1、高等数学机动 目录 上页 下页 返回 结束 微分中值定理的核心是微分中值定理的核心是拉格朗日拉格朗日(Lagrange)Lagrange)中值定理中值定理,费马定理费马定理是它的预备定理是它的预备定理,罗尔定理罗尔定理是它的特例是它的特例,柯西定理柯西定理是它的推广。是它的推广。,)(0有定义在x且)(0 xf 存在,)()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证:设0000(),()(),=x xxxf xxf x则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 费马 目录 上页 下页 返回 结束 一一.预备定理
2、预备定理费马费马(Fermat)Fermat)定理定理)(xfy 满足满足:(1)在区间在区间 a,b 上连续上连续(2)在区间在区间(a,b)内可导内可导(3)f(a)=f(b),使使.0)(f在在(a,b)内至少存在一点内至少存在一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 xO yaABbyf(x)几何解释几何解释:如果连续光滑的曲线如果连续光滑的曲线 y f(x)在端点在端点 A、B 处的处的纵坐标相等。那么，在纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点曲线弧上至少有一点 C(,f()，曲线在曲线在 C点点的切线平行于的切线平行于 x 轴。轴。二二.罗尔罗尔(Rolle(Rolle)定理定理C机
3、动 目录 上页 下页 返回 结束 证明：证明：f(x)在区间在区间 a,b 上连续上连续,必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m(2)2)上述函数中，求满足罗尔定理条件的上述函数中，求满足罗尔定理条件的机动 目录 上页 下页 返回 结束 21.().().()1A f xB f xxC f xxx 2.().()1Df xx cf xx 例例1 1:(1)(1)下面函数中，在下面函数中，在-1,1-1,1上满足罗尔定理条件的上满足罗尔定理条件的是是注意注意:1)定理条件不全具备定理条件不全具备,结论不一定成立结论不一定成立.例如：例如：1,010,)(xxxxfx1yo 1,1)(xxxf
4、1,0)(xxxfx1yo1x1yo机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)定理条件非必要，只是充分的定理条件非必要，只是充分的.(a)(a)闭区间内连续闭区间内连续.(b)开区间内可导开区间内可导.(c)端点处函数值相等端点处函数值相等.8例例2 2:不求导数，判断函数不求导数，判断函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的导数有几的导数有几个零点，以及其所在范围。个零点，以及其所在范围。解：解：因为因为f(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在在1,2,2,3上满足罗尔定理上满足罗尔定理的三个条件，的三个条件，所以在所以在(1,2)内至少存在一点内至少存在一点 x1,使使 f (x1
5、)=0,x1是是 f (x)的一个零点。的一个零点。同理，在同理，在(2,3)内至少存在一点内至少存在一点x2,使使f (x2)=0,x2也是也是 f (x)的一个零点。的一个零点。f (x)是二次多项式是二次多项式,只能有两个零点只能有两个零点,分别在区间分别在区间(1,2)及及(2,3)内。内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.填空题填空题设有个根,它们分别在区间30)(xf)4,3(,)2,1(,)3,2(机动 目录 上页 下页 返回 结束 上.,)4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程()sinf
6、xInx5(,)6 6机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.验证罗尔定理对函数验证罗尔定理对函数 在区间在区间 上的正上的正确性。确性。0155 xx,15)(5xxxf.3)1(,1)0(ff,0)(0 xf有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根.证证:1)存在性存在性.则则)(xf在在 0,1 连续连续,且且由零点定理知存在由零点定理知存在,)1,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x设设机动 目录 上页 下页 返回 结束 0155 xx,)1,0(011xxx)1(5)(4xxf),1,0(,0 x有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实
7、根正实根.2)唯一性唯一性.假设另有假设另有,0)(1xf使在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点至少存在一点,.0)(f使但但矛盾矛盾,故假设不真故假设不真!机动 目录 上页 下页 返回 结束,0)(Cxf且在且在),0(内可导内可导,证明至少存证明至少存在一点在一点,),0(使使.cot)()(ff提示提示:由结论可知由结论可知,只需证只需证0cos)(sin)(ff即即0sin)(xxxf验证验证)(xF在在,0上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设xxfxFsin)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 谢谢！
