1、极限与连续01sinlim0 xxx00（一）（一）函数极限函数极限数列极限数列极限nxxx，21,nx)(nfxn nx数列极限定义：数列极限定义：一数列一数列 ，若当，若当n n无限增大时，无限增大时，无限趋近某个固定常数无限趋近某个固定常数A A，则称当，则称当n n趋趋于无穷时，数列于无穷时，数列 以以A A为极限。为极限。记为记为nxnxnxAxnn lim函数极限函数极限记为记为注意：注意：1 1、以上是一个符号系统，构成极限定义，、以上是一个符号系统，构成极限定义，缺一不可；缺一不可；2 2、极限过程、极限过程xx是指是指 xxxx0 0,xx,xx0 0 ,xx,xx0 0 ,
2、x,x,x x,x,x中的一种。中的一种。)(xfy x)(xfAxfox)(limx)(xfy 3 3、极限存在的充要条件极限存在的充要条件 010)(xxxxf0lim)(lim00 xxfxx11lim)(lim00 xxxf )(10lim0)(0)(0limxfxxxfxfxx xxxsin12）。，（0limlimlim BBAvuvunnnAuu lim 两个重要极限推广形式两个重要极限推广形式”型）”型）属“属“（）（）（）（）（）（）001sinlim0(”型）”型）属“属“（）（）（）（）（）（）1)11(lim(ee （）（）（）（）（）（）10)1(lim（二）连续与间
3、断（二）连续与间断)()(0lim0 xfxfxx 2 2、间断点、间断点 函数的不连续点称为间断点函数的不连续点称为间断点11)(2 xxxxf 00013)(2xxxxxf 0001sin)(xxxxf例：求下列函数的间断点例：求下列函数的间断点1、2、3、解：解：1 1、x=1 x=1（无定义）（无定义）2 2、x=0 x=0（极限不存在）（极限不存在）3 3、x=0 x=0（极限值不等于函数值）（极限值不等于函数值）0lim0 xxxx)()()(limlim000 xfxfxfxxxx 1ln)1(limln)1(lnlim)1ln(1lim10100 exxxxxxxxx具体计算时
4、要注意上述法则或方法成立的条件，具体计算时要注意上述法则或方法成立的条件，否则会在运算中出现错误。否则会在运算中出现错误。15510)13()21()13(lim xxxx解：解：当当 时分式的分子、分母的极限都时分式的分子、分母的极限都不存在，不能用极限的除法法则不存在，不能用极限的除法法则 x551551032)13()21()13(lim xxxxxxx2sin11lim0 解：解：当当 时分式的分子、分母的极限都时分式的分子、分母的极限都为为0 0，且分子中含有无理根式。遇到此情形需，且分子中含有无理根式。遇到此情形需先将根式有理化先将根式有理化 0 x1245lim224 xxxxx
5、3 3、解：当时分式的分子、分母的极限都为解：当时分式的分子、分母的极限都为0 0，且，且分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到分式的分子、分母均为的二次多项式，遇到此情形需先分解因式，消去极限为零的因式此情形需先分解因式，消去极限为零的因式再用除法法则再用除法法则 733414)3()1(lim)4)(3()4)(1(lim1245lim44224 xxxxxxxxxxxxxxxxx)11(lim 4 4、解：先进行恒等变形，在利用第解：先进行恒等变形，在利用第2 2个重要极限个重要极限 21)11()11(lim)1111(lim)11(limeeexxxxxxxxxxxxx xxxtanlim05 5、解：利用第一个重要极限解：利用第一个重要极限 111cos1sinlimtanlim00 xxxxxxx对照练习对照练习1 1、求下列极限、求下列极限 1082)13()12()1(lim xxxxxxxx 123lim1xxxxxxx62lim23232 1)21(lim xxx1 1、2 2、3 3、4 4、91)32(8 1 1、472 2、533 3、4 4、e2
