1、期末复习(二)特殊三角形01知识结构02重难点突破重难点1等腰三角形的性质及判定【例1】(萧山区期中)如图,在ABC中,AD平分BAC.(1)若ACBC,BC21,试写出图中的所有等腰三角形,并给予证明;(2)若ABBDAC,求BC的比值.【思路点拨】(1)根据等腰三角形的定义及“等角对等边”判定等腰三角形;(2)利用“截长法”或“补短法”添加辅助线,将ACAB或ABBD转化成一条线段,通过全等得到线段相等,从而得到角相等.解:(1)等腰三角形有3个:ABC,ABD,ADC,证明:ACBC,ABC是等腰三角形.BBAC.BC21,BBACC180,BBAC72,C36.BADDACBAC36,
2、BADB72,DACC36.ABAD,DADC.ABD和ADC是等腰三角形.(2)在AC上截取AEAB,连结DE,又BADDAE,ADAD,ABDAED.AEDB,BDDE.ABBDAC,ACAEEC,BDEC.DEEC.EDCC.BAEDEDCC2C.BC21.1.(上城区期中)如图,ABC.ADE中,C.D两点分别在AE.AB上,BC与DE相交于点F.若BDCDCE,ADCACD104,则DFC的度数为( C )A.104B.118C.128D.1362.如图,在ABC中,ABAC,点D.E.F分别在AB.BC.AC边上,且BECF,BDCE.(1)求证:DEF是等腰三角形;(2)当A40
3、时,求DEF的度数.解:(1)证明:ABAC,BC.在BDE和CEF中,BDECEF(SAS).DEEF,即DEF是等腰三角形.(2)A40,ABAC,BC70.由(1)知,BDECEF,BDECEF.DEF180BEDCEF180BEDBDEB70.重难点2直角三角形的性质及判定【例2】在RtABC中,BAC90,BF平分ABC,AEFAFE.(1)求证:ADBC(请用一对互逆命题进行证明);(2)写出你所用到的这对互逆命题.【思路点拨】由“直角三角形的两个锐角互余”得到ABFAFB90,又因为ABFCBF,AEFBED,从而转化为CBFBED90,从而ADBC得证.解:(1)证明:在RtA
4、BC中,BAC90,ABFAFB90.BF平分ABC,ABFCBF.AEFAFE,BEDAEF,BEDAFE.CBFBED90.BDE90.ADBC.(2)互逆命题:直角三角形的两个锐角互余;有两个角互余的三角形是直角三角形.3.(庆元县岭头中学月考)已知,如图,B.C.D三点共线,ABBD,EDCD,C是BD上的一点,且ABCD,12,请判断ACE的形状并说明理由.解:ACE是等腰直角三角形,理由:12,ACCE.ABBD,EDCD,BD90.在RtABC和RtCDE中,RtABCRtCDE.ACBCED.CEDECD90,ACBECD90.ACE90.ACE是等腰直角三角形.重难点3勾股定
5、理及其逆定理【例3】如图,在RtABC中,ABC90,点D是AC的中点,作ADB的平分线DE交AB于点E.(1)求证:DEBC;(2)若AE3,AD5,点P为线段BC上的一动点,当BP为何值时,DEP为等腰三角形?请求出所有BP的值.【思路点拨】(1)要证DEBC,可转化为证AEDABC90,即证DEAB,由等腰三角形“三线合一”的性质可推导得出;(2)DEP为等腰三角形,存在三种情况:DEEP,DPEP,DEDP,结合勾股定理可求得BP的值.解:(1)证明:ABC90,点D是AC的中点,BDADAC.DE是ADB的平分线,DEAB.又ABC90,DEBC.(2)AE3,AD5,DEAB,DE
6、4.DEAB,ADBD,BEAE3.DEEP时,BP;DPEP时,BPDE42;DEDP时,过点D作DFBC于点F,则DFBE3,由勾股定理,得FP,点P在F下边时,BP4,点P在F上边时,BP4,综上所述,BP的值为,2,4或4.4.如图,在RtABC中,C90,AB5 cm,AC3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度运动,设运动时间为t(s).(1)当ABP为直角三角形时,求t的值;(2)当ABP为等腰三角形时,求t的值.解:(1)C90,AB5 cm,AC3 cm,BC4 cm.当APB为直角时,点P与点C重合,BPBC4 cm,t4.当BAP为直角时,BPt cm,C
7、P(t4)cm,AC3 cm,在RtACP中,AP232(t4)2,在RtBAP中,AB2AP2BP2,5232(t4)2t2,解得t.综上,当ABP为直角三角形时,t4或.(2)当BPBA5 cm时,t5.当ABAP时,BP2BC8 cm,t8.当PBPA时,PBPAt cm,CP(4t)cm,AC3 cm,在RtACP中,AP2AC2CP2,t232(4t)2,解得t.综上,当ABP为等腰三角形时,t5或8或.03备考集训一.选择题(每小题3分,共30分)1.(上城区期中)下列四个图形中,是轴对称图形的是( C )2.下列各命题的逆命题成立的是( C )A.全等三角形的对应角相等B.如果两
8、个数相等,那么它们的绝对值相等C.两直线平行,同位角相等D.如果两个角都是45,那么这两个角相等3.如图,在ABC中,ACB90,CD是AB边上的高,如果A50,那么DCB( A )A.50B.45C.40D.254.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( B )A.两条直角边对应相等B.两个锐角对应相等C.一条直角边和它所对的锐角对应相等D.一个锐角和锐角所对的直角边对应相等5.(永嘉县校级期中)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30,则顶角的度数为( D )A.60 B.120 C.60或150 D.60或1206.如图,在RtABC中,C90,D为AC上一点,且DADB5,如果DA
9、B的面积为10,那么DC的长是( B )A.4 B.3C.5 D.4.5 第6题图 第7题图7.如图,在ABC中,A36,ABAC,AB的垂直平分线OD交AB于点O,交AC于点D,连结BD,下列结论错误的是( D )A.C2AB.BD平分ABCC.图中有三个等腰三角形D.SBCDSBOD8.(萧山区期中)ABC中,ABAC5,BC8,点P是BC边上的动点,过点P作PDAB于点D,PEAC于点E,则PDPE的长是( A )A.4.8 B.4.8或3.8C.3.8 D.59.(庆元县岭头中学月考)如图,三角形纸片ABC中,B2C,把三角形纸片沿直线AD折叠,点B落在AC边上的E处,那么下列等式成立
10、的是( B )A.ACADBD B.ACABBDC.ACADCD D.ACABCD 第9题图 第10题图10.(河北中考)如图,AOB120,OP平分AOB,且OP2.若点M,N分别在OA,OB上,且PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有(D)A.1个 B.2个C.3个 D.3个以上二.填空题(每小题4分,共24分)11.等腰三角形的一个角是110,则它的底角是35.12.(永嘉县校级期中)如图是一个外轮廓为长方形的机器零件的平面示意图,根据图中的尺寸(单位:cm),计算两个圆孔中的A和B的距离为10cm. 第12题图 第13题图13.如图,在ABC中,ABAC7,BC6,AFBC于F,
11、BEAC于E,D是AB的中点,则DEF的周长是10.14.(萧山区期中)如图,已知MON30,点A1.A2.A3在射线ON上,点B1.B2.B3在射线OM上,A1B1A2.A2B2A3.A3B3A4均为等边三角形,若OA11,则A6B6A7的边长为32. 第14题图 第15题图15.(江山期末)如图,在边长为2的等边ABC中,AD是BC边上的高,点E是AC中点,点P是AD上一动点,则PCPE的最小值是.16.(杭州期中)已知:如图,BD为ABC的角平分线,且BDBC,E为BD延长线上的一点,BEBA,过E作EFAB,F为垂足,下列结论:ABDEBC;BCEBCD180;ADEFEC;BABC2
12、BF.其中正确的结论有(填序号).三.解答题(共46分)17.(10分)如图,请将下面两个三角形分成两个等腰三角形.(要求重新画图,且标出每个等腰三角形的内角的度数)解:如图:18.(10分)(杭州中考)如图,在ABC中,已知ABAC,AD平分BAC,点M,N分别在AB,AC边上,AM2MB,AN2NC.求证:DMDN.证明:AM2MB,AN2NC,ABAC,AMAN.AD平分BAC,MADNAD.在AMD和AND中,AMDAND(SAS).DMDN.19.(12分)(萧山区期中)(1)用直尺和圆规作一个等腰三角形,使得底边长为线段a,底边上的高的长为线段b,要求保留作图痕迹;(不要求写出作法
13、)(2)在(1)中,若a6,b4,求等腰三角形的腰长.解:(1)如图,等腰三角形ABC即为所求作三角形,其中ABa,OCb.(2)由题意知ACBC,AOBO,COAB,且CO4,AB6,AO3.AC5,即等腰三角形的腰长为5.20.(14分)如图1,OA2,OB4,以A点为顶点.AB为腰在第三象限作等腰RtABC.(1)求C点的坐标;(2)如图2,P为y轴负半轴上一个动点,当P点沿y轴负半轴向下运动时,以P为顶点,PA为腰作等腰RtAPD,过D作DEx轴于E点,求OPDE的值.解:(1)过C作CMx轴于M点,MACOAB90,OABOBA90,MACOBA.在MAC和OBA中,MACOBA(AAS).CMOA2,MAOB4.OMOAAM246.点C的坐标为(6,2).(2)过D作DQOP于Q点,则DEOQ.OPDEOPOQPQ.APOQPD90,APOOAP90,QPDOAP.在AOP和PQD中,AOPPQD(AAS).PQOA2,即OPDE2.
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