数学分析课件第四版华东师大研制-第17章-多元函数微分学.ppt

1、1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性,这是多元函数微分学的基本概念.然后给出二元函数对单个自变量的变化率,即偏导数.偏导数无论在理论上或应用上都起着关键作用.一、一、可微性与全微分二、二、偏导数三、三、可微性条件四、四、可微性的几何意义及应用 一、一、可微性与全微分 定义定义 1 设函数设函数0(,)()zf x yU P 在某邻域在某邻域内有定内有定 0()U P00(,)(,),P x yxx yy 义义.对于对于内的点内的点 若若 0P:z 可可表表示示为为f 在点在点的全增量的全增量0000(,)(,)(),zf xx yyf xyA xB yo(1)0P22,xy 其中其

2、中A,B是仅与点是仅与点有关的常数有关的常数,()o 是是0P的高阶无穷小量的高阶无穷小量,则称则称 f 在点在点可微可微.并称并称 (1)式中关于式中关于,xyA xB y 的的线线性性表表达达式式|,|xy dz由由(1),(2)可见可见,当当充分小时充分小时,全微分全微分(,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy 这里这里,zA xByxy (4)000d|d(,).Pzf xyA xBy(2)0fP在在为为的的全微分全微分,记作记作z 可作为全增量可作为全增量的近似值的近似值,于是有于是有:在使用上在使用上,有时也把有时也把(1)式写成如下形式：式写成如下形式：0000(

3、,)(,)()().f x yf xyA xxB yy(3)例例1 考察考察00(,)(,).f x yxyxy 在在任任一一点点的的可可微微性性解解 f在在点点00(,)xy处的全增量为处的全增量为000000(,)()()f xyxxyyx y 00.yxxyxy 由于由于|0(0),xyxy 00().(,),x yofxy 因因此此从从而而在在可可微微 且且00d.fyxxy 二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道:若若 0(),f xx在在可可微微则增量则增量 00()()(),f xxf xA xox 其其中中0().Afx(,)f x y00(,)xy现在来讨论现在

4、来讨论:当二元函数当二元函数在点在点可微可微 时时,(1)式中的常数式中的常数 A,B 应取怎样的值？应取怎样的值？为此为此,在在(4)式中令式中令0(0),yxf 这这时时得得到到关关x于于的的偏偏增增量量为为.xxzzA xxAx 或或0,xA 现现让让由由上上式式便便得得的的一一个个极极限限表表示示式式000000(,)(,)limlim.xxxzf xx yf xyAxx (5)容易看出容易看出,(5)式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数00(,).f x yxx 在在处处的的导导数数类似地类似地,(4)0(0),xy 在在式式中中令令又可得到又可得到00

5、0000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyByy (6)它是关于它是关于 y 的一元函数的一元函数00(,).f xyyy 在在处处的的导导数数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时,它对另一个自它对另一个自 变量的导数称为该函数的偏导数变量的导数称为该函数的偏导数,一般定义如下一般定义如下:0.x 的某邻域内有定义的某邻域内有定义 则当极限则当极限 存在时存在时,称此极限为称此极限为00(,)fxy在在点点关于关于x 的的偏导数偏导数,记作记作000000(,)(,)(,),.xxyxyfzfxyxx或或0(,),(,),(,)zf x yx yDf

6、x y设设函函数数且且在在定义定义 2000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyxx(7)类似地可定义类似地可定义00(,)fxy在在点点关于关于 y 的偏导数的偏导数:000000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyyy (7)记作记作000000(,)(,)(,),.yxyxyfzfxyyy或或注注1 1,xy这里是专用于偏导数的符号,与一元这里是专用于偏导数的符号,与一元ddx函函数数的的导导数数符符号号相相仿仿,但但又又有有区区别别.注注2 在上述定义中在上述定义中,00(,)fxy在在点点存在对存在对 x(或或 y),f的的偏偏导导数数 此此时时

7、至至少少在在00(,),|x yyyxx 00(,),|.x yxxyy 或上必须有定义或上必须有定义显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数界点处则往往无法考虑偏导数(,)zf x y(,)x y若函数若函数在区域在区域 D 上每一点上每一点 都存在都存在 对对 x (或对或对y)的偏导数的偏导数,则得到则得到(,)zf x y 在在 D 上上 对对 x(或对或对y)的偏导函数的偏导函数(也简称偏导数也简称偏导数),记作记作 (,)(,)(,)(,),xyf x yf x yfx yfx yxy或或或或,.xxyyf

8、ffzfzxy也可简单地写作或或也可简单地写作或或偏导数的几何意义偏导数的几何意义:(,)zf x y 的几何图象通常是的几何图象通常是 三维空间中的曲面三维空间中的曲面,设设0000(,)P xyz为此曲面上一为此曲面上一 000(,).zf xy 00,Pyy 过过点点作作平平面面它它与与点点,其中其中曲面相交得一曲线：曲面相交得一曲线：0:,(,).Cyyzf x y 如图如图17-1 所示，偏导数所示，偏导数00(,)xfxy的几何意义为的几何意义为:在平面在平面0yy 上上,曲线曲线 C 在点在点 P0 处的切线与处的切线与 x 轴轴 00(,)tan.xfxy 正向所成倾角正向所成

9、倾角的正切，即的正切，即xyzO0P 图图17-1 0y(,)zf x y C 可同样讨论偏导数可同样讨论偏导数00(,)yfxy的几何意义的几何意义(请读者自请读者自 行叙述行叙述)由偏导数的定义还知道由偏导数的定义还知道,多元函数多元函数 f 对某一个自变对某一个自变 量求偏导数量求偏导数,是先把别的自变量看作常数是先把别的自变量看作常数,变成一变成一 元函数的求导元函数的求导.因此第五章中有关求导数的一些基因此第五章中有关求导数的一些基 本法则本法则,对多元函数求偏导数仍然适用对多元函数求偏导数仍然适用.例例2 323(,)2(1,3)f x yxx yy求求函函数数在在点点处处关关于于

10、 x 和关于和关于 y 的偏导数的偏导数.解解 先求先求 f 在点在点(1,3)处关于处关于 x 的偏导数的偏导数.为此为此,令令y =3,得到得到32(,3)627,f xxx 求它在求它在 x=1 的的 导数导数,则得则得 211d(,3)(1,3)(312)15.dxxxf xfxxx再求再求 f 在在(1,3)处关于处关于 y 的偏导数的偏导数.为此令为此令 y=3,得得 3(1,)12,fyyy 求它在求它在 y=3 处的导数处的导数,又得又得233d(1,)(1,3)2325.dyyyfyfyy 通常也可先分别求出关于通常也可先分别求出关于 x 和和 y 的偏导函数的偏导函数:22

11、2(,)34,(,)23.xyfx yxxyfx yxy然后以然后以(x,y)=(1,3)代入代入,也能得到同样结果也能得到同样结果.例例3 求函数求函数(0)yzxx 的偏导数的偏导数.解解 把把yzx 依次看成幂函数和指数函数依次看成幂函数和指数函数,分别求得分别求得 1,ln.yyzzy xxxxy 例例4 求三元函数求三元函数2sin(e)zuxy的偏导数的偏导数.解解 把把 y 和和 z 看作常数看作常数,得得 2cos(e);zuxyx 22 cos(e);zuyxyy 2e cos(e).zzuxyz 把把 z,x 看作常数看作常数,得得 把把 x,y 看作常数看作常数,得得 三

12、、可微性条件 000(,),fP xyf在在点点可可微微 则则在在由可微定义易知由可微定义易知:若若 0P 必连续必连续.这表明这表明:“连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件”此外此外,由由(5),(6)两式又可得到可微的另一必要条两式又可得到可微的另一必要条 件件:定理定理17.1 若二元函数若二元函数 f 在其定义域内一点在其定义域内一点(x0,y0)处可微处可微,则则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在该点关于每个自变量的偏导数都存 在此时在此时,(1)式中的式中的 0000(,),(,).xyAfxyBfxy于是于是,函数函数 00(,)fxy在在点点的全微分的全微分(

13、2)可惟一地表可惟一地表示为示为000000d(,)(,)(,).xyf xyfxyxfxyy 与一元函数一样与一元函数一样,若约定自变量的增量等于自变量若约定自变量的增量等于自变量 的微分，即的微分，即 d,d,xxyy则全微分又可写为则全微分又可写为 000000d(,)(,)d(,)d.xyf xyfxyxfxyy若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每一点的每一点(x,y)都可微都可微,则称函则称函 数数 f 在区域在区域 D 上可微，且上可微，且 f 在在 D 上的全微分为上的全微分为 d(,)(,)d(,)d.xyf x yfx yxfx yy(8)定理定理17.1 的应用的应用:

14、对于函数对于函数 22(,),f x yxy 由于由于 (,0)|,(0,)|,f xxfyy 0 x 它们分别在它们分别在0y 与与(0,0)xf与与都不可导，即都不可导，即(0,0),yf都不存在都不存在(,)(0,0).f x y 在在点点不不可可微微故故00(,0)(0,0)00(0,0)limlim0;xxxfxffxx 再看一个例子再看一个例子:在原点的可微性在原点的可微性222222,0,(,)0,0 xyxyxyf x yxy例例5 考察函数考察函数解解 按偏导数的定义先求出按偏导数的定义先求出 同理可得同理可得(0,0,)0.yf 若若 f 在原点可微在原点可微,则则 22(

15、0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyfxyffxfyx yxy 22xy 应是的高阶无穷小量.然而极限应是的高阶无穷小量.然而极限2200dlimlimffx yxy 不存在不存在(第十六章第十六章2 例例3),因此函数因此函数 f 在原点不在原点不 可微可微.以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而 现在这个例子说明现在这个例子说明:偏导数即使存在偏导数即使存在,函数也不一函数也不一 定可微这就是说定可微这就是说,当所有偏导数都存在时当所有偏导数都存在时,还需还需 要添加适当的条件要添加适当的条件,才能保证函数可微请看如下才能保证函数可微请看

16、如下 定理定理:定理定理 17.2 (可微的充分条件可微的充分条件)若函数若函数(,)zf x y在在 000(,)P xy,xyff与与点点的某邻域内存在偏导数的某邻域内存在偏导数 且它且它 0Pf0P在点在点们在点们在点连续连续,则则可微可微.000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,).zf xx yyf xyf xx yyf xyyf xyyf xy 在第一个方括号里的是函数在第一个方括号里的是函数0(,)f x yy 关于关于 x 的增量的增量;在第二个括号里的是函数在第二个括号里的是函数 0(,)f xy关于关于 y 的增量的增量.第二步第二步 对它们分别应用一元函

17、数的拉格朗日中值对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理定理,则则12,(0,1),使得使得证证 第一步第一步 把全增量把全增量 写作写作z 010002(,)(,).xyzfxxyyxfxyyy (9)00,(,),xyffxy在点连续在点连续第三步第三步 由于由于 因此有因此有 (,)(0,0),0,0.xy 其其中中当当时时0000(,)(,).xyzfxyxfxyyxy 第四步第四步 将将(10),(11)代入代入(9)式式,得到得到 由可微定义的等价式由可微定义的等价式(4),便知函数便知函数 f 00(,)xy在点在点00200(,)(,),yyfxyyfxy(11)01000(

18、,)(,),xxfxx yyfxy (10)可微可微.定理定理17.的应用的应用 容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数 323(,)2f x yxx yy满足定理满足定理 17.2 的条件的条件,故在点故在点(1,3)可微可微(且在且在2R上处处可微上处处可微);3(,)|0,yzxx yxy例例 中中的的函函数数在在 上满足定理上满足定理 17.2 的条件的条件,亦在其定义域上可微；亦在其定义域上可微；例例4 中的函数中的函数23sin(e)Rzuxy在在上上同同样样可可微微.注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的必要条件，例如 222222221()sin

19、,0,(,)0,0.xyxyxyf x yxy 它在原点它在原点(0,0)处可微处可微,但但xyff与与却在该点不连续却在该点不连续(见本节习题见本节习题 7，请自行验证，请自行验证).所以定理所以定理 17.2 是可是可 微的充分性定理微的充分性定理(,)f x y00(,)xy在点在点xyff与与若若的偏导数的偏导数都连续都连续,则则 00(,)fxy称在点称在点连续可微连续可微 在定理在定理 17.2 证明过程中出现的证明过程中出现的(9)式式,实际上是二实际上是二(,),x y导数,若属于该邻域 则存在导数,若属于该邻域 则存在元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式,将它重新写成定理

20、如下将它重新写成定理如下:120,1,00000(,)(,)(,)()(,)().xxf x yf xyfyxxfxyy (12)00(,)fxy在在点点的某邻域内存在偏的某邻域内存在偏定理定理 17.3 设函数设函数和和 010()xxx020(),yyy使得使得四、可微性的几何意义及应用 一元函数一元函数()yf x可微，在几何上反映为曲线存在可微，在几何上反映为曲线存在 不平行于不平行于 y 轴的切线轴的切线.对于二元函数而言对于二元函数而言,可微性可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系则反映为曲面与其切平面之间的类似关系.为此需为此需 要先给出切平面的定义要先给出切平面的定义,这

21、可以从切线定义中这可以从切线定义中获得获得 启发启发.在第五章在第五章1中中,我们曾把平面曲线我们曾把平面曲线 S 在其上某一在其上某一 00(,)P xy点点的切线的切线 PT 定义为过点定义为过点 P 的割线的割线 PQ 当当 Q 沿沿 S 趋近趋近 P 时的极限位置时的极限位置(如果存在的话如果存在的话).这时这时,PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(参见参见图图17-2).用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离,由于由于 sin,hd0QSP 因因此此当当沿沿趋趋于于时时

22、,等等同同于于0.hd仿照这个想法仿照这个想法,我们引进曲面我们引进曲面 S 在点在点 P 的切平面的的切平面的 定义定义.PTSdh图图 17-2 Q PQhdxyzOS 图图 17-3 定义定义 3 设曲面设曲面 S 上一点上一点 P,为通过点为通过点 P 的一个的一个 平面平面,S 上的动点上的动点 Q 到定点到定点 P 和到平面和到平面的的距离距离 分别记为分别记为 d 和和 h(图图17-3).若当若当 Q 在在 S 上以任上以任意方意方 式趋近于式趋近于 P 时时,恒有恒有 0,hd 则称平面则称平面 为曲为曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面,称称 P 为为切点切点.定理定

23、理 17.4 曲面曲面0000(,)(,(,)zf x yP xyf xy 在点在点存在不平行于存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是轴的切平面的充要条件是:函数函数 f在点在点000(,)P xy可微可微.证证(充分性充分性)若函数若函数f在在 P0 可微可微,由定义知道由定义知道 0000000(,)()(,)()(),xyzzfxyxxfxyyyo 讨论过点讨论过点0000(,(,)P xyf xy的平面的平面:0000000(,)()(,)(),xyZzfxyXxfxyYy 其中其中 X,Y,Z 是平面上点的流动坐标是平面上点的流动坐标.下面证明它就下面证明它就 是曲面是曲面(,)z

24、f x yP 在在点点的切平面的切平面.(,)Q x y z 由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 0000000220000|(,)()(,)()|1(,)(,)xyxyzzfxyxxfxyyyhfxyfxy2200000(,),.()()zf xyxxyy 其中其中现在现在220000|()|,1(,)(,)xyofxyfxy 000222()()(),dxxyyzz 00hd 因此由，以及时的因此由，以及时的220000|()|10,1(,)(,)xyhhodfxyfxy P 到到 Q 的距离为的距离为 (,)zf x y 在在点点根据定义根据定义 3 便知便知平面平面 即为

25、曲面即为曲面P 的切平面的切平面(,)zf x yP 在在点点(必要性必要性)若曲面若曲面存在不平行于存在不平行于z 轴的切平面轴的切平面 000()().ZzA XxB Yy第一步第一步 设设 Q(x,y,z)是曲面上任意一点是曲面上任意一点,由由 Q 到这到这 个平面的距离为个平面的距离为 00022|()()|.1zzA xxB yyhAB00022222,.xxxyyyzzzxydxyz，QP 0.hd由切平面的定义知道由切平面的定义知道,当当时时,有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 P 与与 Q,有有 2222|1,12 1hzA xB yddABAB则得则得 221|.22

26、dzAxByz 令令()().zAxByo|()|ratio zAxBy 由于 由于 defdef2222|11zA xB ydABdAB 221,hdABd f000(,)P xy第二步第二步 分析分析:要证明要证明 在点在点可微可微,事实事实 上就是需证上就是需证 因此因此,若能证得当若能证得当 d 充充分分小小时时，为为一一有有界界量量，则有则有0lim ratio=0.|:z 是有界量是有界量|abab 由由第三步第三步 先证先证 可推得可推得 2211|(|),22zAxByzz 故有故有 11|,22zAxBy|2|12(|)1.zxyABAB 第四步第四步:d 再证是有界量再证是

27、有界量由上式进一步可得由上式进一步可得 222112(|1).zdzzAB 000(,)P xy根据第二步的分析，这就证得根据第二步的分析，这就证得在点在点 可微可微.000(,)P xy定理定理 17.4 说明说明:函数函数在点在点可微可微,则曲面则曲面 000(,)(,)zf x yP xy z 在在点点处的切平面方程为处的切平面方程为0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy (13)过切点过切点 P 与切平面垂直的直线称为曲面在点与切平面垂直的直线称为曲面在点 P 的的 法线法线.由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 0000(,),(,),1),

28、xynfxyfxy 于是过切点于是过切点 P 的法线方程为的法线方程为 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy (14)二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义:如图如图17 4 所示所示,当自当自 0000d(,)(,),xyzfxyxfxyy 的全微分的全微分而在点而在点 00(,)xy00(,)xy00(,)xx yy变为变为时时,函函变量变量 由由(,)x y是是 z 轴方向上的一段轴方向上的一段 NQ;(,)zf x y 的增量的增量 z 数数 则是切平面则是切平面 上相应上相应的那的那一段一段增量增量 NM.于于 12PM MM而趋于零而趋于零,而且是较

29、而且是较 高阶的无穷小量高阶的无穷小量.0 是是,与与 dz 之差是之差是 MQ 那一段，它的长度将那一段，它的长度将随着随着 z 图图 17 4 xyzOS PQ1Q2QM1M2MN1N2N00(,)xy00(,)xx yy例例6 试求抛物面试求抛物面22000(,)zaxbyM xyz在点在点处处 的切平面方程与法线方程，其中的切平面方程与法线方程，其中22000.zaxby解解 000000(,)2,(,)2,xyfxyaxfxyby由公式由公式(13),在点在点 M 处的切平面方程为处的切平面方程为 000002()2().zzaxxxbyyy 22000,zaxby又又因因所所以以它

30、它可可化化简简为为000220.ax xby yzz 由公式由公式(14),在点在点 M 处的法线方程为处的法线方程为 00000.221xxyyzzaxby下面的例下面的例 8 和例和例 9 是利用线性近似公式是利用线性近似公式(3)所作的所作的 近似计算和误差估计近似计算和误差估计.例例7 求求 3.961.08的近似值的近似值.(,),yf x yx 001,4,0.08,xyx 并并令令解解 设设0.04.y 由公式由公式(3)，有，有3.96001.08(,)f xx yy(1,4)(1,4)(1,4)xyffxfy414 0.081ln1(0.04)1.32.例例8 1sin2Sa

31、bC应用公式计算某三角形的面积,应用公式计算某三角形的面积,12.50,8.30,30.,abCa b现现测测得得若若测测量量的的误误0.01,0.1,C差差为为测测量量的的误误差差为为试试求求用用此此公公式式计计算算三三角角形形面面积积时时的绝对误差限和相对误差限的绝对误差限和相对误差限.解解 依题意，测量依题意，测量 a,b,C 的绝对误差限分别为的绝对误差限分别为|0.01,|0.01,|0.1.1800abC 由于由于|d|11|sin|sin|221|cos|,2SSSSSabCabCSSSabCabCbCaaCbabCC 将各数据代入上式将各数据代入上式,得到得到 S 的绝对误差限

32、为的绝对误差限为|0.13.S 111sin12.50 8.3025.94,222SabC0.130.5%.25.94SS 因为因为所以所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 复习思考题 1.已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在试举出一组函数试举出一组函数(,),f x y 能分别满足如下要求能分别满足如下要求:(i)(0,0),;在在点点处处连连续续 但但不不存存在在偏偏导导数数(ii)(0,0),;在在点点处处不不连连续续 但

33、但存存在在偏偏导导数数(iii)(0,0),;在在点点处处连连续续 存存在在偏偏导导数数,但但不不可可微微(iv)(0,0).在在点点处处可可微微,但但偏偏导导数数不不连连续续2.可微性定义中可微性定义中,(1)式与式与(4)式为何是等价的式为何是等价的?2 复合函数微分法 凡是学过一些微积分的人,没有一个会对复合函数微分法的重要性产生怀疑.可以毫不夸张地说,谁不懂得复合微分法,谁就会在计算导数或偏导数时寸步难行.一、复合函数的求导法则二、复合函数的全微分 一、复合函数的求导法则 设函数设函数(,)(,)xs tys t 与与(1)定义在定义在st 平面的区域平面的区域 D 上上,函数函数 (

34、,)zf x y(2)定义在定义在 xy 平面的区域平面的区域 _D上上.若若_(,)(,),(,),(,),x yxs tys ts tDD 则可构成则可构成复合函数复合函数:(,)(,),(,),(,).zF s tfs ts ts tD (3)其中其中(1)为内函数为内函数,(2)为外函数为外函数,(x,y)为中间变量为中间变量,(s,t)为自变量为自变量.下面将讨论复合函数下面将讨论复合函数 F 的可微性的可微性,并导出并导出 F 的偏导的偏导 数与全微分的复合运算法则数与全微分的复合运算法则.(,),(,)xs tys t (,)s tD 定理定理17.5 若若在点在点可可(,)zf

35、 x y(,)(,),(,)x ys ts t 微，微，在点在点可微可微,则则 关于关于 s 与与 t 的偏导数分别为的偏导数分别为 (,),(,)zfs ts t (,)s t复合函数复合函数在点在点可微，且可微，且(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,),.s tx ys tx ys ts tx ys tx ys tzzxzysxsyszzxzytxtyt(4)是是22,yyyststst (6)(,),(,)xs tys t (,)s t证证 由假设由假设 在点在点 可微可微,于于,zzzxyxyxy (7)现把现把(5),(6)两式代入两式代入(7)式，得到式，得到

36、 11zxxzststxst (,)(0,0)st 1122(,)(0,0,0,0).其中其中 时时(,)zf x y(,)x y又由又由在点在点可微可微,故有故有 (,)(0,0)xy (,)(0,0),其中其中 时，时，并可补充并可补充 0 xy 0.定义定义:当当时时,22.zyyststyst 整理后又得整理后又得 其中其中1122(,)(0,0,0,0).并求得并求得 z 关于关于 s 和和 t 的偏导数公式的偏导数公式(4)(0,0),(,)(0,0),从而也有从而也有 以及以及 于是在于是在(9),(10)两式中两式中,当当(,)(0,0)st 时时,有有 公式公式(4)也称为也

37、称为链式法则链式法则 能轻易省略的能轻易省略的,否则上述复合求导公式就不一定成否则上述复合求导公式就不一定成 立例如立例如 注注 如果只是求复合函数如果只是求复合函数(,),(,)fs ts t 关于关于 s 或或 t 的偏导数的偏导数,则上述定理中则上述定理中(,),(,)xs tys t 只只s 须具有关于须具有关于 s 或或 t 的偏导数就够了的偏导数就够了.因为以因为以 或或t 0s 0,t 除除(7)式两边式两边,然后让然后让或或也能得也能得 到相应的结果到相应的结果.但是对外函数但是对外函数 f的可微性假设是不的可微性假设是不 2222222,0,(,)0,0.x yxyxyf x

38、 yxy ()(,),2tzF tf t td1.(4),d2zt有若形式地使用法则将得出错误结论:有若形式地使用法则将得出错误结论:为内函数，则得到以为内函数，则得到以 t 为自变量的复合函数为自变量的复合函数 (0,0)(0,0)0,xyff(,)f x y由由 1 习题习题 6 已知已知 但但(,)f x y,xt yt 在点在点(0,0)不可微不可微.若以若以为外函数为外函数,000(0,0)(0,0)dddddd0 10 10.tttzzxzytxtyt 这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微这说明：在使用链式法则时，必须注意外函数可微 这个条件这个条件.则复合函数则复合函数1

39、1,(,)(,)mmf uuuu一般地 若在可微,函数组一般地 若在可微,函数组1(,)(1,2,)kknugxxkm1(,)(1,2,),nixxxin在具有对于的偏导数在具有对于的偏导数11211(,),(,),(,)nnmnf gxxgxxgxx1(1,2,).mkkikiuffinxux .zzxy求与求与解解 所讨论的复合函数以所讨论的复合函数以(u,v)为中间变量为中间变量,(x,y)为为 自变量自变量,并满足定理并满足定理 17.5 的条件的条件.故由故由 关于自变量关于自变量 (1,2,)ixin 的偏导数为的偏导数为 222ln(),e,1,xyzuvuvxy 而而例例设设试

40、试2221,zuzuvuvuv22e,2 e,2,1,xyxyuuvvyxxyxy根据公式根据公式(4)得到得到 22221e2xyuxuvuv zzuzvxuxvx222(e),xyuxuv 例例2(,),cos,uu x yxr 设设可可微微 在在极极坐坐标标变变换换222221.uuuurxyr 因此有因此有 221(4e1).xyuyuv zzuzvyuyvysin,yr 之下 证明之下 证明cossin,uuxuyuurxryrxy(sin)cos.uuxuyuurrxyxy于是于是 22221cossinuuuurxyr 221sincosuurrxyr22.uuxy解解 复合后仅

41、是自变量复合后仅是自变量 t 的一元函数于是的一元函数于是ddddddddzzuzvzttutvttt例例3 dsin,e,cos,.dtzzuvtuvtt设其中求设其中求e(sin)costvutte(cossin)cos.tttt的复合函数对的复合函数对 t 求导数求导数(这种导数又称为这种导数又称为“全导数全导数”);求偏导数二者所用的符号必须有所区别求偏导数二者所用的符号必须有所区别例例4 用多元复合微分法计算下列一元函数的导数用多元复合微分法计算下列一元函数的导数:2(1)ln(1);(2).sincosxxxxyxyxx 注注 上面第一个等式中，左边的上面第一个等式中，左边的ddz

42、t是作为一元函数是作为一元函数右边的右边的 zt 是外函数是外函数(作为作为 u,v,t 的三元函数的三元函数)对对 t ddddddyyuyvwvxuxvwxx11lnlnxxxxxxxxxxx x xxx2(2),sincos,1,ln,vwyuxx vxwxu 令令则有则有 21ln(ln).xxxxxxxx11lnlnvvxxvuuuxwwwddddddddyyuyvywxuxvxwx221(sincos)(1)ln(sincos)xxxxxx 由此可见，以前用由此可见，以前用“对数求导法对数求导法”求一元函数导数求一元函数导数 的问题的问题,如今可用多元复合函数的链式法则来计算如今可

43、用多元复合函数的链式法则来计算.21(cossin)2vwwvxxxuuxu 21(sincos)(2 ln).xxxxxx (1,1),()(,(,(,),(1).yfbxf x f x f x x 试试求求解解 令令()(,),(,),(,),xf x yyf x zzf x uux dd()ddxyxyxzyzxffffffxx 则有则有 由于由于 d1,(1,1),(1,1)(1,1)(1,1),dxyzuufa fffbxd.dxyxzxuuffffffx而实用的写法而实用的写法(省去了引入中间变量省去了引入中间变量):23(1)().ab ab abaababb 因因此此说明说明

44、上面的解法是通过引进中间变量上面的解法是通过引进中间变量,y z u后后,借借 助链式法则而求得的助链式法则而求得的;上述过程还有一种比较简洁上述过程还有一种比较简洁 121212()(1),xffffff 2Rf例例6 设在设在 上的可微函数上的可微函数 满足方程满足方程 ().ab ab ab121(1)(1,1)(1,1)(1,1)fff 212(1,1)(1,1)(1,1)fff(,)(,).xyy fx yx fx y 0.f uuxuyxyrf证明证明:在极坐标系里在极坐标系里 只是只是的函数的函数为此设为此设 (,),cos,sin,uf x yxry 则则得得证证 本题即是要证

45、明本题即是要证明:经经极坐标变换后，极坐标变换后，f满足满足 (sin)(cos)uurrxy uuyxxy 是是 r的函数的函数 f2R f从而从而 在在上的上的极坐标系里与极坐标系里与无关无关,于是于是 只只 0.ffyxxy 二、复合函数的全微分 分为分为(,),(,),xs tys t ddd.zzzxyxy(11),x y,s t如果如果 作为中间变量作为中间变量,又是自变量又是自变量 的可微函数的可微函数 则由定理则由定理17.5 知道知道,复合函数复合函数(,),(,)fs ts t 是是 可微的可微的,其全微分为其全微分为 ddzxzyzxzystxsysxtytdddzzzs

46、tst将将(13)式代入式代入(12)式式,得到与得到与(11)式完全相同的结式完全相同的结 果果,这就是多元函数的这就是多元函数的一阶一阶(全全)微分形式不变性微分形式不变性.利用微分形式不变性利用微分形式不变性,能更有条理地计算复合函数能更有条理地计算复合函数 的全微分的全微分d,z算算并并由由此此导导出出.zzxy与与ddde sin de cos d,uuuvzzuzvv uv v ddd,ddd,uyxx yvxy因此因此de sin(dd)e cos(dd)uuzv y xxyvxy并由此得到并由此得到esin()cos()dxyyxyxyxesin()cos()d,xyxxyxy

47、ye sin()cos(),xyzyxyxyx esin()cos().xyzxxyxyy 复习思考题1.在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一在一元函数章节里，利用对数求导法曾得到过一 个结果个结果:1()(1ln)ln.xxxxxxxx xxx 数与指数函数求导数而得到的数与指数函数求导数而得到的.有人认为这是偶然有人认为这是偶然 的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一的巧合，也有人认为这是必然的结果试问哪一 种看法是正确的？请说出依据种看法是正确的？请说出依据 的复合函数的复合函数.考察下面计算复合函数偏导数的一种考察下面计算复合函数偏导数的一种 写法写法:,uuxuyutxtyt

48、t试问这个写法有何不妥？怎样纠正？试问这个写法有何不妥？怎样纠正？2.设由可微的设由可微的 (,),(,),(,)uu x y txx s tyy s t 得得3 方向导数与梯度 在许多问题中,不仅要知道函数在坐标轴方向上的变化率(即偏导数),而且还要知道在其他特定方向上的变化率,这就是本节所要讨论的方向导数.方向导数的概念方向导数的概念 定义定义1 设函数设函数 0000(,)(,)f x y zP xyz在点的某邻域在点的某邻域000()()limlimlff Pf P 导数导数,记作记作 00000,()(,).llPff Pfxyzl 或或300()RU PlP 内有定义，为从点出发的

49、射线.任内有定义，为从点出发的射线.任f0Pl存在存在,则称此极限为函数则称此极限为函数 在点在点 沿方向沿方向的的方向方向00(,)(),|P x y zlU PP P 记记，若极限若极限 给给 00()()();lxf PfPlOx 当当 l 的方向为的方向为 x 轴的负方向时，则有轴的负方向时，则有00()()();lxf PfPlOx 方向导数与偏导数之间的一般关系方向导数与偏导数之间的一般关系 xyzO图图 17 5 x y z 0PPlcos,cos,cos 其中其中 为为 l 的方向余弦的方向余弦 证证 设设(,)P x y z为为 l 上任一点，于是上任一点，于是 有有(参见图

50、参见图17 5)0Pl在点在点沿任一方向沿任一方向的方向导数都存在的方向导数都存在,且且0000()()cos()cos()cos,(1)lxyzf PfPfPfP 000cos,cos,cos.xxxyyyzzz (2)f0P由假设由假设在点在点可微，则有可微，则有000()()()()xyf Pf PfPxfPy0()().zfPzo0()lim0,o 因为所以上式左边的极限存在:因为所以上式左边的极限存在:000()()()limlf Pf PfP 000()cos()cos()cos.xyzfPfPfP 000()()cos()cos()cos.xyzofPfPfP 000()()()