1、2.2.2向量的正交分解与向量的正交分解与向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算1.向量的直角坐标1.如果两个向量的如果两个向量的基线互相垂直基线互相垂直，则称这两，则称这两个个向量互相垂直向量互相垂直;2.如果两个基向量如果两个基向量e1、e2互相垂直，则称互相垂直，则称e1，e2 为为正交基底正交基底3.若向量若向量e1、e2为为单位正交基底单位正交基底,且且则称则称(x，y)为为向量向量a的坐标的坐标.12xyaee 在坐标平面在坐标平面xOy内，任做一向量内，任做一向量a，由平面，由平面向量基本定理可知，存在唯一有序实数对向量基本定理可知，存在唯一有序实数对(a1,a2)，使得，使得a=
2、a1e1+a2e2，(a1,a2)就是向量就是向量a在基底在基底e1,e2下的坐标，下的坐标，即即a=(a1,a2).0=(0,0)，e1=(1,0)，e2=(0,1).设向量设向量a=(a1,a2)，a 的方向相对于的方向相对于x轴正轴正方向的转角为方向的转角为，由三角函数定义知，由三角函数定义知 a1=|a|cos,a2=|a|sin 例例1.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，向量中，向量a，b，c的方的方向和长度如图所示，分别求它们的坐标。向和长度如图所示，分别求它们的坐标。(2,2),3 3 3(,)22(2 3,2)abc2.向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算设设a=(a1,a2)
3、,b=(b1,b2),求求a+b的值。的值。a+b=(a1e1+a2e2)+(b1e1+b2e2)=(a1+b1)e1+(a2+b2)e2，即即a+b=(a1+b1，a2+b2).用同样的方法可以证明用同样的方法可以证明ab=(a1b1，a2b2),a=(a1,a2)=(a1,a2）说明说明：两个向量的和与差的坐标等于两个向量的两个向量的和与差的坐标等于两个向量的相应坐标的和与差；相应坐标的和与差；数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应数乘向量的积的坐标等与数乘以向量相应坐标的积。坐标的积。例例2.已知已知A(x1,y1）,B(x2,y2),求向量求向量 的坐标的坐标.AB解：解：ABOBOA
4、=(x2,y2)(x1,y1)=(x2x1，y2y1)。说明：一个向量的坐标等于说明：一个向量的坐标等于向量终点的坐向量终点的坐标减去始点的坐标标减去始点的坐标。例例3.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，已知点中，已知点A(x1,y1),B(x2,y2),求线段求线段AB中点的坐标。中点的坐标。解：设解：设M(x,y)是线段是线段AB的中点，则的中点，则 1()2OMOAOB 11221(,)(,)(,)2x yx yxy1212,22xxyyxy例例3得到的公式，得到的公式，叫做线段中点的叫做线段中点的坐标公式，简称坐标公式，简称中点公式。中点公式。例例4.在直角坐标系在直角坐标系xOy中，
5、已知点中，已知点A(3,2),B(2，4)，求向量，求向量 的方向和长度的方向和长度.OAOB 解：解：OCOAOB =(3,2)+(2，4)=(1,6).|1 3637OC tan6=arctan 6 例例5.已知已知ABCD的三个顶点的三个顶点A(2,1)、B(1,3)、C(3,4)，求顶点，求顶点D的坐标。的坐标。解：解：ODOAADOABCOAOCOB =(2,1)+(3,4)(1,3)=(2,2)所以所以D点的坐标是点的坐标是(2,2).例例6.已知已知A(2，1)，B(1，3)，求线段，求线段AB中中点点M和三等分点坐标和三等分点坐标P，Q的坐标的坐标.解：解：(1)求中点求中点M
6、的坐标，利用例的坐标，利用例3得到的公得到的公式可知式可知M(，2)21(2)因为因为 =(1，3)(2，1)=(3，2)ABOBOA 131 (2,1)(3,2)35 (1,)3OPOAAB 232 (2,1)(3,2)37 (0,)3OQOAAB 练习练习1.设向量设向量a=(1,3)，b=(2,4)，c=(1,2)，若表示向量，若表示向量4a、4b2c、2(ac)、d的的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为为 .解：解：4a+(4b2c)+2(ac)+d=0,所以所以d=6a4b+4c=(2,6).2.设点设点P在平面上做匀速直线运动在平面上做匀速直线运动,速度向量速度向量 ,设起始设起始P(10,10),则则5秒钟后点秒钟后点P的坐标为的坐标为().(4,3)v 解：解：5秒种后，秒种后，P点坐标为点坐标为 (10,10)+5(4,3)=(10,5).3.设设A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)满足满足(1)为何值时为何值时,点点P在直线在直线y=x上上?(2)设点设点P在第三象限在第三象限,求求的范围的范围.APABAC 解解:(1)设设P(x,y)，则，则 (x2,y3)=(3,1)+(5,7),所以所以x=5+5，y=7+4.21解得解得=(2)由已知由已知5+50,7+40,所以所以1.
