二次根式的概念和性质课件-参考.ppt

1、二次根式二次根式1.1.二次根式的概念二次根式的概念 正数有正数有两个两个平方根且平方根且互为相反数互为相反数；0 0有一个平方根就是它本身有一个平方根就是它本身0 0；负数负数没有没有平方根。平方根。1、平方根的性质：、平方根的性质：1、16的平方根是的平方根是什么什么?16的算术平方根是什么？的算术平方根是什么？2、0的平方根是的平方根是什么？什么？0的算术平方根的算术平方根是什么？是什么？3、7有没有平方根？有没有算术平方根？有没有平方根？有没有算术平方根？正数和正数和0都有算术平方根；都有算术平方根；负数没有算术平方根负数没有算术平方根。试一试试一试 ：说出下列各式的意义；116,81

2、,0,0.04;49观察：观察：上面几个式子中，被开方数的特点？被开方数是非负数 2 2、表示什么？表示什么？a表示非负数a的算术平方根0:a即a(a0)表示非负数表示非负数 a 的算术平方根，的算术平方根，形如形如 a(a0)的式子叫做的式子叫做二次根式二次根式。它必须具备如下它必须具备如下特点特点：1、根根指指数数为为 2；2、被开方数必须是非负数。、被开方数必须是非负数。想想一一想想：1010 、-5 5 、3 38 8 5 5 3 3 、(-2 2)2 2 a a (a(a0 0、a a2 2+0.1+0.1 、-a a (a(a0 0是不是二次根式？是不是二次根式？1.1.二次根式的

3、概念二次根式的概念注意：注意：为了方便起见，我们把为了方便起见，我们把一个数的算术平方根一个数的算术平方根也叫做二次根式也叫做二次根式。如。如13,2 是不是是不是二次根式二次根式?1a 思考：思考：不是不是,它是它是二次根式二次根式的代数式的代数式.定义：定义：像像 ,这样表示的算术这样表示的算术平方根，且根号内含有字母的代数式叫做平方根，且根号内含有字母的代数式叫做二二次根式。次根式。25002a3b s(0).a a 形如的式子叫做二次根式2.a可以是数可以是数,也可以是式也可以是式.3.形式上含有二次根号形式上含有二次根号4.a0,0 a5.既可表示开方运算既可表示开方运算,也可表示运

4、算的结果也可表示运算的结果.1.表示表示a的算术平方根的算术平方根(双重非负性双重非负性)例例1:判断判断，下列各式中那些是二次根式？下列各式中那些是二次根式？,10a,a,2a,04.0,5.83,04.0,2a,a定义：式子定义：式子 叫做二次根式叫做二次根式.)0(aa不要忽略不要忽略其中a叫做被开方式被开方式。求下列二次根式中字母的取值范围：求下列二次根式中字母的取值范围：11a a2112 233a求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数被开方数零；零；分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。练习：练习：x取何值

5、时取何值时,下列二次根式有意义下列二次根式有意义?xx3)2(1)1(1x0 x为全体实数x0 xxx1)4(4)3(23)5(x0 x21)6(x0 x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数大于等于零被开方数大于等于零；分母中有字母时，要保证分母不为零分母中有字母时，要保证分母不为零。12a 1(7)1 2a3(8)|4xx正数正数0没有没有x2x2 3x125x 1xx303xx得：由25052xx得：由01001xxxx且得：由题型题型:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.1 1.当当 _时，时，

6、有意义。有意义。xx3 3.3.求下列二次根式中字母的取值范围求下列二次根式中字母的取值范围x x3 31 15 5x x解得解得 -5x-5x3 3解：解：0 0 x x-3 30 05 5x x说明：二次根式被开方数说明：二次根式被开方数不小于不小于0，所以求二次根，所以求二次根式中字母的取值范围常转式中字母的取值范围常转化为不等式（组）化为不等式（组）334aa44a有意义的条件是有意义的条件是 .2.+2(3)_1x 2(1)_x2(2)2xx2(7)17xx 31x2x7x求二次根式中字母的取值范围的基本依据：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：被开方数不小于零；被开方数不小于零；

7、分母中有字母时，要保证分母不为零。分母中有字母时，要保证分母不为零。小结一下小结一下?做一做做一做:要使下列各式有意义，字母的取值必要使下列各式有意义，字母的取值必 须满足什么条件？须满足什么条件？1、x+3 2、2-5x 3、1 x 4、a2+1 5、x-3+4-x 6、x-1x-2 非负数的算术平方根仍然是非负数。非负数的算术平方根仍然是非负数。性质性质 1：a 0(a0)（双重非负性）（双重非负性）引引例例：|a-1|+(b+2)2=0,则则 a=b=解：解：a+2 0、|3b-9|0、(4-c)20，又又 a+2+|3b-9|+(4-c)2=0,a+2=0,3b-9=0,4-c=0。a

8、=-2,b=3,c=4。2a-b+c=2(-2)-3+4=-3。二次根式的双重非负性解析二次根式的双重非负性解析经常作为隐含条件，是解题的关键经常作为隐含条件，是解题的关键例已知，求例已知，求xy的值的值130 xy-+=解：解：，1x-3y+130 xy-+=，1x-3y+x，yxy初中阶段的三个非负数：初中阶段的三个非负数：a|a2a(a)200,0|00,0|00,0.abababababab+=+=+=题型题型:二次根式的非负性的应用二次根式的非负性的应用.1.1.已知：已知：+=0,+=0,求求 x-yx-y 的值的值.yx24x2.2.已知已知x,yx,y为实数为实数,且且 +3(

9、y-2)+3(y-2)2 2=0,=0,则则x-yx-y的值为的值为()A.3 B.-3 C.1 D.-1 A.3 B.-3 C.1 D.-11x解：由题意，得解：由题意，得 x-4=0 x-4=0 且且 2x+y=02x+y=0解得解得 x=4,y=-8x=4,y=-8x-yx-y=4-(-8)=4+8=12=4-(-8)=4+8=12D D注意：注意：几个非负数的和为几个非负数的和为0 0，则每一个非负数必为，则每一个非负数必为0 0。练习练习.已知，求已知，求x、y的值的值.223yxx=-+-+x=2，y=3a4.已知已知 ，求，求a的值的值.4|3|aaa 4343aaaa，即 a-

10、4=9，则，则 a=13.,12的值求自然数为一个整数nnn12n=3，8，11，12计算:)0(,2aaa 想一想想一想 等于什么等于什么?请举例验证请举例验证.02aa=23225204.0=3520.04性质：性质：把下列各数写成平方的形式：3=，232522504.0204.024利用这个式子，我们可以把任何一个非负数非负数写成一个数的平方的形式。如 4=。根据等式的定义，可得 。)0(,2aaa)0(,2aaa我们已经得到:aa面积面积a5271232-32()(0)aaa 2)72(2)312(2)5(2)32(算一算：算一算：02=；22=；（-2）2=；32=；（-3）2=。想

11、一想：想一想：a2 等于什么呢？等于什么呢？性质性质 3：当当 a0 时，时，a2=；当当 a0 时，时，a2=。也就是说：也就是说：a2=。a-a|a|02233算算一一算算：(1)（-9）2 (2)(1 3)2 (3)64 (4)(x2+1)2 试一试试一试1.计算下列各题计算下列各题:215(1)(2)2512.若若 ,则则x的取值范围为的取值范围为 ()xx1)1(2A.x1 B.x1 C.0 x1 D.一切有理数一切有理数3.与与 是一样的吗？是一样的吗？你的理由是什么，请小组讨论一下。你的理由是什么，请小组讨论一下。2a a（）23、二次根式具有哪些性质？、二次根式具有哪些性质？1

12、、什么叫做二次根式？、什么叫做二次根式？形如形如 a(a0)的式子叫做二次根式。的式子叫做二次根式。2、二次根式有哪两个形式上的特点？、二次根式有哪两个形式上的特点？（1）根指数为根指数为 2；（2）被开方数必须是非负数。被开方数必须是非负数。课堂小结课堂小结性性质质 1：a 0(a0)（双双重重非非负负性性）性质性质 2：(a)2=a(a0)性质性质 3：当当 a0 时，时，a2=a ；当当 a0 时，时，a2=-a 。也就是说：也就是说：a2=|a|。2aa (0)aa (0)a a 例例2 计算：计算：22)15()10()1()22()2(2)2(2例例3 计算：计算：|3254|)3253(22 (0)()aaa aa 2)0(aa)0(aa你的理由是什么？一样吗？）与（22aa补充：补充：分别说出下列各式成立分别说出下列各式成立的的a a的取值范围：的取值范围：2(1)()aa2(2)()aa 2(3)(2)2aax0,4x0,例例5 5:已知已知:x0)(a=0)(a 0)a题型：利用)0()(2aaa进行分解因式例：分解因式：2)1(2x2232)2(yx22)2(22xxxyxyxyx3232)3()2(221532x2242ba