初三数学知识点整理3空间与图形.doc

1、初三数学知识点整理3 几何部分一、直线与线段1、直线公理：两点确定一条直线； 2、线段公理：两点之间，线段最短二、角：1、有公共端点的两条射线组成的图形交角；角的分类：2、和为直角的两个角互为余角，和为平角的两个角互为补角。 3、六十进位制:4、角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。三、相交线与平行线 1.余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等； 对顶角相等。 2.垂直 (1)垂线的性质：过一点有且只有1条直线与已知直线垂直；直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；(2)线段垂直平分线定义：

2、过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线（3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段垂直平分线上； 3.平行 （1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；（2）平行线的性质 ：两直线平行，同位角_；两直线平行，内错角_；两直线平行，同旁内角互补（3）平行线的判定： 同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；（4）平行的性质：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。4.距离 （1）连接两点的线段的长度叫做两点间的距离； （2）直线外一点向直线所作的垂线段的长度叫做点到直线的距

3、离；（3）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等四、三角形 1.三角形的有关概念。2.三角形的有关性质：三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于_180_；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的三条角平分线交于一点（_内_心）；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形的三条中线交于一点（重心）；三角形中位线定理：三角形中位线平行于_边，并且等于_

4、边的一半；3.全等三角形 （1）定义：两个能够重合的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的对应边_，对应角_。（3）三角形全等的条件：边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）；边边边（SSS）；斜边、直角边（HL）4.等腰三角形 (1)等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）；以顶角平分线所在直线为对称轴的轴对称图形。(2)等腰三角形的判定：有两边相等 有两个角相等（等角对等边）；5.等边三角形的判定：（1）三边相等 （2）三角相等（3）有1个角等于60的等腰三角形6.直角三角形 （1）直角

5、三角形的性质：直角三角形的两个锐角互为_角；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的_等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半。垂心是直角顶点，外心是斜边的中点 记忆:（1）母子相似 （2）两直角边的乘积等于斜边与斜边上的高的乘积 （3）内切圆半径=三角形面积的2倍除以三角形周长，或周长的一半减去斜边长。（2）直角三角形的判定： 有一个内角是直角的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系，那么这个三角形是直角三角形7.锐角三角函数：（1）在RtABC中，C=，sinA=，cosA=, tanA=；si

6、nA=cosB; 0sinA1,0cosA0.(2)锐角A越大,A的正弦和正切值越大,余弦值反而越小.(3)特殊角的三角函数值：度数三角函数sincostan1(4)坡角：斜坡与水平面的夹角 五、四边形 1.多边形：（1）多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（n-2）180（n3，n是正整数）； （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360（3）各角都相等，各边都相等的多边形叫正多边形（4）用多边形进行密铺的条件：围绕平面内同一点，拼在一起的几个多边形的内角的和恰好为360.相接的边长相等例：正三角形；正四边形；正五边形；正六边形；正八边形；正十边形解：以上正多边形各内角依次为60

7、；90；108；120；135；144 可以用以上一种铺满地面的是；可以用以上两种铺满地面的是；2平行四边形 平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等、角相等和直线平行的根据之一（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（2）平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行且相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分平行四边形是以两条对角线的交点为对称中心的中心对称图形（3） 平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线

8、互相平分的四边形是平行四边形（4）平行四边形的面积等于底高3.矩形 (1) 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.(2) 矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形既是轴对称图形又是中心对称图形(3)矩形的判定：，定义 有3个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；4.菱形 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.(2)菱形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）菱形的四边相等；菱形的对角线互相垂直平分；菱形既是轴对称图形又是中心对称图形(3)菱形的判定：定义 四边相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形.（4）菱

9、形的面积等于两对角线长乘积的_5.正方形 (1)定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(2)正方形的性质：正方形的四边相等；正方形的四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；(3)正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。6.中点四边形:原四边形中点四边形任意四边形是平行四边形对角线相等的四边形菱形对角线垂直的四边形矩形对角线相等且垂直的四边形正方形六、尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；

10、七、视图与投影 1视图：主视图、左视图、俯视图2基本几何体的三视图画法：（1）观察方向：正面、侧面、上面（2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等（3）要注意实线与虚线的用法3.平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影4.中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影八、圆 1.圆有关的概念: （1）圆：平面上到定点的距离等于定长所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径圆的内部是_的点的集合 （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 （4）弧：圆上任意两点间的部分

11、叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧 （5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2.圆的有关的性质：轴对称性和中心对称性以及旋转不变性（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆心角定理：圆心角的度数等于所对弧的度数；（4）圆心角与圆周角的关系:同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半（5）圆内接四边形:顶点都在圆上的四边形，

12、叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补. （6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来，90的圆周角所对的弦是直径；3 （1）确定圆的条件：已知圆心和半径 不在同一直线上的三个点确定一个圆 （2）三角形的内切圆和外接圆：三角形的内切圆三角形的外接圆图形圆心内心外心内外心性质内心是三角形角平分线的交点内心到三边的距离相等外心是三角形中垂线的交点外心到三个顶点的距离相等角度BIC=90+ABOC=2A或BOC=360-2A 如图，4.点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外dr点在圆上d=r点在圆内dr证多点在同一个圆上，即证这些点到一定点的距离相等5直线和圆的位置关系有三

13、种：相离、相切、相交 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交dr，直线圆相切d=r，直线与圆相离dr切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；如图，PA，PB分别切O于A、B。直线OP交O于D、E，交弦AB于C 则由切线长定理得PA=PB,3=4由等腰三角形三线合一性质得PCAB,AC=BC由切线性质得OAAP,OBBP由垂径定理得=,=连AD、BD得D为ABP内心1234；56786.圆与圆的位置关系3设两圆的圆心距

14、为d，两圆的半径分别为R和r，则 两圆外离dR+r； 两圆外切d= R+r； 两圆相交 R-rdR+r（Rr） 两圆内切d= R-r（Rr） 两圆内含dR-r（Rr）7.扇形的弧长和面积 或(列式时不带单位)（R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数，为扇形的弧长）8.立体图形的认识1. 几何图形都是由点、线、面、体组成的，点是构成图形的基本元素2. 圆柱可以看着矩形绕着它的一边旋转一周所形成的图形，圆锥可以看着直角三角形绕着直角边旋转一周所形成的图形，圆台可以看着直角梯形绕着垂直于底边的一腰旋转一周所形成的图形。 圆锥、圆柱的侧面积和表面积 S圆柱侧=底面周长高 圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的

15、弧长圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径圆柱的底面周长等于侧面展开矩形的一边长圆柱的高等于侧面展开矩形的另一边长9、正多边形和圆九.图形的轴对称 1.比较：一个图形沿着一条直线（对称轴）折叠，如果它能与另一个图像重合，则称这两个图形关于这条直线轴对称， 一个图形沿着一条直线（对称轴）折叠，直线两旁的部分重合，则称这个图形是轴对称图形2.轴对称的基本性质：（1）关于轴对称的两个图形是全等形（2）对称轴是对应点所连的线段的垂直平分线；3.等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；十.图形的旋转 1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等

16、（等于旋转角）；旋转前后的图形全等。2.中心对称图形: （1）在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。（2）关于中心对称的两个图形是全等形，中心对称图形上的每对应点所连成的线段都被对称中心平分。（3）平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；十一.图形的平移 1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，初中讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换（2）图形的平移有两个要素：一

17、是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小2平移的基本性质：（1）新图形与原图形全等经过平移；（2）对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等3.平移作图主要关注：（1）方向 （2）距离，平移作图就像把整个图形的每一个特征点放在一套平行的轨道上滑动一样，每一个特征点滑过的距离是一样的。十二.图形的相似1.比例的基本性质：如果，则，如果，则2. 平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 图2图1图33.相似三角形的判定： 两组角对应相等；两

18、边对应成比例且夹角对应相等；三边对应成比例 直角三角形相似的判定4.相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方；5.相似多边形:两个边数相同的多边形，各角对应相等，各边对应成比例性质：相似多边形的对应角相等；相似多边形的对应边成比例；相似多边形的周长之比等于相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方6.位似图形：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。位似图形性质：位似图形具有相似图形的性质 位似图

19、形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。7.图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形；8.黄金分割：C为线段AB上一点且AC2=BCAB则=_黄金三角形: 黄金矩形 9.三角形的重心:三条中线的交点，需记的结论: 1.ABC中,AB=AC,则B=C=900A,A=18002B2. ABC中,I为内心，则BIC90BAC3ABC中,O为内心，则BOC2A或3602A4直角三角形外接圆直径斜边长，内切圆半径（a+bc） 一般三角形的内切圆半径等于三角形的面积的两倍除以三角形的周长5平行四边形的面积底高，菱形的面积对角线积的一半6圆周长c=2r，

20、面积r2，弧长l= 扇形面积 或弧长半径7.坡度i=tan 8正边形的中心角为=外角 9各边相等且各角相等的多边形是正多边形；10圆柱的侧面展开图为矩形S柱侧=L2r， 圆锥的侧面展开图是扇形(锥角600的圆锥的侧面展开图是半圆),轴截面是等腰三角形. 11. 周长相等的正多边形边数越多面积越大；面积相等的正多边形边数越多周长越小；12. 正多边形转化为直角三角形，同圆的内接与外切正多边形的相似比为cos13顺次连结任意四边形各边中点得平行四边形；顺次连结对角线相等的四边形各边中点得菱形；顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点得矩形；要得正方形呢?14.对角线互相垂直的四边形面积等于两对角线长

21、乘积的15.对角线互相垂直的等腰梯形的高等于中位线的长16. 当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 17. 三角形的面积等于任意两边与它们夹角正弦之积的一半.常作辅助线1 出现150、300、450、600、750、1050、1350等角度时，应考虑给构造直角三角形；在解直角三角形问题时，化斜为直；2 等腰三角形常作底边上的高，（等腰直角三角形作斜边上的高）；3 在三角形中出现一边的中点，可倍长中线或取另一边的中点，或过某一点作某一线的 平行线，构成A型图或X型图； 4 四边形常转化为三角形，有时取一边的中点或对角线的中点；对角线互垂

22、时，可取边的中点，用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5 梯形中常作高、平移一腰（出现或要证等腰）、平移对角线等（出现对角线相等或互垂时），出现一腰中点时可取另一腰的中点（构中位线）或（见图）6证线段成比例时可考虑平行线转移比； 7有直径或半圆常构造 900的圆周角； 8圆中解决有关弦的问题时，常常需要作出圆心到弦的垂线段（即弦心距）这一辅助线，一是利用垂径定理得到平分弦的条件，二是构造直角三角形，利用勾股定理解题.9有等弧或证弧等时常连等弧所对的弦或作等弧所对的圆心角10.已知中出现切线时，（1）连结圆心和切点有垂直（2）考虑用切线长定理11遇角平分线考虑构造轴对称的全等;12要证明一直线是切线: （1）已知直线与圆有公共点时，连半径，证垂直（2）已知直线与圆无公共点时，作垂直，证半径；13求阴影部分发面积，常转化为求规则图形的面积；14.要证AB为O的正n边形的一边，可证AOB= ，先求AOB的度数知识点3 几何 第 8 页 共 8 页