1、 16 不等式(组)阅读与思考 客观世界与实际生活既存在许多相等关系,又包含大量的不等关系,方程(组)是研究相等关系的重要手段,不等式(组)是探求不等关系的基本工具,方程与不等式既有相似点,又有不同之处,主要体现在: 1. 解一元一次不等式与解一元一次方程类似,但解题时要注意两者之间的重要区别;等式两边都乘(或除)以同一个数时,只要考虑这个数是否为零,而不等式两边都乘以(或除以)同一个数时,不但要考虑这个数是否为零,而且还要考虑这个数的正负性. 2. 解不等式组与解方程组的主要区别是:解方程组时,我们可以对几个方程进行“代入”或“加减”式的加工,但在解不等组时,我们只能对某个不等式进行变形,分
2、别求出每个不等式的解集,然后再求公共部分.通俗地说,解方程组时,可以“统一思想”,而解不等式组时只能“分而治之”.例题与求解【例1】已知关于的不等式组恰好有5个整数解,则t的取值范围是( ) A、 B、 C、 D、(2013 年全国初中数学竞赛广东省试题)解题思路:把的解集用含t的式子表示,根据题意,结合数轴分析t的取值范围.【例2】如果关于的不等式那么关于的不等式的解集为 .(黑龙江省哈尔滨市竞赛试题)解题思路:从已知条件出发,解关于的不等式,求出m,n的值或m,n的关系.【例3】已知方程组若方程组有非负整数解,求正整数m的值. (天津市竞赛试题)解题思路:解关于,y的方程组,建立关于m的不
3、等式组,求出m的取值范围.【例4】已知三个非负数a,b,c满足3a2bc5和2ab3c1,若m3ab7c,求m的最大值和最小值. (江苏省竞赛试题)解题思路:本例综合了方程组、不等式(组)的知识,解题的关键是用含一个字母的代数式表示m,通过解不等式组,确定这个字母的取值范围,在约束条件下,求m的最大值与最小值.【例6】设是自然数,求的最大值. (“希望杯”邀请赛试题)解题思路:代入消元,利用不等式和取整的作用,寻找解题突破口.【例6】已知实数a,b满足且a2b有最大值,求8a2003b的值.解题思路:解法一:已知ab的范围,需知b的范围,即可知a2b的最大值得情形. 解法二:设a2bm(ab)
4、n(ab)(mn)a(mn)b能力训练A级1、 已知关于x的不等式那么m的值是 (“希望杯”邀请赛试题)2、不等式组 的解集是,那么ab的值为 (湖北省武汉市竞赛试题)3、 若ab0,ab0,ab,则的大小关系用不等式表示为 (湖北省武汉市竞赛试题)4、若方程组的解x,y都是正数,则m的取值范围 是 (河南省中考试题)5、 关于x的不等式的解集为,则a应满足( ) A、a1 B、a1 C、 D、(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)6、 适合不等式的x的取值的范围是( )7、 已知不等式的解集那么m等于( ) A、 B、 C、3 D、38、 已知,下面给出4个结论:;,其中,一定成立的结论有(
5、 ) A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 (江苏省竞赛试题)9、当k为何整数值时,方程组 有正整数解?(天津市竞赛试题)10、如果是关于x,y的方程的解,求不等式组的解集11、已知关于x的不等式组的整数解有且仅有4个:1,0,1,2那么,适合这个不等式组的所有可能的整数对(a,b)共有多少个?(江苏省竞赛试题)B级1、 如果关于x的不等式的正整数解为1,2,3那么的取值范围是 (北京市”迎春杯“竞赛试题)2、 若不等式组有解, 则的取值范围是_.(海南省竞赛试题)3、已知不等式只有三个正整数解,那么这时正数a的取值范围为 .(”希望杯“邀请赛试题)4、 已知则的取值范围为 .(“新知杯”上
6、海市竞赛试题)5、若正数a,b,c满足不等式组 ,则a,b,c的大小关系是( ) A、abc B、 bca C、cab D、不确定(“祖冲之杯”邀请赛试题)6、 一共( )个整数x适合不等式 A、10000 B、20000 C、9999 D、80000(五羊杯“竞赛试题)7、 已知m,n是整数,3m25n3,且3m230,5n340,则mn的值是( ) A、70 B、72 C、77 D、848、 不等式的解集为( )A、 B、 C、 D、(山东省竞赛试题)9、 的最大值和最小值.(北京市”迎春杯”竞赛试题)10、 已知x,y,z是三个非负有理数,且满足3x2yz5,xyz2,若s2xyz,求s
7、的取值范围.(天津市竞赛试题)11、 求满足下列条件的最小正整数n,对于n存在正整数k使成立.12、 已知正整数a,b,c满足abc,且,试求a,b,c的值.专题16 不等式(组)例1 C 提示:解不等式组得,则5个整数解为x19,18,17,16,15.结合数轴分析,应满足1432t15,故6t.例2 提示:,.例3 或 提示:解方程组得,由得1m0例4 提示:由已知条件得 ,解得,m=3c2.由得,解得,故m的最大值为,最小值为例5先用x1和x2表示x3,x 4,x7,得,因此x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7= 2 010.于是得.因为x2是自然数,所以是整数,所以x1是10的奇数
8、倍.又因为x1x2,故有三组解:x1=10,x2=94,或x1=30,x2=81,或x1=50,x2=68.因此x1+x2的最大值为50+68=118,所以x1+x2 +x3的最大值为2(x1+x2)=2118=236.例6解法一 :0ab1,1a+b4 ,由知4ab1,+得42b0,即2b0,+得2a2b1要使a2b最大,只有ab=1且b=0. a=1 且b=0,此时8a+2003b=8.解法二 :设a2b=m(a+b)+n(ab)=(m+n)a+ (mn)b,知,解得.而,a2b=+2a2b1当a2b 最大时,a +b=1,ab=1b=0,a=1,此时8a+2003b=8.A 级1.2.1
9、1.1提示:原不等式组变形为由解集是0x2知,解得故a+b=2+(1)=13.abba 4.m75.B提示:由ax+3a3+x,得(a1)(x+3)0,.由不等式的解集为x3知x+30,所以a10,得a1.6.C 7.B 8.C 9.k=2或3.10.提示:由非负数性质求得a=2,b=5,原不等式组的解集为x3.11.原不等式组等价于,因为该不等式组的整数解一1,0,1,2不是对称地出现,所以其解不可能是必有,由整数解的情况可知,得a=5,4,3;b=5,6.故整数对(a,b)共有23=6对.B 级1. 提示:由题意可知:.由正整数解为1,2,3知,解得2.a1 提示:原不等式组变形为由不等式
10、组有解知a1,故a13. 9a12 4.5. B 提示:原不等式组变形为,.6. C示:若x2000,则(x2000)+x9999,即2000x5999, 共有4 000个整数;若0x2000,则(x2000)+x9999.20009999,恒成立,又有2000个整数适合若x0,则2000x+(x) 9999即3999.5x0,共有3999个整数适合,故一共有4000+2 000+3999 = 9 999个整数适合.7. D 8.C 提示:由原不等式得x2(x+5)29.提示:解不等式,得,原式=,从而知最大值为4,最小值为10.提示:s=x+2,2s311.提示:由,得,即.又n与k是都是正整数,显然n8,当n取9,10,11,12,13,14时,k都取不到整数.当n=15时,即 此时是k=13故满足条件的最小正整数n=15,k=13.12.由得,故,即,又因为,故a=2,从而有,又,则,即b4,又ba=2,得b=3,从而得c=6,故a=2,b=3,c=6即为所求.
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