高等数学期末复习资料 (1).doc

1、 （2018 至 2019 学年第一学期） 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总 分 得 分 一、一、 单项选择题（单项选择题（15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1、当x时，下列函数为无穷小量的是（ ） （A） x Cosxx （B） x Sinx （C） 12 1 x （D） 2函数)(xf在点 0 x处连续是函数在该点可导的（ ） （A）必要条件 （B）充分条件 x x ) 1 1 ( （C）充要条件 （D）既非充分也非必要条件 3设)(xf在),(ba内单增，则)(xf在),(ba内（ ） （A）无驻点 （B）无拐点 （C）无极值点 （D）0)( x f 4设)(xf在

2、ba，内连续，且0)()(bfaf，则至少存在一点 ），（ba使（ ）成立。 （A）0）（f （B）0）（f （C）0 ）（f （D）（）（）（）（abfafbf 5广义积分)0( a dx axp 当（ ）时收敛。 （A）1p (B)1p (C)1p (D)1p 二、填空题（二、填空题（15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1、 若当0x时， 22 11xax，则a ； 2 、 设 由 方 程 22 axy 所 确 定 的 隐 函 数)(xyy ， 则 dy ； 3、函数)0( 8 2x x xy在区间 单减； 在区间 单增； 4、若 x xexf )(在2x处取得极值，则 ； 5、若d

3、xxfdxxxfa 1 0 1 0 2 )()(，则a ； 三、计算下列极限。 （三、计算下列极限。 （12 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1、 x xx x ) 1 (lim 2、 2 0 0 ) 1( lim x dte x t x 四、求下列函数的导数（四、求下列函数的导数（12 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1、 2 4 1 x y ，求 y 2、 tty tx arctan )1ln( 2 ，求 2 2 dx yd 五、计算下列积分（五、计算下列积分（18 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1、dx x xx 2 1 arctan1 2、 dxxx 2 2 3 cosc

4、os 3、设dt t t xf x 2 1 sin )(，计算dxxxf 1 0 )( 六、讨论函数六、讨论函数 2 , 2 2 , cos 2 )( xx x x x xf的连续性，若有间断点，的连续性，若有间断点， 指出其类型。指出其类型。 （7 分） 七、证明不等式：当七、证明不等式：当0x时，时， 2 )1ln( 2 x xx （7 分） 八、求由曲线八、求由曲线 ) 1(2, 4 , 2 2 xxy x yxy 所围图形的面积。所围图形的面积。 （7 分） 九、设九、设)(xf在在 1 , 0上连续，在上连续，在) 1 , 0(内可导且内可导且0)0() 1 ( ff. 证明：至少存

5、在一点证明：至少存在一点) 1 , 0(使使 四川理工学院试题（四川理工学院试题（A） 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 （2005 至 2006 学年第一学期） 课程名称：高等数学高等数学 一、单项选择题（一、单项选择题（15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1.B 2.A 3.C 4.A 5.A 二、填空题（二、填空题（15 分，每小题分，每小题 3 分）分） 1. a=2 2.dx x y 2 dy 3. (0, 2)单减， （，）单增。 4. 2 1 5. a=2 三、计算下列极限。 （三、计算下列极限。 （12 分，每小题分，每小题 6 分分 1.解。原式= 1 1 1 1l

6、im 1 lim e xx x x x x x （6 分） 1.解。原式= 2 1 2 lim 2 1 lim 00 x x x e x x x （6 分） 四、求下列函数的导数（四、求下列函数的导数（12 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1 解。 分 分 6 4 424 2 1 4y 3 2 2 3 2 2 1 2 x x xxx 2.解。 分 分 6 4 11 2 1 2 d 3 2 1 2 1 1 1 dy 2 2 2 2 2 t t dt dx dx dtt dt d dx y t t t t dx 五、计算下列积分（五、计算下列积分（18 分，每小题分，每小题 6 分）分） 1

7、解。 原式= 分 分 6arctan 2 1 1ln 2 1 arctan 3 1 arctan 1 dx x1 1 22 222 cxxx dx x x dx x x 2.解。原式= 分 分 6 3 4 cos 3 4 3coscos2cos1cosx2 2 0 2 3 2 0 2 0 2 x xdxdxx 分 分 分显然有：解 611cos 2 1 cos 2 1 sin 2 1sin2 2 1 4 2 1 2 1 2 1 2 sin2 2 sin , 01. 3 1 0 2 2 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 1 0 2 2 2 x dxxdx x x x

8、 xdfxxfx dxxfdxxxf x x x x x xff 六、讨论函数六、讨论函数 2 , 2 2 , cos 2 )( xx x x x xf的连续性，若有间断点，指出其类型。的连续性，若有间断点，指出其类型。 （7 分） 分又： 解： 31 2 1 cos 2 lim0 2 1 2 lim0 2 0 2 0 2 f x x fxf xx 所以当 2 x时，函数连续。 当zkkkx2 2 时，0cosx，所以zkkkx2 2 是函数的间断点。 5 分 且 x x xf kxkx cos 2 limlim 22 ，所以zkkkx2 2 是函数的无穷间 断点。 7 分 七、证明不等式：当

9、七、证明不等式：当0x时，时， 2 )1ln( 2 x xx （7 分） 00 1 1 1 1 2 2 1ln 2 2 f x x x x xf x xxxf 且 分证明：设 x当0 时 x f 0，所以 xf单增。 5 分 x当0 时 xf 00 f，即： 2 )1ln( 2 x xx 证毕。证毕。 7 分分 八、求由曲线八、求由曲线 ) 1(2, 4 , 2 2 xxy x yxy 所围图形的面积。所围图形的面积。 （7 分） 解：如图所示： （略） 分 分 分所求面积 72ln221 6 12 ln2 3 4 2 2 2 8 2 3 2 2 1 2 8 2 2 2 1 x xxx dx x xdx x xA 九、设九、设)(xf在在 1 , 0上连续，在上连续，在) 1 , 0(内可导且内可导且0)0() 1 ( ff. 证明：至少存在一点证明：至少存在一点) 1 , 0(使使)()(ff （7 分）分） 证明：设 x exfxF ，显然 xF在在 1 , 0上连续，在) 1 , 0(内可导（3 分） 并且 010 FF,由罗尔定理：至少存在一点1 , 0使 0F 而 xfxfexF x ，0 x e （6 分） 0F 即：)()(ff 证毕。