最新北师大版高中数学选修1-1第四章《导数应用》检测(包含答案解析).doc

1、一、选择题1已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）ABCD2已知函数在其定义域内为增函数，则的最大值为（ ）A4BCD63设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（ ）ABCD4函数的导函数为，则与在一个坐标系中的图象为（ ）ABCD5函数在区间上的最大值为（ ）ABCD6已知定义在上的函数满足，则下列式子成立的是（ ）ABCD7已知函数的导函数是，的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A函数在上单调递减B函数在处取得极大值C函数在上单调递减D函数共有个极值点8已知函数，若恒成立，则整数的最大值为（ ）ABCD9已知对任意实数都有，若恒成立，则的取值范围是（ ）ABCD10若曲线上存在两条

2、垂直于轴的切线，则的取值范围是（ ）ABCD11若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）ABCD12设函数的定义域为，其导函数是，若，则不等式的解集是（ ）ABCD二、填空题13已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围为_.14若函数在内有且只有一个零点，则在上的最小值为_.15已知函数+2在上单调递增，则的取值范围是_16若不等式对任意的恒成立，则实数的最大值为_.17已知正项等比数列的前n项和为，若成等差数列，则的最大值为_18已知函数()，若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立，则实数的取值范围是_.19已知函数，若函数有6个零点，则实数的取值范围是_.20已知函数（为自然对数的底数

3、），若在上有解，则实数的取值范围是_.三、解答题21已知函数在处取得极值7（1）求的值；（2）求函数在区间上的最大值22已知（1）当时，求的单调增区间；（2）若，求实数a的取值范围.23已知函数.（1）当时，证明：存在唯一的零点；（2）若，求实数的取值范围.24已知曲线在点处的切线斜率为3，且时有极值（1）求函数的解析式；（2）求函数在上的极值和最小值25已知函数.（1）当时，求曲线在点处切线的方程；（2）求函数的单调区间.26已知函数.（I）当时，求曲线在点处的切线方程；（）若函数在处取得极小值，求实数a的取值范围.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1D解析：D【分析】先判断函

4、数的奇偶性和单调性，从而可得关于的不等式，求出其解后可得正确的选项.【详解】的定义域为，且，又当时，故在为增函数，故即为，解得或，故选：D.【点睛】方法点睛：解函数不等式，往往需要考虑函数的奇偶性和单调性，前者依据定义，后者可利用导数，注意定义域的要求.2B解析：B【分析】求导，则由题意导函数在上恒大于等于0，分参求范围.【详解】由题意可得对恒成立，即，对恒成立因为，当且仅当即时取最小值所以.故选：B【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号关键是分离参数k，把所求问题转化为求函数的最小值问题(2)若可导函数f(x)在指定的区间D上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化

5、为f(x)0(或f(x)0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“”是否可以取到3D解析：D【分析】由题意可得对恒成立，设，根据它们的图象，结合的导数的几何意义，以及射线的性质，即可得到所求的最大值.【详解】由不等式对恒成立，即为，即对恒成立，设，由，可得在上递增，且，当时，；，作出的图象，再设，可得表示过，斜率为的一条射线（不含端点），要求的最大值，且满足不等式恒成立，可得的最大值，由于点在轴上移动，只需找到合适的，且切于点，如图所示：此时，即的最大值为.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题的解法，解题的关键是将问题转化为切于点，注意运用转化思想和数形结合思想，考查了导数的应用

6、，求切线的斜率与单调性，考查了运算能力和推理能力.4A解析：A【分析】分析函数、的奇偶性，以及、的符号，利用排除法可得出合适的选项.【详解】函数的定义域为，即函数为奇函数，函数的定义域为，函数为偶函数，排除B、C选项；，则.对于D选项，图中的偶函数为，由，与题图不符，D选项错误，故选：A.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；（2）从函数的值域，判断图象的上下位置（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.5A解析：A【分析】对函数求导，求出函数的极值点，分析函数

7、的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值【详解】，则，令，解得，列表如下：极大值极小值所以，函数的极大值为，极小值为，又，因此，函数在区间上的最大值为，故选：A【点睛】方法点睛：本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题6A解析：A【分析】构造函数，求导判定函数单调性，根据单调性得化简即可.【详解】解：依题意，令，则在上恒成立，所以函数在上单调递减，所以即故选：A.【点睛】四种常用导数构造法：（1）对于不等式 (或) ，构造函数（2）对于不等式(或) ，构造函数（3）对于不等式(或) ，构造函数（4）对

8、于不等式(或) ，构造函数7C解析：C【分析】对于选项，函数在上单调递增，故错误；对于选项，函数在上单调递增，在上单调递增，所以不是的极值点，故错误；对于选项，函数在上单调递减，故正确；对于选项，由导函数的图象得函数共有个极值点，故错误.【详解】对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递增，故错误；对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递增，在上单调递增，所以不是的极值点，故错误；对于选项，由导函数的图象得函数在上单调递减，故正确；对于选项，由导函数的图象得函数共有个极值点，是极小值点，是极大值点，故错误.故选：C.【点睛】结论点睛：（1）函数的在上恒成立，则函数在上单调递增；函数的在上恒成立，

9、则函数在上单调递减.（2）如果函数的极值点是，则附近左右两边的导数符号相反.8B解析：B【分析】将不等式化为，令，求出导函数，利用导数判断函数的单调性，从而可得使，进而可得，即求.【详解】，可化为即，令，则令，则，时，在单调递增.又使，即.当时，单调递减，当时，单调递增，正整数的最大值为.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查了导数研究不等式恒成立问题，解题的关键根据函数的单调性确定存在，使得，考查了分离参数法求范围.9D解析：D【分析】由导数的运算求出，然后用分离参数法得出时，时，再设，求出在时最小值，在时的最大值，从而可得的范围【详解】因为，所以，即，所以（为常数），由，不等式为，时，不等

10、式为，成立，时，时，设，则，当或时，当或时，所以在和上是减函数，在和上是增函数，时，在时取得极小值也最小值，由恒成立得，时，在时取得极大值也是最大值，由恒成立得，综上有故选：D【点睛】本题考查导数的运算，考查用导数研究不等式恒成立问题，用分离参数法转化为求函数的最值是解题关键，解题时注意分类讨论思想的应用10C解析：C【分析】先求出原函数的导函数，令，得到，然后将问题转化为在上有两个不同的解，再构造函数，求出的取值范围，即可得到的取值范围【详解】由，得，令，则，曲线存在两条垂直于轴的切线，在上有两个不同的解令，则当时，当时，在上单调递增，在上单调递减，又当时，的取值范围为故选：【点睛】本题考查

11、了利用导数研究曲线上某点处切线斜率，训练了利用导数研究函数的单调性、零点，考查数学转化思想方法，属中档题11A解析：A【分析】由在上单调递减，可得：导函数在R上恒成立，参变分离后，求最值即可的解.【详解】由在上单调递减，可得：导函数在R上恒成立，因为，参变分离可得：，故选：A【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，考查了恒成立思想和基本不等式的应用，属于中档题.12D解析：D【分析】构造新函数，求导后可推出在上单调递减，而可等价于，即，故而得解【详解】令，则，即在上单调递减，可等价于，即，不等式的解集为故选：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、解不等式，构造新函数是解题的关键，考查学

12、生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题二、填空题13【分析】根据不等式恒成立得到在上恒成立令函数对其求导判定其在区间上的单调性得到在上恒成立再令利用导数的方法求出其最大值即可得出结果【详解】由在上恒成立得：在上恒成立易知当时令函数则在上恒成立则单调递解析：【分析】根据不等式恒成立，得到在上恒成立，令函数，对其求导，判定其在区间上的单调性，得到在上恒成立，再令，利用导数的方法求出其最大值，即可得出结果.【详解】由在上恒成立，得：在上恒成立，易知当，时，令函数，则在上恒成立，则单调递增，故有，则在上恒成立，令，则，由得，所以时，则单调递增；时，则单调递减；故，则，所以.故答案为：.【点睛

13、】方法点睛：由不等式恒成立（或能成立）求参数时，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.14【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值进而利用导数可求得函数在区间上的最小值【详解】则当时对任意的恒成立此时函数在区间上单调递增且不合乎题意；当时解析：【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，根据该函数在区间上有且只有一个零点求得参数的值，进而利用导数可求得函数在区间上的最小值.【详解】，则.当时，对

14、任意的，恒成立，此时，函数在区间上单调递增，且，不合乎题意；当时，令，可得（舍）或.当时，此时函数单调递增；当时，此时函数单调递减.所以，解得，.，当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增.因此，函数在处取得极小值，亦即最小值，故.故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求解函数在区间上的最值，同时也考查了利用导数研究函数的零点，考查计算能力，属于中等题.15【分析】由函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设利用导数求得的单调性与最小值即可求解【详解】由题意函数则因为函数在区间上单调递增即在上恒成立即在上恒成立设则所以当时所以为单调递增函数所以函数解析：【分析】由函数在区间上单调递增，

15、即在上恒成立，即在上恒成立，设，利用导数求得的单调性与最小值，即可求解【详解】由题意，函数，则，因为函数在区间上单调递增，即在上恒成立，即在上恒成立，设，则，所以当时，所以为单调递增函数，所以函数的最小值为，所以【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性求参数问题，其中解答中把函数的转化为不等式的恒成立问题，利用导数求得新函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题162【分析】由对任意的恒成立得对任意的恒成立令利用导数研究函数的单调性在同一坐标平面内作出两个函数的图象求出过且与函数相切的直线在轴上的截距数形结合得答案【详解】解：由对任意的恒成立得对任意的恒成立令解析：2【

16、分析】由对任意的，恒成立，得对任意的，恒成立，令，利用导数研究函数的单调性，在同一坐标平面内作出两个函数的图象，求出过且与函数相切的直线在轴上的截距，数形结合得答案【详解】解：由对任意的，恒成立，得对任意的，恒成立，令，由，得当时，单调递增，当时，单调递减在同一平面直角坐标系内，作出函数与的图象如图：设过与相切的直线方程为，联立，消去得由，解得或当时，直线方程为由图可知，满足不等式对任意的，恒成立的实数的最大值为2故答案为：2【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题17【分析】设正项等比数列的公比为由等比数列前n项和公式结合等差数列的性

17、质可得由等比数列的性质可得进而可得令结合导数即可得的最大值即可得解【详解】设正项等比数列的公比为因为成等差数列当时不合题意；当时即解析：【分析】设正项等比数列的公比为，由等比数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，进而可得，令，结合导数即可得的最大值，即可得解.【详解】设正项等比数列的公比为，因为成等差数列，当时，不合题意；当时，即，化简得，又，所以，设，则，令可得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的综合应用，考查了换元法及利用导数求函数最值的应用，属于中档题.18【分析】设由题意得令则所以函数是增函数

18、原问题转化为恒成立然后利用参变分离法有恒成立运用配方法求出函数在上的最大值即可【详解】若对任意两个不相等的正实数都有恒成立不妨设所以即令则所以函数在单调递增则恒解析：【分析】设,由题意得，令，则，所以函数是增函数，原问题转化为恒成立，然后利用参变分离法，有恒成立，运用配方法求出函数在上的最大值即可【详解】若对任意两个不相等的正实数 都有恒成立,不妨设所以，即，令，则，所以函数在单调递增，则恒成立，所以恒成立， 又函数，当时，等号成立， 所以， 所以实数的取值范围是 故答案为：【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用，本题采用参变分离法，将其转化为函数的最值问题是解题的关键，考查学生的转化思想

19、、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题19【分析】当时利用导数法得到函数的单调性与极值再由时作出函数的大致图象令将问题转化为方程有两个不等根且即各有3个根求解【详解】当时所以当时递增当时递减所以当时取得最大值1又当时所以的大致图象如图所示：解析：【分析】当时，利用导数法得到函数的单调性与极值，再由时，作出函数的大致图象，令，将问题转化为方程有两个不等根，且即各有3个根求解.【详解】当时，所以，当时，递增，当时，递减，所以当时， 取得最大值1，又当时，所以的大致图象如图所示：令，则转化为方程有两个不等根，且各有3个根，方程在有两个不同的解，设，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要方程的根与函数的

20、零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值，还考查了转化化归思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于中档题.20【分析】由题意得存在使得即设问题转化为在上的最小值对求导后易得到在上单调递减在上单调递增于是从而得解【详解】解：因为在上有解所以存在使得即设问题转化为在上的最小值当时则在上单调递减当时则在上单调递增解析：【分析】由题意得，存在，使得，即，设，问题转化为在上的最小值，对求导后，易得到在上单调递减，在上单调递增，于是，从而得解【详解】解：因为在上有解，所以存在，使得，即，设，问题转化为在上的最小值，当时，则在上单调递减，当时，则在上单调递增，所以，所以，故答案为：【点睛】此题考查利用导数研

21、究函数的存在性问题，将问题转化为函数的最值问题是解此题的关键，考查转化思想和计算能力，属于中档题三、解答题21（1）；（2）.【分析】（1）先对函数求导，根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果；（2）先由（1）得到，导数的方法研究其单调性，进而可求出最值.【详解】（1）因为，所以，又函数在处取得极值7，解得；，所以，由得或；由得；满足题意；（2）又，由（1）得在上单调递增，在上单调递减，因此【点睛】方法点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，解题方法如下：（1）先对函数求导，根据题意，结合函数在某个点处取得极值，导数为0，函数值为极值，列出方程组，求得结果；（2）将所求参数代入，得到

22、解析式，利用导数研究其单调性，得到其最大值.22（1）；（2）.【分析】（1）求出导函数，在定义域内由得增区间；（2）分离参数得.设，由导数求得最大值即可得结论【详解】（1）当时，.由，令，得，所以的单调增区间为.（2）由，则.设，则.令，得，且当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当到时，取得最大值为，所以.【点睛】方法点睛：本题考查用导数求函数的单调区间，研究不等式恒成立问题不等式恒成立问题的解题方法通常是利用分离参数法分离参数，然后引入新函数，利用导数求得新函数的最值，则可得参数范围23（1）证明见解析；（2）【分析】（1）当时，求导得到，判断出函数的单调性，求出最值，可证得

23、命题成立；（2）当且时，不满足题意，故，又定义域为，讲不等式化简，参变分离后构造新函数，求导判断单调性并求出最值，可得实数的取值范围【详解】（1）函数的定义域为，当时，由，当时，单调递减；当时，单调递增；.且，故存在唯一的零点；（2）当时，不满足恒成立，故由定义域为，可得，令，则，则当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故当时，函数取得最大值（1），故实数的取值范围是【点睛】方法点睛：本题考查函数零点的问题，考查导数的应用，考查不等式的恒成立问题，关于恒成立问题的几种常见解法总结如下：1.参变分离法，将不等式恒成立问题转化为函数求最值问题；2.主元变换法，把已知取值范围的变量作为主元，把求取

24、值范围的变量看作参数；3.分类讨论，利用函数的性质讨论参数，分别判断单调性求出最值；4.数形结合法，将不等式两端的式子分别看成两个函数，作出函数图象，列出参数的不等式求解24（1）；（2）极大值为，无极小值；最小值为.【分析】（1）求出导数，根据题意有，解出代入解析式即可；（2）根据导数求出函数的单调区间，判定函数在区间上的单调性，根据极值定义求出函数的极值，比较端点函数值即可解出最小值.【详解】解：（1）函数求导得因为函数在点处的切线斜率为3，且时有极值所以解得所以函数的解析式为（2）由（1）可知所以当或时，单调递增; 当时，单调递减，则函数在上有极大值为，无极小值又因为 所以则函数在上的最

25、小值为.【点睛】求函数的极值或极值点的步骤：（1）求导数，不要忘记函数的定义域；（2）求方程的根；（3）检查在方程的根的左右两侧的符号，确定极值点或函数的极值.25（1）；（2）答案见解析.【分析】（1）先求出切点坐标，求出导函数，得到，再写出切线方程即可；（2）求出导函数，对分类讨论，判断函数的导数的符号，可得到函数的单调区间.【详解】（1）当时，切点， ，所以切线方程为，即.（2）， ，当，即时， ，函数单调递增；当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递减； ，当，即时， ，函数单调递减；当，即，或时， ，函数在每个区间上单调递增；综上所述，时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；时，的单

26、调递增区间为，单调递减区间为.【点睛】含参问题注意分类，找到合理的分类标准是解决本题的关键，是中档题26（I）；（）.【分析】（）当时，利用导数的几何意义求切线方程；（）首先求函数的导数，时，和，并讨论与0,1的大小关系，求实数的取值范围.【详解】（I）当时，. 所以， 所以， 因为. 所以切线方程为. （）函数的定义域为.因为 所以.令，即，解得或. （1）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x10极小值所以当时，取得极小值.所以成立. （2）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x100极大值极小值所以当时，取得极小值.所以成立. （3）当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，没有板小值，不成立.（4）当时，当x变化时，的变化状态如下表：x100极大值极小值所以当时，取得极大值.所以不成立. 综上所述，.【点睛】关键点点睛：本题考查根据极值点求的取值范围，本题容易求出导函数的零点和，但需讨论的范围，这是易错的地方，容易讨论不全面，需注意.