（高中数学）第5章-5.3.1-函数的单调性.doc

1、5.3导数在研究函数中的应用5.3.1函数的单调性素养目标学科素养1.理解导数与函数单调性的关系(重点)2掌握利用导数判断或证明函数单调性的方法(重点)3掌握利用导数求函数单调区间的方法(难点)4理解函数图象与其导函数图象之间的关系(重点、难点)1.数学抽象；2逻辑推理；3直观想象；4数学运算情境导学研究股票时，我们最关心的是股票曲线的发展趋势(走高或走低)，以及股票价格的变化范围(封顶或保底)从股票走势曲线图来看，股票有升有降我们知道，股票走势曲线的变化趋势可以看作函数曲线的单调性，能否用导数研究函数的单调性呢？1函数的单调性与其导数的关系(1)在某个区间(a，b)上，如果f(x)0，那么函

2、数yf(x)在区间(a，b)上单调递增；在某个区间(a，b)上，如果f(x)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减(2)判断函数yf(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数f(x)的零点；第3步，用f(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f(x)在各区间上的正负，由此得出函数yf(x)在定义域内的单调性2导数的绝对值与函数值变化的关系一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”判断(正确的打“”，错误的打

3、“”)对于函数yf(x)，(1)在区间I上，若f(x)0.()提示：f(x)0也有可能，如yx3.(3)函数f(x)在(a，b)内变化得越快，其导数就越大()提示：f(x)在(a，b)内变化得越快，说明其导数的绝对值越大1函数yf(x)的图象如图所示，则在区间(1,3)内，有()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 Df(x)的符号不确定B解析：在区间(1,3)内，函数yf(x)的图象是下降的，函数单调递减，所以f(x)0，解得x.故x时，f(x)是减函数；x时，f(x)是增函数3函数y3xx3的单调增区间为()A(0，) B(，1)C(1,1) D(1，)C解析：y33x2，令y0，得1x

4、1，即函数的单调增区间为(1,1)4函数f(x)2x39x212x1的单调减区间为()A(1,2) B(2，)C(，1) D(，1)和(2，)A解析：f(x)6x218x12，令f(x)0，得1x0，y0恒成立yxln x的单调递增区间为(0，)(2)解：f(x)的定义域为(0，)f(x)2ax(2a).若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，由f(x)0得x，且当x时，f(x)0；当x时，f(x)0(或f(x)0或f(x)0，在(0,1)上，y0，故A，B，D均不符合题意；对于C，当x(1,1)时，y0得0.又x0，解得x.由f(x)0得0，解得0x，所以函数f(x)3

5、x22ln x的单调递增区间是，单调递减区间是.【例2】设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个平面直角坐标系中，错误的是()D解析：对于A，若曲线C1为函数f(x)的图象，由于函数在(，0)内是单调递减的，所以f(x)0，故f(x)的图象在x轴的上方，因此A符合题意同理，B，C中若C2为f(x)的图象，C1为f(x)的图象也符合题意对于D，若曲线C1为函数f(x)的图象，则函数f(x)在(，)内是单调递增的，与曲线C2不相符；若曲线C2为函数f(x)的图象，则函数f(x)在(，)内是单调递减的，与曲线C1不相符解决函数与其导函数的图象关系问题时，要抓住各自的

6、关键要素，对于原函数，要重点观察其图象在哪个区间内上升或下降，而对于导函数，则应观察其函数值在哪个区间内大于零、小于零，并且这些区间与原函数的单调区间是否一致若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是()A解析：A，B，C，D图象均为增函数，故导函数是大于0的，但由题中叙述知导函数在a，b上是增函数，说明原函数yf(x)的图象越来越“陡峭”，A选项符合探究题1若函数f(x)x3ax1在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围解：由已知得f(x)3x2a.f(x)在(，)上是增函数，f(x)3x2a0在(，)上恒成立即a3x2对xR恒成立3x20，只

7、要a0.当a0时，f(x)x31在R上单调递增故a的取值范围为(，0探究题2若函数f(x)ax33x2x1在R上单调递减，求实数a的取值范围解：f(x)3ax26x1，依题意知3ax26x10在R上恒成立显然当a0时不满足题意因此解得a3.而当a3时，f(x)3x33x2x133在R上单调递减故a的取值范围为(，3探究题3若函数f(x)在区间(m，4m1)内单调递增，求实数m的取值范围解：函数定义域为R，f(x)，令f(x)0，得2x2，即f(x)的增区间为(2，2)又f(x)在区间(m,4m1)内单调递增，解得0)令解得x(0,1因此函数yx2ln x的单调递减区间为(0,1故选B2函数yx

8、2(x3)的单调递减区间是()A(，0) B(2，)C(0,2) D(2,2)C解析：yx2(x3)x33x2，y3x26x.令3x26x0，得0x2，故函数的单调递减区间是(0,2)故选C3下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Aysinx ByexxCyx3x Dyln xxB解析：选项A，ysinx显然在(0，)内不是增函数；选项B，yexx，则yex10在x(0，)时恒成立，所以yexx在(0，)内是增函数；选项C，yx3x，y3x213，当x时，y0，此时函数单调递减，所以错误；选项D，yln xx，y1，当x(1，)时，y0，此时函数单调递减故选B4若函数yf(x)的图象如下图所

9、示，则函数yf(x)的图象有可能是() A解析：由f(x)的图象可知：在(，0)上，f(x)单调递减，所以当x(，0)时，f(x)0.故选A5已知定义在R上的奇函数f(x)的导函数f(x)0，若f(a25a)f(6)，则实数a的取值范围为_2,3解析：由f(x)0，得f(x)在R上为增函数，由f(a25a)f(6)，得a25a6，即a25a60，解得2a3.6已知函数f(x)x33x29x2，求：(1)函数yf(x)的图象在点(0，f(0)处的切线方程；(2)f(x)的单调递减区间解：(1)f(x)3x26x9，f(0)9，f(0)2，所以切点为(0，2)，切线方程为y9x2，即9xy20.(

10、2)f(x)3x26x93(x1)(x3)，令f(x)0，解得x3，f(x)的单调递减区间为(，1)和(3，)1利用求导方法讨论函数的单调性要注意以下几个方面：f(x)0是f(x)递增的充分不必要条件(f(x)0(或f(x)0)的解集；在证明不等式时，可以构造函数确定其定义域，再利用求导的方法求最值来证明2已知函数f(x)是增函数(或减函数)，求函数解析式中参数的取值范围时，应令f(x)0(f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围，然后再检验端点处的参数值能否使f(x)恒等于零若恒等于零，则应舍去这个参数的值；若f(x)不恒等于零，则其符合题意 课时分层作业(十七)函数的单调性(60分钟110分

11、)知识点1利用导数判断函数的单调性或求单调区间1(5分)已知函数f(x)x，则f(x)在(0，)上的单调性为()Af(x)在(0，)上单调递增Bf(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减Cf(x)在(0，)上单调递减Df(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增C解析：因为f(x)10，即8x310，x.原函数的单调递增区间是.3(5分)函数yx2ln x的单调递减区间为()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)B解析：该函数的定义域为(0，)，由yx0，得00，且f(a)0，则在(a，b)内有()Af(x)0 Bf(x)0，得f(x)在(a，b)上是增函数当x(a，b)

12、时，f(x)f(a)0.知识点2函数图象与其导函数图象之间的关系5(5分)已知函数yf(x)的图象如图所示，则其导函数yf(x)的图象可能是()A解析：对于A，随着x的递增yf(x)的符号变化情况依次为大于零、小于零、大于零、小于零，反映在函数yf(x)的图象上，即得yf(x)的单调性变化情况为增、减、增、减，区间端点也大致吻合，故A正确6(5分)已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的图象最有可能是()A解析：由f(x)的符号易判断选A7(5分)已知f(x)是f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()D解析：从f(x)的图象可以看出，在大致

13、区间内是单调递增的，在内是单调递减的，所以原函数f(x)的图象应在内越来越陡，在内越来越平缓，只有D选项吻合知识点3由函数的单调性求参数的范围8(5分)函数yax3x在(，)上是减函数，则()Aa Ba1Ca2 Da0D解析：y3ax21，又函数在(，)上是减函数，y0恒成立，a0.当a0时，y1，满足题意故a0.9(5分)函数f(x)ax3bx2cxd(a0)在(，)上是单调递减的，则下列各式中成立的是()Aa0，b23ac0Ba0，b23ac0Ca0，b23ac0Da0，b23ac0D解析：f(x)3ax22bxc(a0)函数在(，)上为递减的，f(x)0在(，)上恒成立a0.12.(5分

14、)如果函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x)0，f(x)0，那么函数yxf(x)在(0，)上()A没有单调性 B无法确定单调性C是增函数 D是减函数C解析：yxf(x)xf(x)f(x)xf(x)，又x0，f(x)0，f(x)0，y0.函数yxf(x)在(0，)上是增函数13(5分)已知函数yf(x)(xR)图象上任一点(x0，f(x0)处的切线斜率k(x02)(x01)2，则该函数的单调递减区间为()A1，) B(，2C(，1)和(1,2) D2，)B解析：令k0得x02，由导数与函数单调性的关系可知，函数的单调递减区间为(，214(5分)已知函数f(x)ln x，则有()Af(2)f(

15、e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0，f(x)是(0，)上的增函数又2e3，f(2)f(e)f(3)15(5分)已知函数yxf(x)的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图象大致是()C解析：当0x1时，xf(x)0，f(x)1时，xf(x)0，f(x)0，yf(x)在(1，)上为增函数，只有C项吻合.16.(5分)若函数f(x)x3ax8的单调减区间为(5,5)，则a的值为_75解析：f(x)3x2a，且f(x)0的解为5x5，352a0，a75.17.(10分)已知yx3bx2(b2)x3在R上不是单调增函数

16、，求b的取值范围解：若yx22bxb20恒成立，则4b24(b2)0，解得1b2，由题意知y0不恒成立，故b2，所以b的取值范围为(，1)(2，).18.(10分)已知函数f(x)axln x，若f(x)1在区间(1，)内恒成立，求实数a的取值范围解：由已知得a在(1，)内恒成立，设g(x)，则g(x)1)g(x)在(1，)内递减，g(x)g(1)g(1)1，0，且a1)的单调性解：函数f(x)loga(3x25x2)的定义域为(，2)，又f(x)(6x5)，若a1，则当x时，logae0,6x50，(3x1)(x2)0，f(x)0，函数f(x)在上是增函数；当x2时，f(x)0，函数f(x)在(，2)上是减函数若0a时，f(x)0，函数f(x)在上是减函数；当x0，函数f(x)在(，2)上是增函数