数学分析第十七章课件隐函数存在性定理.ppt

1、优秀课件，精彩无限！1第十七章第十七章 隐函数存在定理隐函数存在定理 前面关于隐函数（组）的微分法都假定：隐函数存在，且它们的导数或偏导数也存在。本章：存在性问题及连续性、可微性。优秀课件，精彩无限！21 单个方程的情况(,)0F x y(,)0zF x yz 几 何 上曲面(,)zF x y与面的交线唯一确定隐函数()yf x曲面(,)zF x y必须与0z 相交 ()yf x（1）连续 （1）连续曲线存在000(,)pxy,使00(,)0F xy（2）可微0z（2）存在切线 交线优秀课件，精彩无限！3曲面(,)zF x y在0p点有切平面且切平面的法线不平行于z轴（即切平面不是xoy平面）

2、0p切平面的法向量为0,1xyPnF F与0,0,1k 不共线0,0,0 xyPFF（即,xyFF 不能同时为零）交线 存在切线 ，意味着一元函数的可微性，也要求LT0,0,0 xyPF F优秀课件，精彩无限！4定理17.1：设(,)F x y满足下列条件：,xyF F在 D：0|xxa，0|yyb上连续00(,)0F xy（3）00(,)0yFxy（1）（2）优秀课件，精彩无限！5则则0使得在0p点的某一邻域内，方程(,)0F x y 唯一地确定一个定义在区间00(,)xx内的隐函数()yf x，定义在00(,)xx内满足(,()0F x f x,且 00()yf x（2）()yf x在00

3、(,)xx上连续()yf x在00(,)xx有连续的导数，且(,)()(,)xyF x yfxF x y（3）（1）存在优秀课件，精彩无限！6条件（1）(,)F x y在D连续y,F(x,y)xx,F(x,y)y固定是 的连续函数固定是 的连续函数条件（3）不妨设00(,)0yFxy(,)0yF x y 对每个00(,),xxa xa关于y严格单调上升0 xx,特别000(,)(,)F xyyb yb固定严格单调上升又 00(,)0F xy，所以要证（1）：有任意 00(,),xxx00(,),yyb yb 使(,)0F x y 在D（不妨设），(,)F x y证明：证明：优秀课件，精彩无限！

4、70000010100000202(,)0,(,)0,(,)(,)0,(,)0,(,)F xybyybxF x ybxxxF xybyybxF x ybxxx 固定关于 连续固定关于 连续取12min(,)00(,)0(,)0F x ybF x yb00(,)xxx 故对任意 00(,)xxx，(,)F x y关于y连续且00(,)0(,)0F x ybF x yb00(,),0yyb ybF(x,y)=使 唯一优秀课件，精彩无限！8则则：（1）存在0使得在0p点的某一邻域内，方程(,)0F x y 唯一地确定一个定义在区间00(,)xx内的隐函数()yf x，定义在00(,)xx内满足(,(

5、)0F x f x 且 00()yf x（2）()yf x在上连续(证明略)()yf x在有连续的导数，且(,)()(,)xyF x yfxF x y（3）00(,)xx00(,)xx(证明略)可将条件（3）改为00(,)0 xF xy，结论应改为？优秀课件，精彩无限！9例例1 1方程cossinxyyxe能否在原点的某邻域内确定隐函数()yf x或()xg y？优秀课件，精彩无限！10解：令(,)cossinxyF x yyxe则cosxyxFxye，sinxyyFyxe 他们都在全平面上连续，而(0,0)0,(0,0)1,(0,0)0 xyFFF故方程在(0,0)点的邻域内可唯一地确定可微

6、的隐函数()xg y它定义在(,)，使得(0)0g，(),)0,()F g yyy但由于(0,0)0yF，据此无法断定是否在(0,0)点的某邻域内()yf x存在。，。有隐函数优秀课件，精彩无限！11例例222(,)1F x yxy2,20 xyxFx FyF都在全平面连续，当y0时，。由2210 xy 知,当01.yx 时，因 此 除(1,0)00其它点(x,y，)00都存在(x,y 的领域，确定可微的隐函数()yf x上任何在这个邻域内可唯一优秀课件，精彩无限！12定理定理17.217.212(,)nF x xxy满足下列条件：(0)(1,2,)|(1,2,)ixiiiFinDxxa in

7、y和F 在：，(0)|0,0(1,2,);iyybbain上连续，其中（ii）(0)(0)(0)(0)12(,)0nF xxxy ；(iii)(0)(0)(0)(0)12(,)0ynF xxxy则则（i）偏导数设函数.优秀课件，精彩无限！131.存在(0)(0)(0)012(,)nQ xxx的一个邻域0()O Q，使得在(0)(0)(0)(0)012(,)nP xxxy点的某邻域内，方程(0)(0)(0)(0)12(,)0nF xxxy唯一地确定了一个定义在0()O Q的n元隐函数12(,)nyf x xx，满足(0)(0)(0)(0)12(,)nyf xxx。换句话说，存在函数12120(,

8、),(,)()nnyf x xxx xxO Q，使得当120(,)()nx xxO Q时1212(,(,)0nnF x xxf x xx(0)(0)(0)(0)12(,)nyf xxx；且；优秀课件，精彩无限！14（2）12(,)nyf x xx在0()O Q内连续；12(,)nyf x xx在0()O Q内有连续的偏导数，且1212(,)(,)iixnxynFx xxyfF x xxy ，1,2,in .（3）优秀课件，精彩无限！15例例3 3 设sin0zxyz,问方程是否在原点(0,0,0)地确定可微函数(,)zf x y，其中(,)x y属于(0,0)某个领域，使得sin(,)(,)f

9、 x yxyf x y.如可能，求,zzxy的某邻域唯一点的解：令(,)sinF x y zzxyz.显然(,)F x y z的偏导数，且(,)cosxF x y zzxy ,由(0,0,0)1zF，(0,0,0)0F知，存在0，使得在|,|xy有唯一的可微函数(,)zf x y，满足：在全平面有连续优秀课件，精彩无限！16sin(,)(,)f x yxyf x y(,)(,)cosxzF x y zzyzxF x y zzxy(,)(,)cosxyF x y zzxzyF x y zzxy，.且优秀课件，精彩无限！17第第2 2节节 方程组的情况方程组的情况问题：由(,)0(,)0F x y

10、 u vG x y u v 能否唯一确定(,)(,)uu x yvv x y优秀课件，精彩无限！18定理定理17.317.3(,)G(,)F x y u vx y u v和00000(,)p xy u v的某个领域U元有一阶连续偏导数；00()0,()0F PG P （初始条件）；0(,)|0(,)pF GJu v 则则(ii)(i)在点(iii)设函数满足：内F，G对各变.优秀课件，精彩无限！19(1)在0p点的某个邻域U 内，方程组(,)0(,)0F x y u vG x y u v唯一地确定一组函数(,),(,)uu x y vv x y，它们定义在00(,)xy的某邻域D内，当(,)(

11、,)x yDx y u v 时，满足000(,)uu xy，000(,)vv xy，且(,(,),(,)0(,(,),(,)0F x y u x y v x yG x y u x y v x y (,)x yD；(1)，优秀课件，精彩无限！20(2)(,)(,)u x yv x yD及在 内连续；(3)(,)(,)u x yv x yDx,y及在 内有关于的连续偏导数，1(,)(,)uF GxJx v，1(,)(,)uF GyJy v 且1(,)(,)vF GxJu x 1(,)(,)vF GyJu y，优秀课件，精彩无限！21注：条件(iii)在定理中的地位和作用与定理定理17.117.1中

12、的条件00(,)0yFxy的地位和作用相当，它对于隐函数组的存在性、连续性和可微性都是重要的。另外，结论(3)中公式的推导方法就是我们在第十六章第2节中介绍的隐函数组求导法，因此公式不必死2记硬背，重要的是掌握求导方法。优秀课件，精彩无限！22例例1.1.设有方程组222(,)0(,)10F x y u vuvxyG x y u vuvxy 讨论在0(2,1,1,2)P的某邻域能否确定隐函数组(,),(,)uu x yvv x y.又问在0P点的某邻域能否确定函(,),(,)xx u yvv u y对确定的函数组求其偏导数。数组优秀课件，精彩无限！23解解:显然F，G在全平面上有连续的偏导数。

13、又212211xyuvxyuvFFFFxuvGGGGyx(2,1,1,2)0,(2,1,1,2)0FG，0022(,)6011(,)PPuvF Gu v，0022(,)01(,)PPxvF Gyx v，优秀课件，精彩无限！24因此在0P(,),(,)uu x y vv x y，但在0P点的附近难言是否可唯一确定(,),(,)uu x y vv x y.求函数(,)u x y(,)v x yx点的某邻域方程组可以唯一地确定一组可微函数函数组和数，在方程组两边对的偏导求偏导数，得:22200uvuvxxxuvyxx ,uxyvvyuxxuvxuv y.在方程组两边对求偏导数得:,解得优秀课件，精彩

14、无限！2522100uvuvyyuvxyy 1 221,2()2()uxvvxuyuvyuv定理17.4 设函数组 (6)满足：000(,)p xy的某邻域D内对,x y有连续偏导数；000(,)uu xy，000(,)vv xy(iii)00(,)(,)|0(,)xyu vx y.,解得:(i)在(ii)；(,)(,)uu x yvv x y优秀课件，精彩无限！26则在00(,)Q xy的某邻域D内存在唯一的一组反函数(,),(,)xx u vyy u v使得000(,)xx u v，000(,)yy u v，且当(,)(,)u vDx yD时,，1xvuJy 1xuvJy 1yvuJx 1

15、yuvJx (,)(,)u vJx y(1)有，.，其中.优秀课件，精彩无限！27推论推论1 1 在定理17.4的条件下有(,)(,)1(,)(,)x yu vu vx y优秀课件，精彩无限！28例例2.2.极坐标与直角坐标的变换为cos,sin.xry因为cossin(,)sincos(,)xxrx yrryyrrr所以除0r 即坐标原点(0,0)(,),(,)rr x yx y，外，变换的逆变换存在，即有(,)11(,)(,)(,)rx yx yrr优秀课件，精彩无限！29内容小结 隐函数存在性定理 隐函数的连续性 隐函数的可微性 隐函数的求导方法优秀课件，精彩无限！30习题1、设函数),

16、(,),(vuyyvuxx在点(u,v)的某一0),(),(vuyx邻域内有连续的偏导数,且),(),(vuyyvuxx在与点(u,v)对应的点唯一确定一组单值、连续且具有证明:函数组(x,y)的某一邻域内连续偏导数的反函数.),(,),(yxvvyxuu优秀课件，精彩无限！310),(),(vuxxvuyxF解:0),(),(vuyyvuyxG,则有),(),(vuGFJ,0),(),(vuyx由定理可知结论 成立),(),(),(),(yxvyxuyyyxvyxuxx式两边对 x 求导,得uy0 xvxu1xuxvuxvxvy2)求反函数的偏导数.优秀课件，精彩无限！32,0J注意vyvx

17、J011xuxv,1vyJ uyJ 1011uyuxJ从方程组解得同理,式两边对 y 求导,可得,1vxJyuuxJyv1优秀课件，精彩无限！332 2、验证方程01sinyxeyx在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数,)(xfy,1sin),(yxeyyxFx解解:令则,yeFxxxyFy cos连续；,0)0,0(F1)0,0(yF0由定理可知,在 x=0 的某邻域内方程存在单值可导的隐函数()yf x优秀课件，精彩无限！34222122xyzxyz、试讨论方程组在点(1,1,2)P的附近能否确定形如(),()xf zyg z的隐函数、求下列函数组的反函数组的偏导数；(1)cos,

18、sin,yyxxyyuxvxxxuvuv设求(2)sin,cos,xxx x y yu exyv exyu v u v 设 求优秀课件，精彩无限！35补充题)()(xzzxyy及,2 yxeyx.ddxu求分别由下列两式确定:又函数),(zyxfu 有连续的一阶偏导数,1.设解解:两个隐函数方程两边对 x 求导,得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x0)()(yxyyxyeyxxezxzx)sin()1(z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此优秀课件，精彩无限！36 zxFyFy0zFz fx)1(y2.设)(,)(xzzxyy是由方程)(yxfxz和0),(zyxF所确定的函数,求.ddxz解法解法1 分别在各方程两端对 x 求导,得ffxfzyfx xzyFzFyF)0(zyFfxFzyxyFfxFFfxFfxf )(xzdd 1 zyFFfxxyFFfxffx(99考研考研)优秀课件，精彩无限！37作业 P231页，2，3，5 P239页，3，6，7，8，11