1、6.2向量基本定理与向量的坐标向量基本定理与向量的坐标6.2.1 向量基本定理向量基本定理第六章 平面向量初步学习目标1.理解共线向量基本定理及其应用理解共线向量基本定理及其应用.2.了解平面向量基本定理及其含义了解平面向量基本定理及其含义.重点重点：1.共线向量基本定理；共线向量基本定理；2.平面向量基本定理平面向量基本定理.难点难点：平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用.知识梳理一、共线向量基本定理一、共线向量基本定理如果a0且ba，则存在唯一的实数，使得 .ba在共线向量基本定理中：（1）ba时，通常称为b能用a表示.（2）其中的“唯一”指的是，如果还有ba，则有 .由aa可知（
2、-）a0，如果-0，则a0，与已知矛盾，所以-0，即.二、平面向量基本定理二、平面向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得 .cxa+yb如果cxa+ybua+vb，那么xu且yv.当a与b不共线时，xa+yb0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果cxa+yb，则称xa+yb为c在基底a，b下的分解式.例1一共线向量基本定理共线向量基本定理判定向量共线常考题型【解【解题提示题提示】关键看向量a，b是否存在倍数关系.判定向量共线的方法判定向量共线的
3、方法分别将要判断的向量表示出来，并观察能否找到实数，使ba，若能找到，则a，b共线，若不能找到，则a，b不共线.解题归纳2019山东日照高一检测山东日照高一检测下列各组向量：a2e1，b-2e1；ae1-e2，b-2e1+2e2；a4e1-e2，be1-e2；ae1+e2，b2e1-2e2.若e1，e2不共线，则其中a，b共线的有（填序号）.1.变式训练2019江苏宿迁高一检测江苏宿迁高一检测下列命题中正确的是（填序号）.-5（6a）-30a；7（a+b）+6b7a+13b；若am-n，b3（m-n），则a，b共线；若（a-5b）+（a+5b）2a，则a，b共线.2.变式训练例2利用基本定理求
4、参数2019湖北省黄梅一中高一检测湖北省黄梅一中高一检测已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma-3b与a+（2-m）b共线，则实数m的值为.【解题提示】【解题提示】利用共线向量的性质列出方程（组），由此求出m的值.【答案】【答案】-1或3利用基本定理求参数的方法利用基本定理求参数的方法若向量a，b（a0）共线，则由基本定理可得，存在一个实数，使得向量b能用非零向量a来表示，即若b与a（a0）是共线向量，那么有且只有一个实数，使ba，再利用对应系数相等这一条件，列出方程组，从而求解.解题归纳已知e1，e2是两个不共线的向量，且ae1+me2与b-3e1-e2共线，则m.（2）已知e1和e2
5、不共线，ae1+e2，b4e1+2e2，并且a，b共线，则的值是.2变式训练1.2.利用共线向量基本定理解决几何问题例3解题归纳解题归纳1.变式训练32.解题归纳二二平面向量基本定理平面向量基本定理基底的判断例4如果e1，e2是平面内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 .e1+e2（，R）可以表示平面内的所有向量；对于平面内任一向量a，使ae1+e2的实数对（，）有无穷多个；若向量1e1+1e2与2e1+2e2共线，则有且只有一个实数，使得1e1+1e2（2e1+2e2）；若存在实数，使得e1+e20，则0.【解析】【解析】由平面向量基本定理可知，是正确的；对于，由平面向量基本定理可知
6、，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于，当12120时，这样的有无数个.【答案】【答案】【注意】1.基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量a，b组成的集合a，b都可以作为基底.2.基底给定时，分解形式唯一，即x，y是被c，a，b唯一确定的数值.3.平面内的任意向量c都可在给出的基底下进行分解，同一非零向量在不同基底下的分解式不同.4.若a，b是同一平面内所有向量的一组基底，则当c与a共线时，y0；当c与b共线时，x0；当c0时，xy0.解题归纳变式训练用基底表示向量例5用基底表示向量的方法用基底表示向量的方法平面内任何一个向量都可以用一组基底进行表示，
7、转化时一定要看清转化的目标，要充分利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，同时结合数乘向量的定义，牢记转化方向，把未知向量逐步往基底方向进行组合或分解.具体表示方法有两种：1.利用向量的线性运算法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；2.列向量方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.解题归纳1.变式训练2019安徽滁州高一期末安徽滁州高一期末已知向量a，b不共线，设向量m2a-3b，n4a-2b，p3a+2b，若用基底m，n表示p，则p .变式训练2.a+b2a+c利用平面向量基本定理求参数例6变式训练小结共线向量基本定理如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对（x，y），使得cxa+yb.平面向量基本定理中，当a与b不共线时，“唯一的实数对”指的是c用a，b表示时，表达式唯一，即如果cxa+ybua+vb，那么xu且yv.平面向量基本定理特别地，当a与b不共线时，因为00a+0b，所以对于xa+yb来说，当x0或y0时，必定有xa+yb0.也就是说，当a与b不共线时，xa+yb0的充要条件是x与y中至少有一个不为0.平面内不共线的两个向量a与b组成的集合a，b，常称为该平面上向量的一组基底，此时如果cxa+yb，则称xa+yb为c在基底a，b下的分解式.平面向量基本定理
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