2()()(0,0,Q).rrraba b abr3 3主页主页21a34a35a 23a 34()(0)abab 23()mn 4()()mnmn65(0)pqp a43a351a231a23()mn 43)(ba 2()mn 532pq【1 1】用根式表示下列各式用根式表示下列各式:(:(a0)0)【2】用分数指数幂表示下列各式：用分数指数幂表示下列各式：主页主页2313245

15、161281(1)8,(2)25,(3)(),(4)().【1 1】求下列各式的值求下列各式的值.23:(1)8解解233(2)2332 224;12(2)25 122(5)12()25 115;5 512(3)()15(2)5232;341681(4)()34423()34()423()323()278.主页主页当有多重根式是当有多重根式是,要要由里向外由里向外层层转化层层转化.对于有分母的对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂可以先把分母写成负指数幂.要熟悉运算性质要熟悉运算性质.【题型题型1】将根式转化分数指数幂的形式将根式转化分数指数幂的形式.3232;(1)(2).aa aa 例例1

16、.1.利用分数指数幂的形式表示下列各式利用分数指数幂的形式表示下列各式(其其中中a 0).).解解:232223(1)aaaa223a 83;a 3(2)aa4132()a 1132()a a23.a 主页主页利用分数指数幂的形式表示下列各式利用分数指数幂的形式表示下列各式(其中其中a 0).).34333(3)()27ab 9342(4)ab 44383ba3984.a b 主页主页 系数先放在一起运算系数先放在一起运算;同底数幂进行运算同底数幂进行运算,乘的乘的指数相加指数相加,除的指数相减除的指数相减.【题型题型2】分数指数幂的运算分数指数幂的运算5211113262362(6)(3)a

17、b 解：原式解：原式=04ab;4a521111336622(1)(2)(6)(23);例a ba ba b 23142(2)()(4)(12)a ba ba b c2 1 43 1 21113(4)12.abcac 主页主页63(1)2 31.512 例例3.求下列各式的值：求下列各式的值：1112362323()(23)211111123623623 .632【题型题型3】根式运算根式运算 利用分数指数幂进行根式运算时利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有先将根式化成有理指数幂理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算再根据分数指数幂的运算性质进行运算.11111233662233

18、 223主页主页34(2)(25125)52131342455 【题型题型3】根式运算根式运算 利用分数指数幂进行根式运算时利用分数指数幂进行根式运算时,先将根式化成有先将根式化成有理指数幂理指数幂,再根据分数指数幂的运算性质进行运算再根据分数指数幂的运算性质进行运算.2131342455555512455512455 5.231324(55)5主页主页【1 1】计算下列各式计算下列各式(式中字母都是正数式中字母都是正数).).(1)a a a111824aaa1 1 12 4 8a 78a 87.a 解解:原式原式 =22132aaa 32212 a65a.65a232(2).aaa注意注意

19、:结果可以用根式表示结果可以用根式表示,也可以用分数指数也可以用分数指数幂表示幂表示.但同一结果中不能既有根式又有分数但同一结果中不能既有根式又有分数指数幂指数幂,并且分母中不能含有负分数指数幂并且分母中不能含有负分数指数幂.主页主页例例4.4.计算下列各式计算下列各式(式中字母都是正数式中字母都是正数).).2925332(1)(8)(10)10.3229533222(2)(10)10 513221010 5321102 2.2 121102mna【题型题型4】分数指数幂分数指数幂 的求值的求值.3324281(2)()(3)625 3342423()(3)5 333()3512512727124.27 主页主页主页主页1.分数指数概念分数指数概念(1);mmnnaa 11(2);mnmmnnaaa (a0,m,nN*,n1)2.有理指数幂运算性质有理指数幂运算性质()(0,Q);rsrsa aaar s 1 1()()(0,0,Q).rrraba b abr3 3()()(0,Q);rsrsaaar s 2 2(3)0的正分数指数幂为的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂的负分数指数幂没有意义没有意义.