福建省福州市高考数学下学期3月适应性测试试题理.doc

1、福建省福州市2020届高考数学下学期3月适应性测试（线上）试题 理（完卷时间120分钟；满分150分）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷1至2页，第卷3至5页注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名2. 第卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号第卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效3. 考试结束，考生必须将答题卡交回第卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点与对

2、应的点关于实轴对称，则ABCD2. 已知集合，若，则实数ABCD3. 已知两个单位向量，若，则的夹角为ABCD4. 一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是A这组新数据的平均数为B这组新数据的平均数为C这组新数据的方差为D这组新数据的标准差为5. 已知平面平面，直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6. 若，则ABCD7. 若，则ABC或D或8. 抛物线的焦点为，点为上的动点，点为的准线上的动点，当为等边三角形时，其周长为AB2CD9. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，的部分图象如图所示，则A.为

3、为为B.为为为C.为为为D.为为为10. 射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，结果精确到0.001）ABCD11. 已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为ABCD12. 在三棱锥中，底面，是线段上一点，且三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，

4、若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为ABCD第卷注意事项：用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答在试题卷上作答，答案无效二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13. 曲线在点处的切线方程为_14. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为_15. 已知的内角的对边分别为若，则角大小为_16. 已

5、知函数是定义在上的偶函数，且，都有,则不等式的解集为_三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. （本小题满分12分）已知数列满足，设（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18. （本小题满分12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图（1）求的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组

6、中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.82819. （本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.20. （本小题满分12分）已知椭圆()的离心率为，以的短轴为直径的圆与直线相切（1）求的方程；（2）直线交于，两点，且已知上存在点，使得是

7、以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值21. （本小题满分12分）已知函数（1）求函数的极值点；（2）当时,当函数恰有三个不同的零点,求实数的取值范围.（二）选考题：共10分请考生在第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22. （本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程已知直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围23. （本小题满分10分）选修：不等式选讲已知，且（1

8、）求的取值范围；（2）求证：福州市2020届高三毕业班适应性练习卷数学(理科)详细解答及评分细则评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

9、只有一项是符合题目要求的24. 在复平面内，复数对应的点与对应的点关于实轴对称，则ABCD【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及其几何意义等基础知识，意在考查直观想象、数学运算的数学核心素养【答案】A【解析】由题得,所以.故选A.25. 已知集合，若，则实数ABCD【命题意图】本题主要考查集合的概念与运算、解方程等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养【答案】C【解析】因为，所以直线与直线平行，所以.故选C.26. 已知两个单位向量，若，则的夹角为ABCD【命题意图】本题主要考查平面向量的概念及运算等基础知识，意在考查逻辑推理，数学运算，直观想象的数学核心素养【答案】B【解析】

10、因为，所以，所以，所以，又因为，所以，故选B.27. 一组数据的平均数为，方差为，将这组数据的每个数都乘以得到一组新数据，则下列说法正确的是A这组新数据的平均数为B这组新数据的平均数为C这组新数据的方差为D这组新数据的标准差为【命题意图】本题主要考查统计和统计量的理解等基础知识，意在考查数据分析等数学核心素养【答案】D【解析】由题意知：这组新数据的平均数为，方差为，标准差为.故选D28. 已知平面平面，直线，则“”是“”的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及其相互转化等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数

11、学抽象的数学核心素养【答案】C【解析】若，则根据面面垂直的性质定理可得；若，则由，可得.故选C.29. 若，则ABCD【命题意图】本题主要考查指数、对数、幂的运算及性质等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养【答案】B【解析】，所以，故.故选B.30. 若，则ABC或D或【命题意图】本题主要考查三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算的数学核心素养【答案】D【解析】由得,所以,所以或,故或.故选D.31. 抛物线的焦点为，点为上的动点，点为的准线上的动点，当为等边三角形时，其周长为AB2CD【命题意图】本题主要考查抛物线的概念与性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，意在

12、考查直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养【答案】D【解析】方法一、因为为等边三角形，所以垂直的准线于，易知，因为，所以，所以的周长为，故选D.方法二、因为为等边三角形，所以垂直的准线于，设，则，所以，又因为，且，所以，解得，所以，所以的周长为，故选D.32. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数，的部分图象如图所示，则A.为为为B.为为为C.为为为D.为为为【命题意图】本题主要考查三角函数的图象和性质等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养【答案】A【解析】，的最大值分别为，1，1，由于图象的最大值最大，故为；，的最小正周期分别为，图象的最小正周期比小，故为，为，故

13、选A.33. 射线测厚技术原理公式为，其中分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数工业上通常用镅241（）低能射线测量钢板的厚度.若这种射线对钢板的半价层厚度为0.8，钢的密度为7.6，则这种射线的吸收系数为（注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，结果精确到0.001）ABCD【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质，在物理背景下考查学生的创新意识和应用意识，意在考查逻辑推理，数学运算，数学建模的数学核心素养【答案】C【解析】依题意得，所以，所以，故选C.34. 已知双曲线的一条渐近线方程为，是上关于原点对称的

14、两点，是上异于的动点，直线的斜率分别为，若，则的取值范围为ABCD【命题意图】本题主要考查双曲线的概念与性质、直线和双曲线的位置关系等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养【答案】A【解析】双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为：,设，则,所以，即，.故选A.35. 在三棱锥中，底面，是线段上一点，且三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为ABCD【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，球体与截面等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养【答案】C【解析】将三棱锥补成直

15、三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球，记三角形的中心为，设球的半径为，则球心到平面的距离为，即，连接，则，在中，取的中点为，连接，则，所以在中，由题意得到当截面与直线垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为，则，所以最小截面圆的面积为，当截面过球心时，截面面积最大为，所以，球的表面积为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.36. 曲线在点处的切线方程为_【命题意图】本题主要考查函数与导数和导数几何意义等基础知识，意在考查逻辑推理、直观想象、数学运算的数学核心素养【答案】【解析】因为，所以，所以在点处的切线方程为，即.37. 勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的曲线，它是由德国机械工程

16、专家、机构运动学家勒洛首先发现，其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形如图中的两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，若从大的勒洛三角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为_【命题意图】本题主要考查概率与几何概型、平面几何等基础知识，考查阅读能力与应用意识和创新能力，意在考查数学建模、数学运算和逻辑推理的数学核心素养【答案】【解析】设图中的小的勒洛三角形所对应的等边三角形的边长为，则小勒洛三角形的面积为，因为大小两个勒洛三角形，它们所对应的等边三角形的边长比为，所以大勒洛三角形的面积为，若从大的勒洛三

17、角形中随机取一点，则此点取自小勒洛三角形内的概率为38. 已知的内角的对边分别为若，则角大小为_【命题意图】本题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象的数学核心素养【答案】【解析】因为所以所以所以因为，所以，则，所以，又，则，因为，所以，故39. 已知函数是定义在上的偶函数，且，都有,则不等式的解集为_【命题意图】本题主要考查函数的概念与性质及其应用、解不等式等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算和直观想象的数学核心素养【答案】【解析】因为函数是定义在上的偶函数，所以关于轴对称，由向左平移个单位得到，所以关于直线对称.，且，都有,所以在上单调递增，所以在

18、上单调递减，因为，且，所以，所以，解得，所以原不等式的解集为.三、解答题：本大题共6小题，共70分40. （本小题满分12分）已知数列满足，设（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和【命题意图】本题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算等数学核心素养满分12分【解析】方法一：（1）因为且，所以，2分又因为，3分所以是以2为首项，以2为公差的等差数列4分所以6分（2）由（1）及题设得，7分所以数列的前项和9分11分12分方法二：（1）因为，所以，又因为，所以，1分即，3分又因为，3分所以是以2为首项，以2为公差的等差数列4分所以6分（2）略，同方法一.41. （

19、本小题满分12分）为抗击新型冠状病毒，普及防护知识，某校开展了“疫情防护”网络知识竞赛活动.现从参加该活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，得到如图所示的频率分布直方图（1）求的值，并估计这100名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”请将下面的22列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？优秀非优秀合计男生40女生50合计100参考公式及数据：.0.050.010.0050.0013.8416.63

20、57.87910.828【命题意图】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养满分12分【解析】（1）由题可得，2分解得3分因为，所以估计这100名学生的平均成绩为74.5分（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，比赛成绩优秀的有人，由此可得完整的列联表：优秀非优秀合计男生女生合计7分的观测值，10分有的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”12分42. （本小题满分12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻

21、辑推理与数学运算的数学核心素养满分12分【解析】方法一：（1）依题意，且，1分四边形是平行四边形，2分，3分平面，平面，平面4分（2）平面，且为的中点，平面且，平面，5分以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，取，则.7分设平面的法向量为，则，取，则.9分，11分设二面角的平面角为，则，二面角的正弦值为.12分方法二：（1）证明：连接交于点，因为四边形为平行四边形，所以为中点，又因为四边形为菱形，所以为中点，2分在中，且，3分平面，平面，平面.4分（2）略，同方法一.43. （本小题满分12分）已知椭圆()的离心率为，以的短轴为直径的圆与直

22、线相切（1）求的方程；（2）直线交于，两点，且已知上存在点，使得是以为顶角的等腰直角三角形，若在直线的右下方，求的值【命题意图】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算满分12分.【解析】（1）依题意，2分因为离心率，所以，解得，4分所以的标准方程为5分（2）因为直线的倾斜角为，且是以为顶角的等腰直角三角形，在直线的右下方，所以轴，6分过作的垂线，垂足为，则为线段的中点，所以，故，7分所以，即，整理得8分由得.所以，解得，9分所以，10分由得，将代入得，11分将代入得，解得.综上，的值为.12分44.

23、（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的极值点；（2）当时,当函数恰有三个不同的零点,求实数的取值范围.【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、函数零点等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分12分.【解析】（1）因为所以，所以,1分当时，,所以函数无极值点；2分当时,令，解得.由,解得;由,解得.故函数有极大值点，无极小值点.4分综上，当时，函数无极值点；当时,函数有极大值点，无极小值点.5分（2）当时,，所以,设，则当即时,，所以在单调递减，所以不可能有三个不同的零点；6分当即时，有两个零点,所以又因为开口向下，当时,所以在上单调递减；当时,，所以在上单调递

24、增；当时,，所以在上单调递减.7分因为，又，所以，8分令则.令，则单调递增.当时，所以在单调递减，所以即，所以在单调递增，所以，即.由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点.10分又，所以.11分所以，所以在区间上有唯一的一个零点,故当时,存在三个不同的零点.故实数的取值范围是.12分（二）选考题：共10分请考生在第22，23两题中任选一题作答如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑45. （本小题满分10分）选修：坐标系与参数方程已知直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）写出的

25、普通方程和的直角坐标方程；（2）设点为上的任意一点，求到距离的取值范围【命题意图】本题主要考查直线的参数方程、曲线直角坐标方程、极坐标方程的互化，圆的极坐标方程等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分10分.【解析】（1）的普通方程为，即2分的直角坐标方程为，即5分（2）由（1）知，是以为圆心，半径的圆，圆心到的距离，7分所以直线与圆相离，到距离的最小值为；8分最大值为，9分所以到距离的取值范围为10分46. （本小题满分10分）选修：不等式选讲已知，且（1）求的取值范围；（2）求证：【命题意图】本题主要考查配方法、基本不等式和不等式证明等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养满分10分.【解析】（1）依题意，故1分所以，3分所以，即的取值范围为5分（2）因为，所以7分，8分9分又因为，所以10分