第章静电场和恒定电场课件.ppt

1、第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 第二章第二章 静电场和恒定电场静电场和恒定电场 静静 电电 场：相对观察者静止的电荷所产生的场场：相对观察者静止的电荷所产生的场(Electrostatics)。主要内容：主要内容：第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 主要知识点：主要知识点：一、静电场一、静电场D电场强度电场强度电通密度电通密度E真空中的场方程真空中的场方程介质中的场方程介质中的场方程有界空间有界空间边边界界条条件件介质极化介质极化二、恒定电场二、恒定电场J电场强度电场强度电流密度电流密度E场方程场方程有界空间有界空间边界条件边界条件应用：导体的电容应用：导体

2、的电容应用：接地电阻、电动势应用：接地电阻、电动势第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.1 电场强度与电位函数电场强度与电位函数 2.2 真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程*2.3 电介质的极化及介质中的场方程电介质的极化及介质中的场方程*2.4 导体的电容导体的电容 2.5 静电场的边界条件静电场的边界条件*2.6 恒定电场恒定电场*第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.1 电场强度与电位函数电场强度与电位函数 本节要点：本节要点：库仑定律库仑定律 电场强度电场强度*l点电荷的电场点电荷的电场l分布电荷的电场分布电荷的电场电位函数电位函数l电场与

3、电位的关系电场与电位的关系l分布电荷的电位分布电荷的电位电偶极子的电位与电场电偶极子的电位与电场第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.1.1 库仑定律库仑定律（Couloms Law）)112()(443021202112NRRqqaRqqFR1q2qR12F图 2 1 两个点电荷的相互作用 库仑定律静电现象的基本库仑定律静电现象的基本实验定律实验定律，表明两个点电荷相互，表明两个点电荷相互作用力的大小和方向。但未表明这种作用力是如何传递的。作用力的大小和方向。但未表明这种作用力是如何传递的。实验表明，任何电荷都在自己周围空间产生电场，而电场实验表明，任何电荷都在自己周围空间

4、产生电场，而电场对处于其中的任何电荷都产生作用力，称电场力。对处于其中的任何电荷都产生作用力，称电场力。电荷间的相电荷间的相互作用就是通过电场来传递的。互作用就是通过电场来传递的。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.1.2 电场强度电场强度（Electric Field Intensity)1.点电荷的电场强度点电荷的电场强度图 2 2 场点与源点 rrRrr源点),(zyxSxzy0场点),(zyxPqtq为点电荷q为试验电荷tq)212(4lim300RRqqFEtqt为使引入的试验电荷不致影响源电荷的状态为使引入的试验电荷不致影响源电荷的状态。0tq)312(4130

5、21 iniiinRRqEEEE第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.分布电荷的电场强度分布电荷的电场强度 对于实际的带电体，一般看成是分布在一定区域内，称对于实际的带电体，一般看成是分布在一定区域内，称为为 分布电荷分布电荷。用。用电荷密度电荷密度来定量描述电荷的空间分布情况。来定量描述电荷的空间分布情况。线电荷密度：线电荷密度：C/m 面电荷密度：面电荷密度：C/m2 体电荷密度：体电荷密度：C/m3dVdqVqV0limdSdqSqss0limdldqlqll0lim第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 )712()(41)(30dVRRrrEV)912(

6、)(41)()812()(41)(3030dlRRrrEdSRRrrEllSSrrRdVV)(rP0图2-3 体电荷产生的场30304)(4dVRRrRRdqEdV第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 若正试验电荷若正试验电荷qt从从P点移到点移到Q点的过程中电场力点的过程中电场力做功为做功为W，则，则P点处的电位为点处的电位为2.1.3 电位函数电位函数 1.电位的定义电位的定义 在静电场中，在静电场中，某点某点P处的电位定义处的电位定义为把单位正电为把单位正电荷从荷从P点移到参考点点移到参考点Q的过程中电场力所做的功。的过程中电场力所做的功。)1112(lim0tqqWt第二

7、章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.电位的计算电位的计算 若若电荷未延伸到无穷远，且选无穷远处为电位参电荷未延伸到无穷远，且选无穷远处为电位参考点考点，则任意，则任意P点的电位为点的电位为 1）点电荷的电位）点电荷的电位)1212(PldE)1312(140Rq注：当源延注：当源延伸到无穷远伸到无穷远时，就需重时，就需重新选择参考新选择参考点，以表达点，以表达式简洁、有式简洁、有意义为原则。意义为原则。QPldE第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 3.电位与电场强度的关系：电位与电场强度的关系：)1612(E)1412(1)1)()1(32RRRaRzayaxa

8、RRzyx)1512()14()1(440030RqRqRRqE所以点电荷的电场强度可写成所以点电荷的电场强度可写成和（和（2-1-13）式比较，则有）式比较，则有第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 4.体分布电荷产生的电位体分布电荷产生的电位 体电荷分布的产生的体电荷分布的产生的 电场强度可写成电场强度可写成)(41()1()(41)(41)(0030dVRrdVRrdVRRrrEvvvvvv积分(带撇)与微分(不带撇)符号互换)1712()(410dVRrvv第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 面分布电荷和线分布电荷产生的电位面分布电荷和线分布电荷产生的电位

9、同理可得同理可得)1812()(410dSRrss)1912()(410dlRrll 电位是标量函数，由于标量运算比矢量简单，所以在已知电位是标量函数，由于标量运算比矢量简单，所以在已知电荷分布时，可先求电位，然后通过梯度运算求电场强度。电荷分布时，可先求电位，然后通过梯度运算求电场强度。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 1.电偶极子电偶极子 指由间距很小的两个等量异号点电荷组成的系统。指由间距很小的两个等量异号点电荷组成的系统。2.电偶极距电偶极距 用电偶极距表示电偶极子的大小和空间取向，即用电偶极距表示电偶极子的大小和空间取向，即 电偶极距是一个矢量，其方向是由负电荷指向

10、正电荷。电偶极距是一个矢量，其方向是由负电荷指向正电荷。真空中电偶极子的电场和电位可用来分析电介质的极真空中电偶极子的电场和电位可用来分析电介质的极化问题。化问题。2.1.4 电偶极子电偶极子)352(dqpdqq电偶极子电偶极子 第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 3.电偶极子的电位电偶极子的电位 取电偶极子的轴与取电偶极子的轴与z轴重合，电偶极子的中心轴重合，电偶极子的中心在坐标原点，则电偶极子在空间任意点在坐标原点，则电偶极子在空间任意点P的电位为的电位为 210114rrq 其中，其中，r1和和r2分别表示场点分别表示场点P与与q和和-q的距离，的距离，r表示坐标表示坐

11、标原点到原点到P点的距离。点的距离。图图28 电偶极子的场电偶极子的场 Pxyzd第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 当当 （远场）时，（远场）时，r1,r2,r三者近乎平行，因三者近乎平行，因此此r1-r2d cos，r1r2r2，将其代入上式得电偶极子，将其代入上式得电偶极子的电位表达式为的电位表达式为 rd)2212(444cos203020raprrprqdr 4.电偶极子的电场强度电偶极子的电场强度 其电场强度在球坐标中的表示式为其电场强度在球坐标中的表示式为)2312()sincos2(430aarpEr第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 图图 2-

12、6 电偶极子的电场分布电偶极子的电场分布 结论：结论：1.电偶极子的电位随距离电偶极子的电位随距离的平方反比变化；电场按距的平方反比变化；电场按距离的三次方反比变化。离的三次方反比变化。2.随着离电荷越远，电偶随着离电荷越远，电偶极子比单个电荷的电场衰减极子比单个电荷的电场衰减更快这是因为远处正负更快这是因为远处正负电荷的电场互相抵消的缘故。电荷的电场互相抵消的缘故。3.电偶极子的电场和电位电偶极子的电场和电位具有轴对称性。具有轴对称性。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.2.1 电通电通(量量)和电通和电通(量量)密度密度 1.力线：试验电荷在电场中的自由移动路线，力线：

13、试验电荷在电场中的自由移动路线，也叫通量线。也叫通量线。2.电通量电通量：规定一个电荷产生的规定一个电荷产生的力线条数就等于用库仑力线条数就等于用库仑表示的电荷的大小，故表示的电荷的大小，故场线表示场线表示电通量电通量。EEEEEEEEtqtqtqtqtqtqtqtq第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 电通量具有如下特性：电通量具有如下特性：（1）与媒体无关；）与媒体无关；（2）大小仅与发出通量的电荷有关；）大小仅与发出通量的电荷有关；（3）如果点电荷被包围在半径为）如果点电荷被包围在半径为R的假想的假想球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面；球内，则电通量必将垂直并均匀穿过球面

14、；（4）单位面积上的电通量，即电通密度反）单位面积上的电通量，即电通密度反比于比于R2。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 3.电通密度：电通密度：除了第一条外，电通量的性质与电场强度的性除了第一条外，电通量的性质与电场强度的性质相同。引入电通密度的概念。质相同。引入电通密度的概念。)122(0ED也称电位移矢量也称电位移矢量第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 点电荷在半径点电荷在半径R处的电通密度和电通量为：处的电通密度和电通量为：)222)(/(/422平方米库仑mCRqaDR)322(SSdDSdD和方向相同时，穿过曲面方向相同时，穿过曲面S的电通量最大。

15、的电通量最大。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 真空中静电场的基本方程真空中静电场的基本方程 研究矢量场研究矢量场积分角度积分角度通量和环量通量和环量微分角度微分角度散度和旋度散度和旋度积分方程积分方程微分方程微分方程基本方程基本方程 第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.2.2 高斯定理高斯定理)422(442SSSRdqdSRnaqSdD 1.积分式：积分式：设无限大真空中设无限大真空中O点有一点电荷，以任意曲面点有一点电荷，以任意曲面 包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为：包围该点电荷，则穿出这个封闭曲面的电通量为：S立体角 任何封闭曲面对曲面内

16、一点所张的立体角都是任何封闭曲面对曲面内一点所张的立体角都是4。故通过曲面。故通过曲面S的总电通量为：的总电通量为：)522(SqSdD第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 高斯定理积分式高斯定理积分式)622(QdVSdDSVV 如果电荷总量为如果电荷总量为Q，并且以体密度，并且以体密度V V分布在闭分布在闭合面包围的体积内，则合面包围的体积内，则 意义：从封闭面发出的总电通量在数值上等意义：从封闭面发出的总电通量在数值上等于包含在该封闭面内的净正电荷。于包含在该封闭面内的净正电荷。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 )722(VD高斯定理微分式高斯定理微分式2

17、.微分式：微分式：根据散度定理根据散度定理dVDSdDSV 物理意义：空间任意存在正电荷密度的点都发物理意义：空间任意存在正电荷密度的点都发出电通量线，如果电荷密度是负值，电通量线指向出电通量线，如果电荷密度是负值，电通量线指向电荷所在点。电荷所在点。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 3.高斯定理的应用高斯定理的应用 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能得到解析解。对称性的场才能得到解析解。积分式可以用来积分式可以用来计算平面对称、轴对称及球计算平面对称、轴对称及球对称的静电场问题对称的静电场问题。解题的关键是能够将。解题

18、的关键是能够将 从积从积分中提出来，这就要求找一个合适的封闭面分中提出来，这就要求找一个合适的封闭面(高斯高斯面面)S。在高斯面上，电通密度恒定。在高斯面上，电通密度恒定。微分式用来微分式用来从电场分布计算电荷分布从电场分布计算电荷分布。D第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 【例【例2-3】用高斯定理求无限长线电荷】用高斯定理求无限长线电荷 在任意在任意点点P点产生的电场强度。点产生的电场强度。分析：分析：1）线电荷的场呈轴对称分布，故这选用）线电荷的场呈轴对称分布，故这选用圆柱坐标系。圆柱坐标系。2）选择合适的高斯面，使其上）选择合适的高斯面，使其上 为恒定值，为恒定值，可从

19、积分式可从积分式 提出。提出。DSSdDl第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 解：以线电荷为轴，构造一个经过解：以线电荷为轴，构造一个经过P点、半径点、半径为为 的圆柱面（如图）的圆柱面（如图）,作为高斯面。由于线电荷作为高斯面。由于线电荷无限长，电通密度只有径向分量且在同一圆柱面上无限长，电通密度只有径向分量且在同一圆柱面上为常数，应用高斯定理为常数，应用高斯定理 有有llPQSdDS22llSDllDSdD022llaEaDaD故第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 课堂练习：课堂练习：假设在半径为假设在半径为a的球体内均匀分布的球体内均匀分布着密度着密度为为

20、0的电荷，试求空间任意一点的电荷，试求空间任意一点的电场强度和电位。的电场强度和电位。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 解：球体上电荷分布是球对称的，解：球体上电荷分布是球对称的，仅有径向分量仅有径向分量Er,且具有球对称性质，作一个与带电体同心、半径为且具有球对称性质，作一个与带电体同心、半径为r的球的球面，应用高斯定理的积分式面，应用高斯定理的积分式 得得当当ra时，时，3002344arEr故故)(32030rraErESQSdE0ra高斯面高斯面第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 当当ra时，时，3002344rrEr所以所以)(300rrEr即即)(

21、32030rraaEr)(300rraErra高斯面高斯面第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 空间任一点的电位：空间任一点的电位：radrradrErrr030203033220036radrEdrEararr当当ra时，时，第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 例例2 已知半径为已知半径为a的球内、的球内、外的电场强度为外的电场强度为)(2325)(330220arararEaEarraEaErr求电荷分布。求电荷分布。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 解：由高斯定理的微分形式解：由高斯定理的微分形式 ，得得电荷密度为电荷密度为 0 EE0用球

22、坐标中的散度公式用球坐标中的散度公式 ErErrErrErsin1)(sinsin1)(122可得可得)(21502230raaEo(ra)(ra)第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.2.3 电场强度的环量电场强度的环量)1122(0ElSSSdSdEl dE0)(由斯托克斯定理由斯托克斯定理)1022(0lldElldE?电场强度沿任意闭合路径的积分称为环量，电场强度沿任意闭合路径的积分称为环量，电场强度沿任意闭合路径积分等于零。电场强度沿任意闭合路径积分等于零。电场强度是无旋场或保守场。电场强度是无旋场或保守场。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 静电场

23、的基本方程：静电场的基本方程：)1122(0 E)1022(0lldE)722(VD)622(QSdDS积分式积分式微分式微分式第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.3 电介质的极化和介质中的场方程电介质的极化和介质中的场方程物质物质导体物质导体物质绝缘物质绝缘物质电特性电特性导体导体电介质电介质处在电场中电介质？第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 本节主要从介质极化出发，主要讨论本节主要从介质极化出发，主要讨论介质中电介质中电场的特点和规律。场的特点和规律。Q极化的概念极化的概念Q极化强度矢量极化强度矢量Q束缚电荷面密度和体密度束缚电荷面密度和体密度Q本构关

24、系本构关系Q介质中的场方程介质中的场方程第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 束缚电荷：电介质内部被很强的内部约束力束缚的带电粒子。束缚电荷：电介质内部被很强的内部约束力束缚的带电粒子。电介质分子电介质分子无极分子无极分子有极分子有极分子正负电荷正负电荷的作用重的作用重心重合心重合正负电荷的作用正负电荷的作用重心不重合，形重心不重合，形成一个电偶极子成一个电偶极子对外不呈电性对外不呈电性由于分子热运动，不同电偶极子的偶极由于分子热运动，不同电偶极子的偶极距的方向不规距的方向不规 则，宏观上说，所有分则，宏观上说，所有分子的等效电偶子的等效电偶 极距的矢量和为零。极距的矢量和为零。

25、外加电场电介质分子电介质分子无极分子无极分子有极分子有极分子重心不重重心不重合产生附合产生附加电距加电距电距发生转电距发生转向，均沿外向，均沿外加电场方向加电场方向对外呈电性对外呈电性所有分子所有分子 的等效电偶的等效电偶极距的矢极距的矢 量和不为零。量和不为零。这种现象称介质极化1.极化的概念极化的概念第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 外加电场外加电场(a)(b)正负电荷中心重合正负电荷中心重合 外 加 电 场外 加 电 场(a)(b)极化电介质的等效电偶极矩极化电介质的等效电偶极矩 极化的结果是在电介质的内部和表面形成极化电荷，极化的结果是在电介质的内部和表面形成极化电荷

26、，这些极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，这些极化电荷在介质内激发出与外电场方向相反的电场，从而使介质中的电场不同于介质外的电场。即内部电场从而使介质中的电场不同于介质外的电场。即内部电场为为 小于外部电场。小于外部电场。束缚电荷内部电场EEEE 第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 )132(lim0VpPV2.极化强度（极化强度（Polarization Intensity）为描述介质为描述介质极化的状态极化的状态而引入的而引入的表征电介质的表征电介质的极化性质，单极化性质，单位体积内电距位体积内电距的矢量和的矢量和第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场

27、 在介质中在介质中r处取一个体积元处取一个体积元dV，因因|r-r|远大于远大于dV的线度，故可将的线度，故可将dV中介质当成中介质当成一偶极子，其偶极矩为一偶极子，其偶极矩为 ，它在，它在r处产生的电位由处产生的电位由式式(2-38)得得3.束缚电荷面密度和体密度束缚电荷面密度和体密度图图 2-13 极化介质的电位极化介质的电位 先求极化介质产生的电位。设先求极化介质产生的电位。设极化介质的体积为极化介质的体积为V，表面积是，表面积是S，极化强度是极化强度是 ，现在计算介质外部，现在计算介质外部任一点的电位。如图任一点的电位。如图2-13所示。所示。VPpnP第二章第二章 静静 电电 场与恒

28、定电场场与恒定电场 )432(4)1(4)(020dVRPdVRaPrdR利用利用(2-1-14)RaRRRR231131rrrrrr31rrrrrr和矢量恒等式和矢量恒等式AuAuAu)(得得,1PARu令)(410dVRPRPd第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 VSnVVdVRrPdSRarPdVRrPdVRrPr)(41)(41)(41)(410000）（?散度散度定理定理与面分布电荷产生的电位表示形式相同(见P25式2-1-18)与体分布电荷产生的电位表示形式相同(见P25式2-1-17)()(rPnrP和分别有面电荷密度和体电荷密度的量纲分别有面电荷密度和体电荷密度

29、的量纲故整个极化介质在故整个极化介质在P点所产生的电位为点所产生的电位为第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 为束缚面电荷密度为束缚体电荷密度)462()()452()()(nSbVbarPrPr 即极化介质产生的电位是即极化介质产生的电位是等效体分布电荷和面分布电等效体分布电荷和面分布电荷在真空中共同产生的荷在真空中共同产生的。束缚电荷面密度的产生是由于无。束缚电荷面密度的产生是由于无极分子电荷对的分离和有极分子电偶极距的有序排列。极分子电荷对的分离和有极分子电偶极距的有序排列。故定义：VVbSSbdVRdSRr)932(410）（第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定

30、电场 4.本构关系本构关系)332(0ExPe 实验结果表明，实验结果表明，在各向同性、线性、均匀介质中在各向同性、线性、均匀介质中 式中式中e为介质的电极化率，是一个无量纲常数，其大为介质的电极化率，是一个无量纲常数，其大小取决于电介质本身的性质。小取决于电介质本身的性质。极化强度极化强度 和电场强度和电场强度 之间的关系由介质的固有特性之间的关系由介质的固有特性决定。决定。如果如果 和和 同方向，称为各向同性介质；同方向，称为各向同性介质；如果如果 和和 成正比，称为线性介质；成正比，称为线性介质；如果媒质参数不随空间坐标（如果媒质参数不随空间坐标（x,y,z）而变化，称均匀介）而变化，称

31、均匀介质。质。EPEPEP第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 )1132(0000EEEEPEDre 如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，如果电介质中除了束缚电荷密度还有自由电荷密度，则电介质中的电场则电介质中的电场 是自由电荷和束缚电荷共同作用的结是自由电荷和束缚电荷共同作用的结果，即由果，即由(2-2-8)式得式得E00PEVVbV整理得：整理得：)1032()(0VPEVD给出了任意媒质中的电通量密度相对介电常数相对介电常数介电常数介电常数第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 5.介质中的场方程：介质中的场方程：)1122(0E)1022(0lld

32、E)722(VD)622(QSdDS积分式微分式 当增加外加电场强度到能使电子完全脱离分子的内部当增加外加电场强度到能使电子完全脱离分子的内部束缚力时，电介质将发生击穿，击穿后它将和导体一样。束缚力时，电介质将发生击穿，击穿后它将和导体一样。电介质击穿前所承受的最大电场强度称为电介质击穿前所承受的最大电场强度称为电介质强度电介质强度或绝缘强度。或绝缘强度。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 例例1 一个半径为一个半径为a的均匀极化介质球，极化强度是的均匀极化介质球，极化强度是 ，求极化电荷分布。求极化电荷分布。解：取球坐标系，让球心位于坐标原点。解：取球坐标系，让球心位于坐标原

33、点。极化电荷体密度为极化电荷体密度为 极化电荷面密度为极化电荷面密度为 cos00PaaPaPrznSbzaP0 xrezezy0)()()(0zPzPyPxPrPrzyx第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 例例 2 一个半径为一个半径为a的导体球，带电量为的导体球，带电量为Q，在导体球外套，在导体球外套有外半径为有外半径为b的同心介质球壳，的同心介质球壳，壳外是空气，如图壳外是空气，如图 2-8 所示。所示。求空间任一点的求空间任一点的 、以及束缚电荷密度。以及束缚电荷密度。图 2 -8DEP 解：解：导体球和介质的导体球和介质的结构是球对称的，要保持导结构是球对称的，要保持

34、导体球内的电场强度为零，自体球内的电场强度为零，自由电荷和束缚电荷也必须是由电荷和束缚电荷也必须是球对称的。从而球对称的。从而 、的分布也是对称的。即的分布也是对称的。即 自由电荷均匀分布在导自由电荷均匀分布在导体球面上，体球面上，在径向方向，在径向方向，DEPD第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 且在与导体球同心的任一球面（高斯面）且在与导体球同心的任一球面（高斯面）的数值相等。的数值相等。用介质中高斯定理的积分形式，取半径为用介质中高斯定理的积分形式，取半径为r并且与导体并且与导体球同心的球面为球同心的球面为高斯面高斯面，得，得当当arb时，时，则，则 rrrrrarQDD

35、EDParQDE200241)11()1(41E00DSdDS当当rb时，时，则，则rrarQDQraD22440)1(000DEDP0PP0)1(141)(412222rrrrQraQPrrrrrP第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 介质内表面介质内表面(r=a)的束缚电荷面密度：的束缚电荷面密度：241aQaPaPrrrnSb介质外表面介质外表面(r=b)的束缚电荷面密度：的束缚电荷面密度：241bQaPaPrrrnSb练习：有一内外半径分别为练习：有一内外半径分别为a和和b的空心介质球，介质的介电常的空心介质球，介质的介电常 数为数为，使介质均匀带电，其电荷体密度为，使介

36、质均匀带电，其电荷体密度为0 0，求：，求：(1)(1)空间各点的电场；空间各点的电场；(2)(2)极化电荷体密度和面密度。极化电荷体密度和面密度。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 练习：练习：有一内外半径分别为有一内外半径分别为a和和b的空心介质球，的空心介质球，介质的介电常数为介质的介电常数为，使介质均匀带电，使介质均匀带电，其电荷体密度为其电荷体密度为0 0，求：，求：(1)(1)空间各点的电场；空间各点的电场；(2)(2)极化电荷体密度和面密度。极化电荷体密度和面密度。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.4 导体的电容导体的电容(Capacitor

37、)主要内容：主要内容：F电容器的电容电容器的电容F双导体的电容双导体的电容F单导体的电容单导体的电容F多导体系统的电容多导体系统的电容第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 1.1.电容器的电容电容器的电容pffF,(法拉），单位：)142(abaUQC导体a导体b U相互接近而又相互绝相互接近而又相互绝缘的任意形状的导体缘的任意形状的导体都可构成电容器。都可构成电容器。电容：一个导体上的电荷电容：一个导体上的电荷量与此导体相对于另一导体量与此导体相对于另一导体的电位之比定义为电容，即的电位之比定义为电容，即充电第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 电容的计算思路电容

38、的计算思路：UQCdUQlEE设 工程上的实际电容：工程上的实际电容：电力电容器，电子线路用电力电容器，电子线路用的各种小电容器。的各种小电容器。电容器的电容与良导体的电容器的电容与良导体的相对位置相对位置、几何形状几何形状、尺寸尺寸及及周围空间周围空间的介质有关，而与两导体带电量的多的介质有关，而与两导体带电量的多少无关。少无关。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 例例1 1 试求球形电容器的电容。试求球形电容器的电容。解：设内导体的电荷为解：设内导体的电荷为 ,则则q,qdSSDrrarqarq2024,4EDababqbaqEdrUba004)11(4同心导体间的电压同心

39、导体间的电压abab4UqC0球形电容器的电容球形电容器的电容aC04当b时（孤立导体球的电容）（孤立导体球的电容）球形电容器球形电容器第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.2.双导体的电容双导体的电容 设平行导线间的电压设平行导线间的电压为为U U，单位长度电荷为，单位长度电荷为 。则双导线间的电场强度为则双导线间的电场强度为xyzDdl22)(22(dDxdxDxaEllxxDP双导线间的电压为双导线间的电压为2ln22lnln22222dDddDxDxdxaEUlldDdlxdDd第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 同理可得同轴线单位长度的电容为同理可得

40、同轴线单位长度的电容为 )342(ln20abCab平行双导线单位长度的电容为平行双导线单位长度的电容为)242(2ln0dDC第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 hdxy3.单导体的电容单导体的电容 设单导线单位长度上所带电荷为设单导线单位长度上所带电荷为 ，则它在空间产生的电场为则它在空间产生的电场为单导线与大地之间的电位差单导线与大地之间的电位差laEl2dhdUllhd2ln222 单位长度的单导线与大单位长度的单导线与大地间的电容为地间的电容为)442(2ln20dhC第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 4.多导体系统的电容多导体系统的电容 当有三个或

41、三个以上的导体存在时，称为当有三个或三个以上的导体存在时，称为多导体系统多导体系统。由于每两个导体间的电压要受其余导体上电荷的影响，由于每两个导体间的电压要受其余导体上电荷的影响，因此计算系统中两导体之间的电容时就必须考虑其它导体因此计算系统中两导体之间的电容时就必须考虑其它导体的存在，故必须引入新的参量的存在，故必须引入新的参量部分电容部分电容的概念。的概念。在在N个导体组成的系统中，第个导体组成的系统中，第i个导体的电位个导体的电位 不仅取不仅取决于其本身的形状、尺寸及其所带电量决于其本身的形状、尺寸及其所带电量 ，而且取决于其而且取决于其它导体的大小、形状、尺寸、相对位置、所带电荷及周围

42、它导体的大小、形状、尺寸、相对位置、所带电荷及周围空间所填充的介质。空间所填充的介质。iiq第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 1)电容系数电容系数若已知各导体的电荷，根据叠加原理，各导体上的电位为若已知各导体的电荷，根据叠加原理，各导体上的电位为 NjjijiNiq1)542(,3,2,1若已知各导体的电位，则各导体上的电荷量为若已知各导体的电位，则各导体上的电荷量为 NjjijiNiq1)642(,3,2,1ji 自电位系数自电位系数ji 互电位系数互电位系数ji 自电容系数自电容系数ji 互电容系数互电容系数为电位系数ij为电容系数ij第二章第二章 静静 电电 场与恒定电

43、场场与恒定电场 2)部分电容部分电容 NijjjiijiiiiiNiiiiNiiNiiiiiiiiNiNiiiiCCq,1212211332211)742()()()()()()(部分电容导体与大地之间的自有NjijiiC1的互有部分电容与jiijCijij 所有部分电容都为正值，且所有部分电容都为正值，且 。从系统来看，。从系统来看，一个多导体静电系统可等效为一个多端电容网络。一个多导体静电系统可等效为一个多端电容网络。互易性）(jiijCC 第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 3)考虑大地的双导线和同轴线属于三导体系统考虑大地的双导线和同轴线属于三导体系统1212C11C2

44、2C 注：工程上涉及到两端的工作电容，就是它们之间所注：工程上涉及到两端的工作电容，就是它们之间所有部分电容的等效电容，由部分电容的串并联组成。有部分电容的等效电容，由部分电容的串并联组成。导体导体1、2两端的等效输入电容为两端的等效输入电容为)1042(22112211121CCCCCC导体导体1对地的等效输入电容为对地的等效输入电容为)1142(22122212112CCCCCC导体2对地的等效输入电容为)1242(11121211222CCCCCC用实验测得用实验测得C1、C2、C3后，就可求后，就可求出部分电容出部分电容。第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 多导体之间分

45、布电容的存在是信号串扰的主要原因之一。多导体之间分布电容的存在是信号串扰的主要原因之一。高速数字系统设计中必须予以考虑。高速数字系统设计中必须予以考虑。例例1 导体球及与其同心的导体球壳构成一个双导体系统。导体球及与其同心的导体球壳构成一个双导体系统。若导体球的半径为若导体球的半径为a，球壳的内半径为，球壳的内半径为b，壳的厚度很薄可，壳的厚度很薄可以不计以不计(如图如图所示所示)，求电位系数、电容系数和部分电容。，求电位系数、电容系数和部分电容。解：解：1)先求电位系数。由式先求电位系数。由式(2-4-5)知知22212122121111qqqq第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定

46、电场 按照定义，先按照定义，先令令导体球带电量为导体球带电量为q1，球壳总带电量为，球壳总带电量为零，即零，即q20，且无限远处电位为零，则由对称性知，且无限远处电位为零，则由对称性知，rPPrPrqdrrqdrErdEr02044)(电场强度由高斯定理积分式求解电场强度由高斯定理积分式求解所以所以aqrqrqabba01001444)(bqrqbb010244)(1q1q1q第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 bqaq01221011114141代入电位系数公式得代入电位系数公式得再设再设导体球的总电荷为零，即导体球的总电荷为零，即q10，球壳带电荷为，球壳带电荷为q2，可得

47、，可得 b0122241bqrqrqabba02001444)(bqrqbb020244)(2q第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2)求电容系数求电容系数 由定义知，由定义知，电容系数矩阵等于电位系数矩阵的逆矩阵电容系数矩阵等于电位系数矩阵的逆矩阵，即，即abababbabab021122022011444 10000141414141bbba故有故有线性代数线性代数 bbba000041414141所以所以第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 3)求部分电容求部分电容bCababCCC02221220122112121111440ijijnjijiiCC1由得

48、12C22C11C第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 例例2 假设真空中两个导体球的半径都为假设真空中两个导体球的半径都为a，两球心之间，两球心之间的距离为的距离为d，且，且da，求两个导体球之间的电容。，求两个导体球之间的电容。解解1：因为：因为da，所以球面的电荷可以看作是均匀分，所以球面的电荷可以看作是均匀分布的。解法同例布的。解法同例1，先求出电位系数，再求部分电容先求出电位系数，再求部分电容。略。略 解解2：直接由部分电容定义求解。：直接由部分电容定义求解。12a11C22C12C1q2q2221221221121111)()(CCqCCq第二章第二章 静静 电电 场

49、与恒定电场场与恒定电场 由对称性和互易性知由对称性和互易性知，21122211CCCC0121qq令由高斯定理得由高斯定理得aaqa0011414)(dd0241)(11211202211,4CadaCCdaadCCadadCCCCCCCC011122211221112221则故两导体之间的电容为故两导体之间的电容为第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.5 静电场的边界条件静电场的边界条件 边界条件(Boundary Conditions).分界面可以是电介质与导体之间，也可以是两种不同的电介质之间。不同的电介质极化性质不同，因而在不同介质的分界面上静电场的场分量一般不连续。

50、决定分界面两侧电场变化关系的方程第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 本节主要由介质中场方程的积分形式推导出边界条件。l2.5.1 电通量密度 的法向分量l2.5.2 电场强度 的切向分量l2.5.3 分界面 上电场的方向DE第二章第二章 静静 电电 场与恒定电场场与恒定电场 2.5.1 电通量密度电通量密度 法向分量法向分量D在分界面上做以高度趋于零的圆柱形闭合曲面，即高斯面。在分界面上做以高度趋于零的圆柱形闭合曲面，即高斯面。)152()(21SDDnSqSnDSnDSdDSS21)252(21SnnDD或由于由于h0，则侧面积分可以忽略不计。，则侧面积分可以忽略不计。图图