运筹学理论—目标规划和动态规划要求含例题讲解课件.ppt

1、运筹学理论目标规划和动态规划要求含例题讲解整数规划问题整数规划问题运输问题模型 某航运公司承担六个港口城市A、B、C、D、E、F的四条固定航线的物资运输任务，已知各条航线的起点、终点城市及每天航班数见表1，假定各条航线使用相同型号的船只，又各城市间的航程天数见表2。又知每条船只每次装卸货的时间各需1天，则该航运公司至少应配备多少条船，才能满足所有航线的运货需求？表1 表2A AB BC CD DE EF FA A0 01 12 214147 77 7B B1 10 03 313138 88 8C C2 23 30 015155 55 5D D141413131 15 50 017172020E

2、 E7 78 85 517170 03 3F F7 78 85 520203 30 0航线航线起点城市起点城市终点城市终点城市每天航班数每天航班数1 1E ED D3 32 2B BC C2 23 3A AF F1 14 4D DB B1 1表1表2 解：公司需配备船只分两部分:1载货航程需要的周转船只数:E-D需(17+2)*3=57条船 B-C 需(3+2)*2=10条船 A-F需(7+2)*1=9条船 D-B 需(13+2)*1=15条船 总共需91条船2各港口间调度所需船只数:港口城市每天到达每天需求余缺数A01-1B12-1C202D312E03-3F10111x12x13x21x2

3、2x23x31x32x33x要求各港口间调度所需最少船只数,可以用下列表建立运输问题求解ABE每天多余船只C2352D1413172F7831每天缺少船只1135设C到A每天调度的船只为，C到B每天调度的船只为，C到E每天调度的船只为，D到A每天调度的船只为，D到B每天调度的船只为，D到E每天调度的船只为F到A每天调度的船只为，F到B每天调度的船只为F到E每天调度的船只为，航程天数为航程天数为Z Z，整数规划模型如下：，整数规划模型如下：0int311122.387171314532min33231332221231211133323123222113121133323123222113121

4、1ijxxxxxxxxxxxxxxxxxxxt sxxxxxxxxxz目标规划(Goal programming)目标规划问题及其数学模型问题的提出：问题的提出：目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济目标规划是在线性规划的基础上，为适应经济管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来管理多目标决策的需要而由线性规划逐步发展起来的一个分支。的一个分支。目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据目标规划是实行目标管理的有效工具，它根据企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，企业制定的经营目标以及这些目标的轻重缓急次序，考虑现有资源情况，分析如何达到规定目标或从总考虑现有资源情况，分析如何达到

5、规定目标或从总体上离规定目标的差距为最小。体上离规定目标的差距为最小。在许多客观实际问题中，要达到的目标往往不止一个。例如，设计导弹时既要使其射程最远，有要燃料最省，还要精度最高。这类含有多个目标的优化问题称为多目标规划问题。目标规划是一个新的多目标决策工具，它能把决策者的意愿反映到数学模型中。目标规划不像线性（或非线性）规划那样去直接求目标函数的最大（小）值，而是寻求实际能够达到的值与目标之间的偏差变量的最小值，这些偏差变量表示目标的达成程度。目标规划问题及其数学模型 例1 某企业计划生产甲，乙两种产品，这些产品分别要在A,B,C,D四种不同设备上加工。按工艺文件规定，如表所示。ABCD单件

6、利润甲11402乙22043最大负荷1281612问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最问该企业应如何安排计划，使得计划期内的总利润收入为最大？大？解：设甲、乙产品的产量分别为x1，x2，建立线性规划模型：0,124164821222.32max2121212121xxxxxxxxtsxxz其最优解为其最优解为x14，x22，z14元元但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如：但企业的经营目标不仅仅是利润，而且要考虑多个方面，如：(1)力求使利润指标不低于力求使利润指标不低于12元；元；(2)考虑到市场需求，甲、乙两种产品的生产量需保持考虑到市场需求，甲、乙两种产品的

7、生产量需保持1:1的比的比例；例；(3)C和和D为贵重设备，严格禁止超时使用；为贵重设备，严格禁止超时使用；(4)设备设备B必要时可以加班，但加班时间要控制；设备必要时可以加班，但加班时间要控制；设备A即要求即要求充分利用，又尽可能不加班。充分利用，又尽可能不加班。1）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际）要求问题的解必须满足全部约束条件，实际问题中并非所有约束都需要严格满足。问题中并非所有约束都需要严格满足。2）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，）只能处理单目标的优化问题。实际问题中，目标和约束可以相互转化。目标和约束可以相互转化。3）线性规划中各个约束条件都处于同等重要地）线性规划中

8、各个约束条件都处于同等重要地位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上位，但现实问题中，各目标的重要性即有层次上的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。的差别，同一层次中又可以有权重上的区分。4）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只）线性规划寻求最优解，但很多实际问题中只需找出满意解就可以。需找出满意解就可以。1.设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。设置偏差变量，用来表明实际值同目标值之间的差异。偏差变量用下列符号表示：偏差变量用下列符号表示：d+超出目标的偏差，称正偏差变量超出目标的偏差，称正偏差变量d-未达到目标的偏差，称负偏差变量未达到目标的偏差，称负偏差变量正负偏差变量两

9、者必有一个为正负偏差变量两者必有一个为0。当实际值超出目标值时：当实际值超出目标值时：d+0,d-=0;当实际值未达到目标值时：当实际值未达到目标值时：d+=0,d-0;当实际值同目标值恰好一致时：当实际值同目标值恰好一致时：d+=0,d-=0;故恒有故恒有d+d-=0目标规划问题及其数学模型2.统一处理目标和约束。统一处理目标和约束。对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划对有严格限制的资源使用建立系统约束，数学形式同线性规划中的约束条件。如中的约束条件。如C和和D设备的使用限制。设备的使用限制。12416421 xx 对不严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过对不

10、严格限制的约束，连同原线性规划建模时的目标，均通过目标约束来表达。目标约束来表达。1）例如要求甲、乙两种产品保持）例如要求甲、乙两种产品保持1:1的比例，系统约束表达为：的比例，系统约束表达为：x1=x2。由于这个比例允许有偏差，。由于这个比例允许有偏差，当当x1x2时，出现正偏差时，出现正偏差d+，即：，即：x1-d+=x2或或x1x2-d+=0 正负偏差不可能同时出现，故总有：x1x2+d-d+=0 0min21ddxxd 若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望若希望甲的产量不低于乙的产量，即不希望d-0,用目标约束可用目标约束可表为表为:若希望甲的产量低于乙的产量，即不希望若希望甲的产量

11、低于乙的产量，即不希望d0,用目标约束可用目标约束可表为表为:0min21ddxxd 若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望若希望甲的产量恰好等于乙的产量，即不希望d0,也不希望也不希望d-0用目标约束可表为用目标约束可表为:0min21ddxxdd 3）设备B必要时可加班及加班时间要控制，目标约束表示为：82min21ddxxd 2）力求使利润指标不低于12元，目标约束表示为：1232min21ddxxd 4）设备A既要求充分利用，又尽可能不加班，目标约束表示为：1222min21ddxxdd3.目标的优先级与权系数目标的优先级与权系数在一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些在

12、一个目标规划的模型中，为达到某一目标可牺牲其他一些目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低目标，称这些目标是属于不同层次的优先级。优先级层次的高低可分别通过优先因子可分别通过优先因子P1,P2,表示。对于同一层次优先级的不同表示。对于同一层次优先级的不同目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个目标，按其重要程度可分别乘上不同的权系数。权系数是一个个具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。具体数字，乘上的权系数越大，表明该目标越重要。现假定：现假定：第第1优先级优先级P1企业利润；企业利润；第第2优先级优先级P2甲乙产品的产量保持甲乙产品的产量保持1:1的比

13、例的比例 第第3优先级优先级P3设备设备A,B尽量不超负荷工作。其中设备尽量不超负荷工作。其中设备A的重要性的重要性比设备比设备B大三倍。大三倍。上述目标规划模型可以表示为：)4,.,1(0,82122201232124164.)(3)(min214421332122211121214333322211iddxxddxxddxxddxxddxxxxtsdPddPddPdPzii目标规划数学模型的一般形式目标规划数学模型的一般形式 )2.1(0.n)1.2(j 0)2.1().()2.1()(min1111KkddxmibxaKkgddxcddPZkkjnjijijnjkkkjkjLlKkklk

14、klkl达成函数达成函数目标约束目标约束其中：其中：g gk k为第为第k k个目标约束的预期目标值，个目标约束的预期目标值，和和 为为p pl l 优先因子优先因子对应各目标的权系数。对应各目标的权系数。lk lk明确问题，列出明确问题，列出目标的优先级和目标的优先级和权系数权系数构造目标规构造目标规划模型划模型求出满意解求出满意解满意否？满意否？分析各项目标分析各项目标完成情况完成情况据此制定出决策方案据此制定出决策方案NY目标规划应用举例 例 已知一个生产计划的线性规划模型如下，其中目标函数为总利润，x1,x2 为产品A、B产量。0)(100 )(60 )(14021230max2121

15、2121xxxxxxxZ丙丙资资源源乙乙资资源源甲甲资资源源现有下列目标：现有下列目标：1.要求总利润必须超过要求总利润必须超过 2500 元；元；2.考虑产品受市场影响，为避免积压，考虑产品受市场影响，为避免积压，A、B的生产量不超过生产量不超过 60 件件和和 100 件；件；3.由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量由于甲资源供应比较紧张，不要超过现有量140。试建立目标规划模型。试建立目标规划模型。解：以产品解：以产品 A,B 的单件利润比的单件利润比 2.5:1 为权系数，模型如下：为权系数，模型如下：)4.3.2.1(0,0100 60 100 60 140 2 250012305

16、.2min21214423312221112123423211lddxxxddxddxddxxddxxdPdPdPdPZll为了选修课程门数最少，应学习哪些课程为了选修课程门数最少，应学习哪些课程？选课策略选课策略选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程？课号课号课名课名学分学分所属类别所属类别先修课要求先修课要求1微积分微积分5数学数学 2线性代数线性代数4数学数学 3最优化方法最优化方法4数学；运筹学数学；运筹学微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构3数学；计算机数学；计算机计算机编程计算机编程5应用统计应用统计4数学；运筹学数学；运

17、筹学微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟3计算机；运筹学计算机；运筹学计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程2计算机计算机 8预测理论预测理论2运筹学运筹学应用统计应用统计9数学实验数学实验3运筹学；计算机运筹学；计算机微积分；线性代数微积分；线性代数0-1规划模型规划模型 决策变量决策变量 目标函数目标函数 xi=1 选修课号选修课号i 的的课程（课程（xi=0 不选）不选）91iixZMin选修课程总数最少选修课程总数最少 约束条件约束条件254321xxxxx398653xxxxx29764xxxx课号课号课名课名所属类别所属类别1微积分微积分数学数学2线性代数线性

18、代数数学数学3最优化方法最优化方法数学；运筹学数学；运筹学4数据结构数据结构数学；计算机数学；计算机5应用统计应用统计数学；运筹学数学；运筹学6计算机模拟计算机模拟计算机；运筹学计算机；运筹学7计算机编程计算机编程计算机计算机8预测理论预测理论运筹学运筹学9数学实验数学实验运筹学；计算机运筹学；计算机最少最少2门数学课，门数学课，3门运筹学课，门运筹学课，2门计算机课。门计算机课。先修课程要求先修课程要求74xx 02215xxx076 xx058xx02219xxx最优解：最优解：x1=x2=x3=x6=x7=x9=1,其它为其它为0；6门课程，总学分门课程，总学分21 02213xxx0-

19、1规划模型规划模型 约束条件约束条件x3=1必有必有x1=x2=12313,xxxx模型求解（模型求解（LINDO）课号课号课名课名先修课要求先修课要求1微积分微积分 2线性代数线性代数 3最优化方法最优化方法微积分；线性代数微积分；线性代数4数据结构数据结构计算机编程计算机编程5应用统计应用统计微积分；线性代数微积分；线性代数6计算机模拟计算机模拟计算机编程计算机编程7计算机编程计算机编程 8预测理论预测理论应用统计应用统计9数学实验数学实验微积分；线性代数微积分；线性代数学分最多学分最多多目标优化的处理方法：化成单目标优化。多目标优化的处理方法：化成单目标优化。两目标两目标(多目标多目标)

20、规划规划 987654321322343445xxxxxxxxxWMax,WZMin讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？91iixZMin课程最少课程最少 以以学分最多为目标，不学分最多为目标，不管课程多少。管课程多少。以课程最少以课程最少为目标，不为目标，不管学分多少。管学分多少。最优解如上，最优解如上，6门课门课程，总学分程，总学分21。最优解显然是选修所最优解显然是选修所有有9门课程门课程。多目标规划多目标规划 在在课程最少的前提下课程最少的前提下以以学分最多为目标。学分最多为目标。注意：最优解不唯一！注意：最优解不唯一！课号课

21、号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3 LINDO无法告诉优化无法告诉优化问题的解是否唯一。问题的解是否唯一。可将可将x9=1 易为易为x6=1增加约束增加约束 ，以学分最多为目标求解。以学分最多为目标求解。691iix最优解：最优解：x1=x2=x3=x5=x7=x9=1,其它为其它为0；总总学分由学分由21增至增至22。多目标规划多目标规划 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七

22、开。987654321322343445xxxxxxxxxW91iixZ WZWZYMin3.07.021课号课号课名课名学分学分1微积分微积分52线性代数线性代数43最优化方法最优化方法44数据结构数据结构35应用统计应用统计46计算机模拟计算机模拟37计算机编程计算机编程28预测理论预测理论29数学实验数学实验3最优解：最优解：x1=x2=x3=x4=x5=x6=x7=x9=1，其它为其它为0；总学分总学分28。讨论与思考讨论与思考WZYMin213/211,0,12121最优解最优解与与 1=0，2=1的结果相同的结果相同学分最多学分最多4/31多目标规划多目标规划 9876543213

23、22343445xxxxxxxxxW91iixZ最优解最优解与与 1=1，2=0的结果相同的结果相同课程最少课程最少Lingo解目标规划 方法：按目标的优先级次序，依次用lingo求解。每次求得的值再作为下一次的约束条件。例1：求解下列目标规划0,2,156210181022102111212.)(min3322113322211idxxddxxddxxddxxxxtsdpddpdpzLingo代码min=d31;2*x1+x2=11;x1-x2+d11-d12=0;x1+2*x2+d21-d22=10;8*x1+10*x2+d31-d32=56;d12=0;d21+d22=0;例2：某棉纺车

24、间用甲乙两种棉花混纺生产A、B两种 棉纱，其相关数据如下表：产品资源 单耗（kg/km）A B棉花库存量甲绵(kg)0.50.3300乙绵(kg)0.10.3180利润（元/km）2.53.2若利润指标为1755元，A种棉花要生产650km，问A,B两种棉纱各应该生产多少？目标规划模型：0,2,16501175522.315.218023.011.030023.015.0min2,122112211idxxddxddxxxxxxdpdpzkmxxBA，则：两种棉纱、设分别生产Lingo代码：min=d21;0.5*x1+0.3*x2=300;0.1*x1+0.3*x2=180;2.5*x1+3

25、.2*x2+d11-d12=1755;x1+d21-d22=650;d11=0;例3：已知有三个产地给四个销地供应某种产品，产销地之间的供需量和单位运价如下表：销地产地B1 B2B3B4产量A15267300A23546200A34523400销量200100450250900/1000有关部门在研究调运方案时依次考虑以下七项目标，并规定其相应的优先等级：P1-B4是重点保证单位，必须全部满足其需求;P2-A3向B1提供的产量不少于100；P3-每个销地供应量不小于其需要的80%；P4-所订调运方案的总运费不超过最小运费的10%；P5-因路段问题，尽量避免安排将A2产品往B4；P6-给B1,B

26、2的供应率要相同；P7-力求总运费最省。试求满意的调运方案？不考虑目标，运输问题的数学模型为：04,3,2,1,3,2,1,min31413141ijjiijijijijijijijxjbxiaxxczjix个销地的运量。则：个产地向第表示从第设Lingo代码：sets:cd/1.3/:a;xd/1.4/:b;links(cd,xd):c,x;endsetsdata:a=300 200 400;b=200 100 450 250;c=5 2 6 7 3 5 4 6 4 5 2 3;enddatamin=sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j);for(cd(i):sum(xd(

27、j):x(i,j)=b(j);考虑目标规划：400343332312002423222130014131211xxxxxxxxxxxx供应约束：450332313100322212200312111xxxxxxxxx需求约束：295013133141ddxcijijij力求运费最省：13712126115104876535241)()(mindPddPdPdPddddPdPdPz目标函数：作业：运行下列程序作业：运行下列程序 并分析结果并分析结果sets:cd/1.3/:a;xd/1.4/:b;links(cd,xd):c,x;px/1.13/:d1,d2;endsetsdata:a=300

28、200 400;b=200 100 450 250;c=5 2 6 7 3 5 4 6 4 5 2 3;enddatamin=d2(13);for(cd(i):sum(xd(j):x(i,j)=a(i);for(xd(j):sum(cd(i):x(i,j)B,B-C,C-D,D-E,E-F,F-G（1）第六阶段F-G最短路（2）第五阶段E-G最短路752,72min)(),(),(),(min)(2521151114EfEDdEfEDdDf692,51min)(),(),(),(min)(3532252224EfEDdEfEDdDf893,53min)(),(),(),(min)(353325

29、2334EfEDdEfEDdDf第四阶段D-G最短路第三阶段C-G最短路1368,76min)(),(),(),(min)(2421141113DfDCdDfDCdCf1065,73min)(),(),(),(min)(2422141223DfDCdDfDCdCf983,63min)(),(),(),(min)(3433242333DfDCdDfDCdCf1284,68min)(),(),(),(min)(3434242443DfDCdDfDCdCf1396,103,131min)(),(),(),(),(),(min)(33312321131112CfCBdCfCBdCfCBdBf16126

30、,97,108min)(),(),(),(),(),(min)(43423332232222CfCBdCfCBdCfCBdBf18163,135min)(),(),(),(min)(2221212BfBAdBfBAdAf第二阶段B-G最短路第一阶段A-G最短路所以最短路是：A-B1-C2-D1-E2-F2-G,最短路长为18。0,12236max321321321xxxxxxxxxz321,xxx321,xxx4321,ssss33422311212,3,12xssxssxsss20,30,0332211sxsxsx1)(),(max)(4411sfsfkxsfkkkkk例例3求下列非线性规划

31、问题求下列非线性规划问题解：要求的值，我们分三个阶段，分别为第1，2，3阶段的决策变量。设状态变量为，显然阶段指标函数 2,2)(3max)(3*334432/03333sxssfxsfsx当达到最大值时6,4)3(232max)(2max)(2*2222223/03323/0222222sxsxsxsfxsfsxsx当达到最大值时第三阶段 第二阶段4,64)(41max)(max)(*121111202211201111xxsxsfxsfxx当达到最大值时2,4334,8,4,123223211211xxssxxssxs6423446z 第一阶段所以最优值为例（阶段生产问题阶段生产问题）某公

32、司产品最大生产能力为10000单位，每单位存储费2元，预定的销售量与单位成本如下表所示：月份月份单位成本单位成本销售量销售量17060002717000380120004766000求一生产计划，使(1)满足需求；(2)不超过生产能力；(3)成本(生产成本与存储费之和最低)问题分析：这是一个多阶段生产计划问题，设计多阶段存储，只需要制定14月份的生产计划，不妨假定1月初无库存，4月底卖完，当月生产的不作为当月的库存，库存量无限制。模型建立（1）：设xi为第i月产量，di为销售量，ei为存储费，ci为单位成本，则目标生产成本为:41jjjc x第j月到j+1月的库存量(记作第记作第j+1月的库存

33、量月的库存量)应该是1月到j月的总产量减去1月到j月的总销售量，即：11jjiiiixd总的库存费用为：31111jjiijjiixd e 总成本为：4311111jjjjiijjjiic xxd e 即求总成本的最小值。约束条件1：如果每个月都有非负的存储量，显然满足要求，可用约束：110jjiiiixd约束条件3：产量限制，0=xi=10000。综上，建立如下数学模型：约束条件2：4个月的总产量等于总需求量即：44110iiiixd4311111114411min0,1,2,3.0010000,1,2,3,4jjjjiijjjiijjiiiiiiiiifc xxdexdjs txdxi 转

34、成相应的Lingo语言如下：模型改进(2)：引入库存变量库存变量，再利用库存平衡方程使模型更加流畅简洁。设xi为第i个月的产量，di为销售量，ei为存储费，ci为单位成本，设第i个月的库存为si,则：4411115min0.0010000,1,2,3,401,2,3,4iii iiiiiiiiifc xe sssxdsstsxisi且为整数，程序编写如下：模型改进(3)：将该模型转化成运输问题运输问题。设xij表示第i个月生产的产品在第j个月卖出去的数量，cij表示第i个月生产的产品在第j月卖出去时的生产成本与存储成本之和，dj表示第j月的销售量，则生产月生产的产品在需求月卖出时单位总成本如下

35、表所示：需求月需求月1需求月需求月2需求月需求月3需求月需求月4产量产量生产月17072747610000生产月271737510000生产月3808210000生产月47610000销量60007000120006000建立模型如下：41114min,1,2,3,4.10000,1,2,3,40,1,2,3,4jijijjijijjiijj iijfc xxdjstxjxi j相应的Lingo程序如下：例3（连续投资问题连续投资问题）某部门在今后5年内考虑给下列项目投资，已知：(1)项目A，从第1年到第4年每年初要投资，次年末回收本利1.15；(2)项目B，第3年初投资，到第5年末回收本利1

36、.25，最大投资4万元;(3)项目C，第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元；(4)项目D，每年初购买国债，当年末回收本利1.06;该部门现有资金10万元，问应如何投资到第5年末总资本最大。问题分析：将可能的投资情况设为变量，如下表所示第第1年年第第2年年第第3年年第第4年年第第5年年Ax1Ax2Ax3Ax4ABx3BCx3CDx1Dx2Dx3Dx4Dx5D因为具有项目D，所以可以认为该部门每年都把自己全部投出去，而且年末的总资本等于第二年初的总投资额。由此可建立模型如下：423511222123331234423534max1.151.401.251.06101.0631.

37、151.06.41.151.061.151.06,0,1,.,5ACBDADACDDCABDADBADADDADiAiBiCiDfxxxxxxxxxxxxxxxxstxxxxxxxxxxxxi初始资金总额第二年的总投资额第三年的总投资额第四年的总投资额第五年的总投资转换成Lingo程序如下所示：例(面试顺序问题)4名同学到一家公司参加3个阶段的面试，要经过初试-复试-面试，不允许插队，面试时间如下表所示:姓名姓名初试初试复试复试面试面试131520乙102018丙201610丁810154名同学约定他们全部面试完以后一起离开公司，假定现在时间是早上8点，请问他们最早何时离开。模型建立：记tij

38、为第i名同学参加第j阶段面试需要的时间，xij表示第i名同学参加第j阶段面试的开始时刻(为了方便，记早上8点为0时刻)(i=1,.,4,j=1,.,3),T为完成全部面试的最少时间，则优化目标为：33minmaxiiiTxt个人时间的先后次序约束：,1,1,2,3,4;1,2ijiji jxtxij同阶段不同同学时间不相容(同阶段靠前同学的完成时间小于靠后同学的开始时间)：(1),011,1,2,3,4;1,2,3ijijkjikkjkjijikikxtxMyxtxMyMTykii kj取大于 的常数或，取 表示 排在 前面不妨给定i,k的关系为ik。目标可写为如下线性优化：1313232333334343min.TTxtTxtstTxtTxt程序编写：计算结果：作业：用LINGO编写“求下列各点到T的最短路”的程序【利用集合 直接列表法】56774968658336C1B1C2B2A1A2A3TS6