第12讲微积分在经济上的应用(数三专题)课件.ppt

1、第12讲 微积分在经济上的应用（数三专题）本讲是数三的专门内容，也叫微积分在经济上的应用，主要包括：导数、积分、偏导数、无穷级数、微分方程等在经济上的应用，差分方程的解法等，一般出题是4分的小题，有些年份出10分左右的大题，需要说明的是，这些应用要求在大纲上是分散且隐蔽的。12.1基础知识一、复利与连续复利复利计算公式：mmrAA)1(其中A表示一开始的本金，r表示每一期的利率，m表示复利的总期数，mA表示m期后的余额注意（1）如果年利率为r的利息以年支付一次，则当初始存款为A 元时，t年后的余额tA为ttrAA)1(（2）如果年利率为r的利息以年支付n次，那么当初始存款为A元时，t年后余额则

2、为nttnrAA)1(（3）对于（2），当n时，rtntntnAenrAA)1(limlim这时，称为连续复利考试时要弄清楚（1），（2），（3）三种情况，题目会明确告诉的。二、边际与弹性1、边际函数与弹性函数（1）边际函数：设)(xf可导为边际函数经济上称为一阶导数数学上称)()(xfxf，并称)(0 xf 为)(xf在0 xx 处的边际值。注意：边际概念表示当x在某一给定值附近有微小变化时y的瞬时变化。（2）弹性函数：设)(xf可导，称)()(lim0 xfxxfxxyyx为)(xf的弹性函数。注意：弹性概念主要反映的是x变化所导致的)(xf变化的强弱程度或者叫灵敏度2、五个研究对象（1）

3、需求函数：设需求量为Q，价格为p，称)(pQQ 为需求函数。且一般为单减函数注：需求的价格弹性为dpdQQp（1）dpdQQp，从概念上说，0dpdQ，故0（2）当题设需求0时，我们取dpdQQp（2）供给函数：设供给量为q，价格为p，称q=q(p)为供给函数，且一般为单增函数。注：供给的价格弹性为0dpdqqp（3）成本函数：总成本=固定成本+可变成本，即)()(10 xCCxC，边际成本为)(xC当产量为时，再生产一个单位的产品所增加的总成本，x（4）收益函数：xPxR)(,价格销量，Px边际收益)(xR（5）利润函数：)()()(xCxRxL，使得0)(xL的x称为盈亏平衡点（也称为保本

4、点）边际利润为)()()(xCxRxL三、一阶常系数线性差分方程形如)0)(1axfayyxx的方程，称为一阶常系数线性差分方程，现在的考研大纲，只要求大家会求解这种方程即可，请类比一阶常系数线性微分方程的解法去记忆，很容易记住（1）先看齐次方程，对于01xxayy其特征方程为aa0，则通解为CaCyx,)(为任意常数（2）再考虑非齐次方程，xmxxxPayy)(1，其中)(xPm为x的m次多项式，则设定kmxxxQY).(*其中，1，x照抄2，)(xQm为x的m次一般多项式3，aak,1,012.2典型例题分析一、导数在经济中的应用例1、设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定t=0）就出售

5、，总收入为R0(元），如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t年末总收入为teRR520.假定银行的年利率为r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求r=0.06时的t值解：根据连续复利公式，这批酒在窖藏t年末售出总收入R的现值为rttA Re)(,而teRR520，故rtteRtA520)(，令0)51(520rteRdtdArtt得驻点20251rt，又101)51(3252022trteRdtAdrtt0)5.12(32510220reRdtAdrtt，所以20251rt 是极大值点也即最大值点，此时总收入的现值最大，当年时，11910006.0tr例2、设商品的需求

6、函数为Q=100-5p，其中Q，p分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性的绝对值大于1，求商品价格的取值范围。解：需求量Q对价格p的弹性ppdpdQQp51005，由于需求弹性的绝对值大于1，即151005 pp又Q=100-5p0，解得20,10(p例3设某产品的成本函数为,2cbqaqC需求函数为)(1pdeq，这里p为单价，a,b,c,d,e都是正的常数，且db，求（1）利润最大时的产量及最大利润（2）需求对价格的弹性（3）需求对价格弹性的绝对值为1时的产量解答过程略(1)(2)(aebdq时利润最大为caebdL)(4)(2（2）需求价格弹性为eqeqd（3）q=ed2例4：设某产品的

7、总成本函数为2213400)(xxxC，而需求函数为xp100，其中x为产量（假定等于需求量），p为价格，求（1）边际成本；（2）边际收益；（3）边际利润；（4）收益的价格弹性过程略（1）xdxxdC 3)(（2）xdxxdR50)(3)xxdxdL350(4)-1二、积分在经济中的应用例5、设某商品从时刻0到时刻t的销售量为)0(,0,)(kTtkttx，欲在T时将数量为A的该商品销售完，求：（1）t时的商品剩余量，并确定k的值（2）在时间段0,T上的平均剩余量解（1）在时刻t商品的剩余量为,0,)()(TtktAtxAty由TAkkTA,0，所以,0,)(TttTAAty（2）)(ty在,

8、0T上的平均值为ToAdttyTy2)(1即在时间段,0T上的平均剩余量为2A三、多元函数微分学在经济中的应用例6：假设某企业在两个互相分割的市场上出售同一种产品，两个市场的需求函数分别为221112,218QpQp其中21,pp分别表示该产品在两个市场的价格（单位：万元 吨），21,QQ表示该产品在两个市场的销售量（即需求量，单位：吨）并且该企业生产这种产品的总成本函数是52 QC，其中Q表示该产品在两个市场的销售总量，即21QQQ(1)如果该企业实行价格差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量和价格，使该企业获最大利润（2）如果该企业实行价格无差别策略，试确定在两个市场上该产品的销量及统一

9、的价格，使该企业的总利润最大化，并比较两种价格策略下的总利润大小解（1）总利润)52(2211QQpQpCRL510162212221QQQQ令010201642121QLQLQQ解得7,10,5,42121ppQQ而因为驻点唯一，且实际问题一定存在最大值，故最大值必定在驻点处达到，最大利润为52万元（2）若实行价格无差别策略，则21pp，于是又约束条件，6221QQ构造拉格朗日函数)62(510162),(2121222121QQQQQQQQF令062010202164212121QQFQFQFQQ解得，8,2,4,52121ppQQ则最大利润为49万元，比较可见，差别化价格策略利润要大于统

10、一价格策略的总利润四、常微分方程与差分方程在经济中的应用例7已知某商品的需求量x对价格p的弹性33p而市场对该商品的最大需求量为1（万件），求需求函数解：由弹性定义，,33pdpdxxp分离变量得dppxdx23解得ccexp,3为待定系数，由条件,10 xp时，得c=1，所以需求函数为3pex例8某公司每年的工资总额在比上一年增加0020的基础上，再追加2百万元，若以tW表示第t年的工资总额求tW所满足的差分方程，并求解解，22.11ttWW即22.11ttWW，特征方程为02.1，得2.1故对应的齐次差分方程的通解为tC)2.1(2.11可设特解为bWt*，代入原方程得，10b所以差分方程的通解为10)2.1(ttCW五、一阶常系数线性差分方程的解法例9，求xxxxyy21的通解例10求15321ttyytt的通解)2(2xcyxctttyt23完