剪力图弯矩图例题.docx

1、第 6 章典型习题解析1. 简支梁受力如图a 所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（1）求支座反力由平衡方程m3B= 0 和m1A= 0 分别求得R =ql ， RA8B=ql8利用平衡方程 y = 0 对所求反力进行校核。（2）建立剪力方程和弯矩方程以梁的左端为坐标原点，建立x 坐标，如图a 所示。因在C 处分布载荷的集度发生变化，故分二段建立剪力方程和弯矩方程。AC 段：3lQ (x) =ql - qx(0 x )18231lM (x) =qlx -qx 2(0 x )18221lCB 段：Q2(x) = -ql( x l) 821lM (x) =ql(l - x)

2、( x l)2823求控制截面内力，绘Q 、 M 图Q 图：AC 段内，剪力方程Q (x) 是 x 的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截131面的剪力值，Q=ql ， Q= -ql ，分别以a、c 标在Q - x 坐标中，连接a、c 的直A右8C左8线即为该段的剪力图。 CB 段内，剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值，例如1Q= -ql ，连一水平线即为该段剪力图。梁AB 的剪力图如图b 所示。B左8M 图：AC 段内，弯矩方程M11(x) 是 x 的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，求出两个端截面的弯矩， MA= 0 ， MC=ql 2 ，分别以 a、c 标在 M - x 坐标中。

3、由剪力图知在 d 点16339处Q = 0 ，该处弯矩取得极值。令剪力方程Q (x) = 0 ，解得 x =l ，求得 M181( l) =8128ql 2 ，以 d 点标在M - x 坐标中。据 a、d 、c 三点绘出该段的弯矩图。CB 段内，弯矩方程M(x)2是 x 的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，以c、b 标在 M - x 坐标中，并连成直线。AB梁的 M 图如图c 所示。2. 梁的受力如图a 示，利用微分关系作梁的Q 、 M 图。解：（1）求支座反力由平衡条件mB= 0 和mA= 0 分别求出利用平衡条件 y = 0R = 10 KN ， RAB进行校核。= 5 KN（2） 分段确

4、定曲线形状由于载荷在A、D 处不连续，应将梁分为三段绘内力图。根据微分关系 dQ = q 、 dM= Q 和 d 2 M= q ，CA 和 AD 段内， q = 0 ，剪力图为水dxdxdx 2平线，弯矩图为斜直线；DB 段内， q = 常数，且为负值，剪力 为斜直线， M 图为向上凸的抛物线。（3） 求控制截面的内力值，绘Q 、 M 图Q 图： QC右= -3 KN ， QA右= 7 KN ，据此可作出 CA 和 AD 两段Q 图的水平线。Q= 7 KN ， QD右B左= -5 KN ，据此作出DB 段Q 图的斜直线。M 图：MC= 0 ，MA左= -1.8 KN m ，据此可以作出CA 段

5、弯矩图的斜直线。A 支座的约束反力 RA只会使截面 A 左右两侧剪力发生突变， 不改变两侧的弯矩值， 故M= MA左A右= M= -1.8 KN m ，MAD左= 2.4 KN m ，据此可作出 AD 段弯矩图的斜直线。D 处的集中力偶会使D 截面左右两侧的弯矩发生突变，故需求出MD右= -1.2 KN m ，M= 0 ；由 DB 段的剪力图知在 E 处Q = 0 ，该处弯矩为极值。因RBB= 5 KN ，根据 BE段的平衡条件y = 0 ，知 BE 段的长度为 0.5m，于是求得ME= 1.25 KN m 。根据上述三个截面的弯矩值可作出DB 段的M 图。对作出的Q 、 M 图要利用微分关系

6、和突变规律、端点规律作进一步的校核。如 DB 段内的均布载荷为负值，该段Q 图的斜率应为负；CA 段的Q 为负值，该段 M 图的斜率应为负；AD 段的Q 为正值，该段M 图的斜率应为正；支座A 处剪力图应发生突变，突变值应为10KN；D 处有集中力偶，D 截面左右两侧的弯矩应发生突变，而且突变值应为3.6KNm；支座B 和自由端C 处的弯矩应为零2. 梁受力如图a 所示，试绘出其内力图。解：（1）该梁为一次静不定。将中间支座C 去掉，以简支梁作为静定基（图b）。在静定基上作用均布载荷q 和多余约束力 R，成为原静不定梁的相当系统（图c）。C（2） 相当系统在 c 点的挠度应为零，即 vc的补充

7、方程式：R l 35ql 4= 0 。根据此变形条件可写出求解静不定梁c-= 0求得RC5= 8 ql48EI384EI（3） 利用静力平衡条件求得其他支座反力（图d）3RA = RB = 16 ql画出静不定梁的Q 、M 图，如图e、f 所示。静不定梁的1M=ql 2 ，而简支梁的 M1=ql 2 ，前者仅为后者max的 14 。32max83. 图所示简支梁用其 56a 号工字钢制成，试求此梁的最大切应力和同一截面腹板部分在与翼板交界处的切应力。解：作剪力图如图(c).由图可知，梁的最大剪力出现在AC 段，其值为Q= 75kN = 75000 Nmax利用型钢表查得，56a 号工字钢S *

8、zI = 47.73 10-2 m ,最大切应力在中性轴上。z由此得t= QS*Q7500012.6MPmax z max =max= 12600000 = 126.MPmaxI dzIz d S*47.7310-2 12.510-3a az max以下求该横截面上腹板与翼板交界处 C 的切应力。此时 S * 是翼板面积对中性轴的面积z矩，由横截面尺寸可计算得56021S* = 166 21(-) = 939500mm3 = 9.40 10-4 m3z22由型钢表查得 Iz= 65866cm4 ,腹板与翼板交界处的切应力为t=75000 9.40 10-4fc65866 10-8 12.5 1

9、0-3= 8.6MPa4. 长为 L 的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、L 2m， F1.6kN，试求B 截面上a、b、c 各点的正应力。AL / 2Fh 6aBCbhL 2h 2cb解：B 截面的弯矩为1M B = 2 FL = 0.5 1.6 2 = 1.6kN.ma 点的正应力1h=sM y2 FL 3B a= 1.65MPaaIbh3Z12B 点在中性轴上,其正应力s= 0 .bc 点的正应力为1h=M yoB c =cIZ2 FL 2bh312= 2.47MPa（压）5. 图示为一工字形钢梁，受力如图示，钢的容许弯曲应力为 s = 152MP

10、，容许切应力为at = 95MP 。试选择工字钢的型号。a112.537.5kN37.5（b）112.5281375kN.m（c）解：首先将梁简化为简支梁,作出剪力和弯矩图如(b)(c)，先按正应力强度条件选择截面,因梁的最大弯矩为N mM= 375000max根据s= M max s ,可计算梁截面的截面模量W，应为maxWzzW = Mzsmax= 375000 152 106= 2460 10-6 m3max由型钢表查得最接近这一要求的是 56b 号工字钢，其截面模量为W = 2447 10-6 m3z由于在规定材料的容许应力时，为材料留有一定的安全裕度，所以只要超出容许应力不是很大(一

11、般 5%在之内),选用小一号的截面是充许的，这里 56b 号工字钢截面模量比所需要的相差不到 1%，相应地，最大正应力也将不会超出容许应力1%，因此可以采用。进行切应力强度校核: 梁的最大剪力为Qmax= 112500 N m利用型钢表查得，56b 号工字钢的 IzS * = 47.17 10-2 m ,最大切应力为zQt=maxS*z max=max= 2255.44110-066P= 25.4MP15500000QmaxI dzIz d S*47.1710-2 12.510-3aaaz max显然，这个最大切应力小于容许切应力，切应力强度条件满足。实际上，前面已经讲到， 梁的强度多由正应力

12、控制，故在按正应力强度条件选好截面后，在一般情况下不需要再按切应力进行强度校核。6.T 字形截面铸铁梁受力如图所示，已知材料的拉、压容许应力分别为s= 30MP ，las = 90MP 。已经给出了截面的部分尺寸，试按合理截面的要求确定尺寸d ，并按所确定aa的截面尺寸计算梁的容许荷载。解： 为了达到合理截面要求，必须使同一横截面上的最大拉应力和最大压应力之比sl maxsa max等于相应的拉、压容许应力之比s sla，这样当荷载增大时，截面上的最大拉应力和最大压应力将同时达到容许应力，受拉区和受压区的材料可以同样程度地发挥潜力。根据给定条件可知s : sla= 30:90 = 1:3 ，所

13、以同一截面上应有sl max: sa max= 1: 3由图(c).由于正应力在横截面上按直线分布，由几何关系可确定中性轴的位置y 为0y = 210mm0由于中性轴是通过形心的，根据形心计算公式，可建立y0与截面几何尺寸关系式为(280 - 60)d ( 280 - 60) + 60 220(280 - 60)y =220(280 - 60)d + 60 220将 y = 210mm 代入上式可解得d = 24mm 。0下面确定梁的容许荷载：首先计算截面惯性矩,由于T 形截面可划分为两个矩形，由几何关系可求得两矩形形心相对于中性轴位置如图(c),利用平行移轴定理可解出24 2203220 6

14、03I = (+ 24 220 1002 ) + (+ 220 60 402 ) = 99.18 106 mm4 = 99.18 106 m4z1212最大弯矩 M出现在跨中，即maxPLP 2M=max44= 0.5Po s=m ax l ml ax=MMmaxmaxysm amxaxI Iz z最大拉应力为= 0.5 P 70 10 -3 99.18 10 -6= 352.9 P根据强度条件smax s l故有352.9P 30 106可解得P 85103 N = 85kN故按拉应力强度条件可确定梁的容许荷载为85kN，由于梁的截面尺寸是按最大拉应力和最大压应力同时达到相应容许应力的条件确

15、定的，所以按压应力强度条件也会求得同样的容许荷载。由于与上题同样的考虑，对于所确定的容许荷载，不需要再进行切应力强度校核。7. 长度为 250mm，截面尺寸为 hb=O.8mm25mm 的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为60的圆弧,已知弹性模量E=2.1105MPa。试求钢尺横截面上的最大正应力。解：o= E y =E h2= 2.11011 0.8 10-3 3.14 = 352MPmaxrl2 250 10-3 3ap 38. 厚度为h=1.5mm 的钢带,卷成直径为D=3m 的圆环,求此时钢带横截面上的最大正应力。已知钢的弹性模量E=2.1l05MPa。解：因为l = 2p R

16、 = 2p D21 = 2 = MrDEIzM = 2E IDz所以s = My = 2Ey = 105MPaIDzs9. 直径为 d 的钢丝，其名义流动极限为0.2 。现在其两端施加外力偶使弯成直径为 D 的圆s弧。试求当钢丝横截面上的最大正应力等于0.2 时 D 与d 的关系式。并据此分析为何钢丝绳要用许多高强度的细钢丝组成。解：l = 2p R = 2p D21 = 2 = MrDEIzM = 2E IDzo = My = 2E = s,D = E所以IDz0.2ds0.2由上可见,细钢丝强度越大,E 越大,D 越大,抗弯刚度大.10.图示一由 1 6 号工字钢制成的简支梁，其上作用着集中荷载P,在截面 c-c 处梁的下边缘上,用标距s=20mm 的应变计量得纵向伸长S=0.0O8mm。已知梁的跨长 L=1.5m,a=1m，弹性模量 E=2.1105MPa 试求p 力的大小。PcABacL 2L 2解：因 smax= Ee = E Ds = MC sWzR = R = PAB2C 截面的弯矩M= P L - a）（C2查表得 16 号工的Wz= 14110-6 m3 ,代入后得2W EeP =zl - a= 47.38kN