1、湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试文科数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1已知集合,则( )ABCD2复数的实部和虚部分别为( )A3,3B,3C3,D,3图像上相邻的最高点和最低点之间的距离是( )ABC2D4椭圆的焦点在轴上,中心在原点,其短轴上的两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )ABCD5已知函数,则( )A,使得B,C,使得D,使得6下图是某几何体的三视图,其正视图,侧视图均为直径为2的半圆,俯视图是直径为2的圆,则该几何体的表面积为( )ABCD7九章算术是我国古代
2、第一部数学专著,全书收集了246个问题及解法,其中一个问题为“现在一根据九节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面四节容积之和为3升,下面三节的容积之和为4升,求中间两节的容积各为多少?”则该问题中第2节,第3节,第8节竹子的容积之和为( )A升B升C升D升8某同学为实现“给定正整数,求最小的正整数,使得”,设计程序框图如下,则判断框中可填入( )ABCD9若,则的最大值与最小值之和是( )A0BC2D610函数的图像大致为( )ABCD11中,则的周长为( )ABCD12、分别是双曲线(,)的左顶点和右焦点,、在双曲线的一条渐近线上的射影分别为、,为坐标原点,与的面积之比为,则该双曲线的
3、离心率为( )A2BCD二、填空题(每小题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13等比数列的公比为,则_14空气质量指数(,简称)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照大小分为六级,050为优;51100为良;101150为轻度污染;151200为中度污染;201300为重度污染;大于300为严重污染某环保人士从当地某年的记录数据中,随机抽取10天的数据,用茎叶图记录如下根据该统计数据,估计此地该年大于100的天数约为_(该年为365天)15化简:_16矩形中,矩形内部一点,且,若,则的取值范围是_三、解答题(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满
4、分12分)已知数列为等差数列,其中,()求数列的通项公式;()记,设的前项和为求最小的正整数,使得18(本小题满分12分)某研究型学习小组调查研究“中学生使用智能手机对学习的影响”部分统计数据如下表:参考数据:参考公式: ,其中()试根据以上数据,运用独立性检验思想,指出有多大把握认为中学生使用智能手机对学习有影响?()研究小组将该样本中使用智能手机且成绩优秀的4位同学记为组,不使用智能手机且成绩优秀的8位同学记为组,计划从组推选的2人和组推选的3人中,随机挑选两人在学校升旗仪式上作“国旗下讲话”分享学习经验求挑选的两人恰好分别来自、两组的概率19(本小题满分12分)如图,以、为顶点的六面体中
5、,和均为等边三角形,且,()求证:;()求此六面体的体积20.(本小题满分12分)已知的动圆恒与轴相切,设切点为B,AC是该圆的直径()求点轨迹的方程;()当不在轴上时,设直线与曲线交于另一点,该曲线在处的切线与直线交于点求证:恒为直角三角形21(本小题满分12分)已知函数,为实常数()设,当时,求函数的单调区间;()当时,直线、(,)与函数、的图像一共有四个不同的交点,且以此四点为顶点的四边形恰为平行四边形求证:请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分22(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半
6、轴为极轴的坐标系中,曲线的方程为(为常数)()求曲线,的直角坐标方程;()设点是上到轴距离最小的点,当过点时,求23(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知()当时,求的最小值;()若不等式的解集非空,求的取值范围湖南省长沙市2017届高三年级统一模拟考试文科数学试卷答 案一、选择题15CBACB610AACCA1112CD二、填空题13141461516三、解答题17解:(1)设等差数列的公差为,依题意有,(3分)解得,从而的通项公式为,;(6分)(2)因为,所以(9分)令,解得,故取(12分)18解:(1)根据卡方公式求得,因为所以该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对
7、学习有影响(4分)(2)记组推选的两名同学为,组推选的三名同学为,则从中随机选出两名同学包含如下10个基本事件:,(7分)记挑选的两人恰好分别来自A,B两组为事件,则事件包含如下6个基本事件:,(9分)故即挑选的两人恰好分别来自A,B两组的概率是(12分)19解:(1)作,交于,连结因为,所以,又因为,从而(3分)因为是边长为2的等边三角形,所以,因此,于是四边形为平行四边形,所以,因此(6分)(2)因为是等边三角形,所以是中点,而是等边三角形,因此,由平面,知,从而平面,又因为,所以,因此四面体的体积为,(9分)四面体的体积为,而六面体的体积四面体的体积四面体的体积故所求六面体的体积为2(1
8、2分)20. 解:(1)设点坐标为,则点坐标为因为是直径,所以,或、均在坐标原点因此,而,故有,即,(3分)另一方面,设是曲线上一点,则有,中点纵坐标为,故以为直径的圆与轴相切综上可知点轨迹的方程为(5分)(2)设直线的方程为,由得:设 ,则有(8分)由对求导知,从而曲线E在P处的切线斜率,直线的斜率,(10分)于是因此所以恒为直角三角形(12分)21解:(1),其定义域为而,(2分)当时,故的单调递增区间为,无单调递减区间(4分)(2)因为直线与平行,故该四边形为平行四边形等价于且,(6分)当时,(),则令则,故在上单调递增;(9分)而,故时,单调递减;时,单调递增;而,故,或,所以(12分)22解:(1)由知,故曲线的直角坐标方程为: 将,代入知曲线的直角坐标方程为(5分)(2)曲线是圆心为,半径为1的圆,故P点坐标为,代入求得(10分)23解:(1)当时,故的最小值为2,当且仅当时取到最小值(5分)(2),若不等式的解集非空,则,即,因此,所有的取值范围是(10分)
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