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1、无穷等比数列各项的和：无穷等比数列各项的和：,q,aa1n公公比比为为的的首首项项为为已已知知无无穷穷等等比比数数列列,0,1 qq若若 nnSlim则则项项的的和和公公式式为为即即无无穷穷递递缩缩等等比比数数列列各各).(111qqaS,qa11qqann111)(lim)(limlimnnnqqa111.,qaSSnSnqn111表表示示，即即：并并用用符符号号列列各各项项的的和和的的极极限限叫叫做做无无穷穷等等比比数数时时当当项项和和的的无无穷穷等等比比数数列列的的前前把把4310229011.)(.)(数：数：化下列循环小数为分：化下列循环小数为分例例29292902901.)(解：解

2、：12010290010290010290290n).(.).(.0101290.992903104043102.)(0101031040.99042799031104903.)(.的的取取值值范范围围求求首首项项，的的各各项项和和为为：已已知知无无穷穷等等比比数数列列例例142aan则则公比为公比为解：设无穷等比数列的解：设无穷等比数列的,q411qaS.411aq01qq且且又又,04114111aa且且4114111aa且且,48011aa且且).,(),(84401a.;面积的和面积的和些正方形的周长的和与些正方形的周长的和与限继续下去，求所有这限继续下去，求所有这如此无如此无个更小的

3、正方形个更小的正方形方形各边的中点得到一方形各边的中点得到一又连接这个小正又连接这个小正正方形正方形各边的中点得到一个小各边的中点得到一个小，连接这个正方形，连接这个正方形的边长等于的边长等于：如图：正方形：如图：正方形例例2222111113DCBADCBAABCDABCD1A1B1C1D2A2B2C2D3A3B3C3D 则则解解：设设各各边边长长构构成成数数列列,nanaaaaaa,22222211212121,121212222nnnaaa,2221nnaan时时，即即：qal141所有正方形的周长：所有正方形的周长：.248221142211Sqa所有正方形的面积：所有正方形的面积：.

4、22111.,和和求所有正方形的面积的求所有正方形的面积的若若它们的边长依次为它们的边长依次为内有一系列的正方形，内有一系列的正方形，：如图，在：如图，在例例aBCaABaaaABCRtn2421ABC1a2aaa221211aaaaa解：解：.aa321211nnnaaa同理：同理：)(2321naann;,949422232221公公比比为为成成等等比比，首首项项为为 aaaaan.225494194aaS面面积积和和图3图图1是一个等边三角形M1，把M1的每条边三等分，把M2的每条边三等分，并以中间的那一条线段为边向外作等边三角形，再擦去中间的那一条线段，得M3,那一条线段为边向外作等边

5、三角形，再擦去中间的那一条线段，得图2,记作M2;并以中间的把Mn-1的每条边三等分，并以中间的那一条线段为边向外作再擦去中间的那一条线段，得Mn(n=2,3,4,)，等边三角形，.)(;)(;)(;)(;)(,)()(求求周周长长和和面面积积的的极极限限所所围围成成的的面面积积求求的的周周长长求求中中每每条条边边的的长长度度求求中中的的边边数数求求中中的的图图形形依依次次记记作作将将图图，并并分分别别的的边边长长为为：设设图图中中的的等等边边三三角角形形例例5432132115321nnnnnnnnAMLMTMNMMMM图3图条条线线段段，在在后后一一个个图图形形中中变变成成四四每每个个图图

6、形形中中的的一一条条线线段段解解：)(1)(,24311nNNNnn).(*NnNnn143.)(;)(;)(;)(;)(,)()(求求周周长长和和面面积积的的极极限限所所围围成成的的面面积积求求的的周周长长求求中中每每条条边边的的长长度度求求中中的的边边数数求求中中的的图图形形依依次次记记作作将将图图，并并分分别别的的边边长长为为：设设图图中中的的等等边边三三角角形形例例5432132115321nnnnnnnnAMLMTMNMMMM图3图,)(312长长的的在在后后一一个个图图形形中中变变为为原原图图形形中中的的每每条条线线段段长长度度)(,231111nTTTnn).()(*NnTnn1

7、31nnnTNL周长周长)(3).()(*Nnn1343 Mn边数 曲线所围面积图3图124348412192448143nnN增加三角形的个数122143nnN增加的每个小三角形的面积91A219A319A11129nnAAT1A93112AAA2123912AAA3134948AAA1121943nnnnAAA边长Tn11TnN31311T31N223131T333131T131nnT)(348.)(;)(;)(;)(;)(,)()(求求周周长长和和面面积积的的极极限限所所围围成成的的面面积积求求的的周周长长求求中中每每条条边边的的长长度度求求中中的的边边数数求求中中的的图图形形依依次次记

8、记作作将将图图，并并分分别别的的边边长长为为：设设图图中中的的等等边边三三角角形形例例5432132115321nnnnnnnnAMLMTMNMMMM图3图,)(4341A的的小小正正方方形形，积积为为的的每每条条边边上上多多了了一一个个面面时时，在在生生成成当当由由_11nnnMMM_,和为和为这些小正多边形面积之这些小正多边形面积之12ATn121ATNnn1211ATNAAnnnn11941633nnA)(11941633nnnAA)(1133422312941633941633941633941633nnnAAAAAAAA)()()(94194194163311)(nnAA194203

9、3532nnA)(,)()(13435nnL由由;lim不不存存在在也也随随之之无无限限增增大大，无无限限增增大大时时，当当nnnLLn)(limlim1942033532nnnnA532.lim)(;lim)()()()()(nnnnnnSannnna212006312200511112005求：求：已知：已知例例)(limlim)(20053121nnnna解：解：.0200620052006112006120051312121122005)()()()(S)(limlimnnnnSaaSS2007200620053113220062005.20061.limlim),(,*nnnnnnn

10、aaNnaaaa存存在在，求求如如果果满满足足：若若数数列列例例66211,limlimxaannnn1解：设解：设6611nnnnnnaaaalimlim由由61nnnnaalimlim6xx即：即：062xx舍）舍）或或(23xx)()(lim)(,*nnnnnnaaaNnaaaa2111156513则则中，中，：数列：数列例例.254.41.72.52.DCBA )()()()(lim 1)(65432121naaaaaaaaan法法解解：2511256 .41 )()(lim)(,*nnnnnnaaaNnaaaa2111156513则则中，中，：数列：数列例例655556 21111

11、nnnnnnnaaaa）（法（法65,51 nnnnnbbab则则令令)1(511 nnbb 115)1(1 nnbb01 nb.51nna .4151151)(lim21 nnaaa故故例例4：如图：如图,P1是一块半径为是一块半径为1的半圆形纸板的半圆形纸板,在在P1的的左下端剪去一个半径为左下端剪去一个半径为 的半圆得到图形的半圆得到图形P2,然后依然后依次剪去一个更小的半圆次剪去一个更小的半圆(其直径是前一个被剪掉半圆其直径是前一个被剪掉半圆的半径的半径)可得图形可得图形P3,P4,Pn,记纸板记纸板Pn的面积为的面积为Sn,则则21._lim nnSP1P2P3解解:设图形设图形Pn

12、被剪掉半圆的半径为被剪掉半圆的半径为rn,则则,21,2111 nnrrr且且P1P2P3,21,2111 nnrrr且且解解:设图形设图形Pn被剪掉半圆的半径为被剪掉半圆的半径为rn,则则,21nnr 是是等等比比数数列列，即即被被剪剪掉掉的的半半圆圆面面积积nnnAA,212 34114limA nnA之之和和为为：所所有有被被剪剪掉掉的的半半圆圆面面积积.6321 S纸纸板板的的剩剩余余面面积积.,lim)(,的取值范围的取值范围求求若若且且项和为项和为的前的前：已知数列：已知数列例例kSkkaSSnannnnnn1115,1111111kakaan 时，时，解：解：)1()1(211

13、nnnnnkakaSSan时，时，为常数，为常数，11 kkaann.1111 nnkkka.1111111nnnnkkkkkkkaS 代入代入.21111lim kkkSnn.,)lim(,),的的值值求求且且若若的的两两根根（是是方方程程的的相相邻邻两两项项：设设数数列列例例bcccabbxcxaaannnnnnn51006221121,111111bbbaaaaaabaannnnnnnnnnn 解：解：.,264212531的的等等比比数数列列均均是是公公比比为为和和baaaaaaaann,1,21122121nnnnbababaabaa )()()()(lim)(lim12243322

14、1221 nnnnnaaaaaaaaccc)()(lim124322321 nnnaaaaaaaa)11()111(322bababab 5131 bb21 b.,)(,)()(;,)()()(,)()(,)(,)(,)()(),()()(),(,*请请说说出出理理由由的的最最小小值值；若若不不存存在在，并并求求出出的的集集合合，求求出出恒恒成成立立？若若存存在在，分分别别不不等等式式，使使得得对对任任意意正正整整数数是是否否存存在在整整数数设设项项和和的的前前求求数数列列设设的的通通项项公公式式；（求求数数列列满满足足函函数数：设设对对于于任任意意实实数数例例mMMmMnFmnMmnSnFS

15、ncnfngcNnngnfgfyxgyxgxfxfxgxfyxnnnn332211353023117),(31)1()1(nfnfnx ，则，则取取解：解：,2)()1(,1,ngngynx则则取取 .31)(1,31)(1 nnfnf的等比数列，的等比数列，首项为首项为是公比为是公比为,1)0(31)1(,0 ffx则则取取 的等差数列，的等差数列，是公差为是公差为2)(ng.32)(,2)5()5()(,13)5(nngngngg即即又又,331)(2)2(1 nnnnfngc由错位相减法得由错位相减法得:.314323491 nnnnS.,)(,3)()3(请请说说出出理理由由的的最最小

16、小值值；若若不不存存在在，并并求求出出的的集集合合，求求出出恒恒成成立立？若若存存在在，分分别别不不等等式式，使使得得对对任任意意正正整整数数是是否否存存在在整整数数设设mMMmMnFmnMmnSnFn 131432493)(nnnnSnF,031)1(3145231432)()1(1 nnnnnnnFnF为增函数，为增函数，)(nF ,1)1()(min FnF.49)(lim49)(nFnFn且且又又.49)(1 nF恒成立，恒成立，时，时，且且当当MnFmMm )(491 .3;3,0min mMZMMMZmmm且且且且na113a m nmnaaa12lim()nnaaa122332(

17、2006年湖南卷）数列满足:,且对于则A.B.C.D.2任意的正整数m,n都有A（2006年辽宁卷）2222464646()().()575757lim545454()().()656565nnnnn 2222464646()().()575757lim545454()().()656565nnnnn)545454()656565()767676()545454(lim2222nnnnn 41611()1()55771111511()()1()57577limlimlim151411151()1()()()()16655656111165nnnnnnnnnnnnn .,)(lim,),(,qd

18、SnABBBSBnqqbAndannnnnnnnn和和求求若若记记为为项和项和前前，公比为，公比为的首项为的首项为等比数列等比数列为为项和项和前前，公差为，公差为的首项为的首项为例：已知等差数列例：已知等差数列111121qqBdnnnAnnn1121,)(解：解：)(nqq111)(nnqqqnqS211)(qqqnqn11112111211)()(qqqqndnSnAnnn21121121)()()(qqqdqdnn2120112)(qqdqd.214qd（2006年广东卷）在德国不莱梅举行的第年广东卷）在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干

19、准某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥正三棱锥”形的展品，形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第第2、3、4、堆最底层（第一层）分别按图堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第第n堆第堆第n层就放一个乒乓球，以层就放一个乒乓球，以)(nf)3(f)(nf表示第n堆的乒乓球总数，则_；（答案用n表示）.6)2)(1()21()321()21(1)(nnnnnf)3(f10)10(qqna2na581（2006年广东卷）已知公比为的

20、无穷等比数列各项的和为9，无穷等比数列各项的和为na1aq()求数列的首项和公比；),3,2,1(nkk )(kTka12ka)(kT()对给定的,设是首项为 ,公差为的等差数列.求数列的前10项之和；ib)(iTinnbbbS 21nS)1(mmmnnnS lim()设bi为数列的第的第 项项,项，求，并求正整数，使得存在且不等于零.解:()依题意可知,32358119112121qaqaqa()由()知,1323nna)12(291010)(kkkaaT.45323001 kib121iiaia112iaii()=1321231 iii 2132451845 nnnSnn mnnnSlim

21、nlim 2132451845mnmmnnnnnn mnnnSlim;21 当m=2时，当m2时，;0lim mnnnS.2 m214n1nlim12n211111a4n12n12n12 2n12n1（）（）（）n12nSaaa 111 111111232 352 2n12n1（）（）（）111111123352n12n1（）11122n1（）nnn111 limSlim122n12（）数列的前n项和为Sn，则Sn解：故（2006年江西卷）ABC111,ABC111ABC222A B CABC111ABC222A B C.(0,0),(3,0),AB(2,2),C5 2(,)3 3（2006年

22、福建卷）如图，连结的各边中点得到的各边中点得到又连结的各边中点得到 ,如此无限继续如此无限继续下去下去，得到一系列三角形：，得到一系列三角形：,，这一系列三角形趋向于一个点M。已知则点M的坐标是一个新的一个新的2)(trsstrnb已知数列an的首项a10，前n项和为sn，对任意的r，tN，都有，数列a是等比数列。判断an是否为等差数列？并证明你的结论；已知b1=2,b2=5，求数列bn的通项；2)(trsstrnb已知数列已知数列an的首项的首项a10，前，前n项和为项和为sn，对任意的，对任意的r，tN，都有，都有，数列，数列a是等比数列。是等比数列。判断判断an是否为等差数列？并证明你的

23、结论；是否为等差数列？并证明你的结论；已知已知b1=2,b2=5，求数列，求数列bn的通项；的通项；若若a1=1，设，设cn=;143a43anbnn若一个数列若一个数列gn对任意对任意nN都有都有QgnP（P、Q为常数），为常数），则称则称Q为为gn的下界，的下界，P为为gn的上界。问数列的上界。问数列|cn|是否有上界或是否有上界或 下界？若有，求其上界的最小值和下界的最大值，若没有，说明理由。下界？若有，求其上界的最小值和下界的最大值，若没有，说明理由。例例:解：解：(1)令令r=n,t=1 得：得：.1221anSnSSnn时时，2n,1112anaSSannn也也适适合合，1112a

24、aa又又)(*Nnanaan112,:)(115432122anaaaaaaaann nnbbbbbaaaaa,:321成等比成等比.b1=2,b2=5，11nbqa(*)112aban;,15129321aaaaaabb,33911aaq1111233abaann式式得得：代代入入(*)(*Nnbnn213,)(12131naan时，时，.nbna3若若a1=1，设，设cn=;143a43anbnn若一个数列若一个数列gn对任意对任意nN都有都有QgnP（P、Q为常数），为常数），则称则称Q为为gn的下界，的下界，P为为gn的上界。问数列的上界。问数列|cn|是否有上界或是否有上界或 下界？

25、若有，求其上界的最小值和下界的最大值，若没有，说明理由。下界？若有，求其上界的最小值和下界的最大值，若没有，说明理由。,)(12131naan时，时，.nbna31433422nnnnc14321nn1143214322nnnnnncc04341211n 单调递增；单调递增；数列数列nc,01c不不存存在在，nnclim.，无无上上界界值值为为有有下下界界，且且下下界界的的最最大大0nc.nncc,)(min01ccn .)()()(,*是是等等差差数数列列求求证证：满满足足：若若数数列列满满足足例例：已已知知数数列列nbnbbbbnnnnbNnabNnaaaann14444121111111321)(1211nnaa解：解：nnna22211nnnbnbbb2421nnnbnbbb2221)(nnnbnS22即：即：111122222nnnnbnnSnbnSn)()(当当21212211nnnnnbnbnbnnbb)()()(即：即：211nnnbbn)(由此由此112nnnbbb减减nnnnnbbnbnbn11112)()()(.成等差成等差数列数列nb