驻波的表达式课件.ppt

1、10-5 10-5 驻波驻波驻波驻波是波干涉的特例，是波干涉的特例，在同一媒质两列频率、振动方向、振幅相同的波，在同一媒质两列频率、振动方向、振幅相同的波，在同一直线上沿相反方向传播叠加就形成在同一直线上沿相反方向传播叠加就形成驻波驻波。一振子连接一弹性细绳，细绳另一端固定，固定端一振子连接一弹性细绳，细绳另一端固定，固定端与振子的距离可调。与振子的距离可调。振子振子细绳细绳固定端固定端1.驻波实验驻波实验当振子振动时，绳上产生波动，向右传播，当振子振动时，绳上产生波动，向右传播，到达固定端时，在固定端发生反射，产生反射波，到达固定端时，在固定端发生反射，产生反射波，反射波向左传播，反射波向左

2、传播，入射波和反射波在同一直线上沿相反方向传播，入射波和反射波在同一直线上沿相反方向传播，且同振幅、同振动方向、同频率且同振幅、同振动方向、同频率调节固定端与振子的距离，调节固定端与振子的距离，结果形成如图波动状态。结果形成如图波动状态。振子振子细绳细绳固定端固定端振子振子细绳细绳固定端固定端每一段两端的点固定不动，每一段两端的点固定不动，而每一段中的各点则作振幅不同的、位相相同的而每一段中的各点则作振幅不同的、位相相同的独立振动；独立振动；中间的点，振幅最大，中间的点，振幅最大，越靠近两端的点，振幅越小，越靠近两端的点，振幅越小，而且发现，相邻两段的的点的振动方向是相反的。而且发现，相邻两段

3、的的点的振动方向是相反的。从图上可以看出，由上述两列叠加而成的波，从图上可以看出，由上述两列叠加而成的波，在绳上被分成几段，在绳上被分成几段，振子振子细绳细绳固定端固定端此时，绳上各点，只有段与段之间的位相的突变，此时，绳上各点，只有段与段之间的位相的突变，而没有振动状态或位相的逐点的传播，而没有振动状态或位相的逐点的传播，也即没有什么也即没有什么“跑动跑动”的的波形，的的波形，所以这种波称为所以这种波称为驻波驻波。驻波中始终静止不动的那些点称为驻波中始终静止不动的那些点称为波节波节；振幅最大的各点称为振幅最大的各点称为波腹波腹下面以简谐波为例来对驻波进行定量说明下面以简谐波为例来对驻波进行定

4、量说明波腹波腹波节波节2.驻波的表达式驻波的表达式设有同振幅、同振动方向、同频率的两列平面简谐设有同振幅、同振动方向、同频率的两列平面简谐波，沿波，沿 x 轴正方向和负方向传播。轴正方向和负方向传播。它们的表达式分别为它们的表达式分别为)cos(xtAy21 )cos(xtAy22 其合成波的表达式其合成波的表达式21yyy )cos()cos(xtAxtAy22 txAycoscos22 驻波的表达式驻波的表达式txAycoscos22 讨讨 论论v 振幅振幅 驻波的振幅与位置有关，与时间无关驻波的振幅与位置有关，与时间无关v 对于确定的点，对于确定的点，有确定的值有确定的值xA22cos合

5、成以后各点都在作简谐振动，而且频率相同合成以后各点都在作简谐振动，而且频率相同各点作简谐振动的振幅为各点作简谐振动的振幅为xA22cos波腹波腹的位置的位置振幅最大的位置振幅最大的位置12 xcos发生在发生在v 振幅振幅xA22cos波腹波腹的位置的位置振幅最大的位置振幅最大的位置12 xcoskx 2 ，3210k2kx 波节波节的位置的位置振幅最小的位置振幅最小的位置02 xcos发生在发生在2122)(kx ，3210k412)(kxv 振幅振幅xA22cos波腹波腹的位置的位置 ，3210k2kx 波节波节的位置的位置 ，3210k412)(kx相邻相邻波腹波腹（或（或波节波节）的距

6、离）的距离21 kkxx22txAycoscos22 讨讨 论论v 位相位相驻波中振动因子为驻波中振动因子为 tcos但不能认为驻波中各点的振动位相都是相同的但不能认为驻波中各点的振动位相都是相同的因为因子因为因子 在在 x 取不同值时，取不同值时，xA22cos是有正有负的是有正有负的考虑图中考虑图中 x1 x2 和和 x2 x3 相邻两段相邻两段1x3x2xtxAycoscos22 讨讨 论论v 位相位相1x3x2x考察考察 x1 和和 x2 之间任意两点之间任意两点 x 和和 x21xxxx 41 x432 x波节波节的位置的位置 ，3210k412)(kx取取则则x x txAycos

7、cos22 讨讨 论论v 位相位相21xxxx 221 x41 x432 x2322 x23222 xxx 2cosx 2cos与与同号同号1x3x2xx x txAycoscos22 讨讨 论论v 位相位相21xxxx x 2cosx 2cos与与同号同号意味着，同一段内各点的振动是意味着，同一段内各点的振动是同位相同位相的的1x3x2xx x txAycoscos22 讨讨 论论v 位相位相1x3x2x考察分别位于考察分别位于 x1 和和 x2 之间之间 x2 和和 x3 之间的之间的任意两点任意两点 x 和和 x21xxx 32xxx 41 x432 x取取则则453 x波节波节的位置的

8、位置 ，3210k412)(kxx x txAycoscos22 讨讨 论论v 位相位相21xxx 32xxx 41 x432 x453 x221 x2322 x2523 x2322 x25223 x1x3x2xx x txAycoscos22 讨讨 论论v 位相位相21xxx 32xxx 2322 x25223 x222 xx 2cosx 2cos与与异号异号1x3x2xx x txAycoscos22 讨讨 论论v 位相位相意味着，在相邻两段内各点的振动是意味着，在相邻两段内各点的振动是反相反相的的21xxx 32xxx x 2cosx 2cos与与异号异号1x3x2xx x 3.半波损失

9、半波损失振子振子细绳细绳固定端固定端在图示的实验中，固定端（入射波的反射点）处的在图示的实验中，固定端（入射波的反射点）处的绳是不动的，因而此处只能是波节。绳是不动的，因而此处只能是波节。从振动的合成来考虑，这意味着反射波和入射波的从振动的合成来考虑，这意味着反射波和入射波的位相在固定端正好相反，位相差为位相在固定端正好相反，位相差为。把这种反射波与入射波之间有把这种反射波与入射波之间有 的位相突变的位相突变的现象的现象形象化地称为形象化地称为半波损失半波损失位相差位相差，波传播了半个波长，波传播了半个波长振子振子细绳细绳固定端固定端如果反射点是自由端，合成的驻波在反射点如果反射点是自由端，合

10、成的驻波在反射点形成波腹，这时，反射波与入射波之间没有形成波腹，这时，反射波与入射波之间没有位相突变，没有位相突变，没有半波损失半波损失进一步的研究表明，当波在空间传播时，进一步的研究表明，当波在空间传播时，在两种介质的分界面处究竟出现在两种介质的分界面处究竟出现波节波节还是还是波腹波腹，这将决定于波的种类和两种介质的有关性质这将决定于波的种类和两种介质的有关性质以及入射角的大小以及入射角的大小波动垂直入射的情况波动垂直入射的情况波动垂直入射的情况波动垂直入射的情况把介质密度与波速的乘积较大的介质称为把介质密度与波速的乘积较大的介质称为波密媒质波密媒质，乘积较小的介质称为，乘积较小的介质称为波

11、疏媒质波疏媒质.当波从当波从波密媒质波密媒质传播到传播到波疏媒质，波疏媒质，而在分界而在分界面处反射时，反射点出现波腹，反射波与入面处反射时，反射点出现波腹，反射波与入射波之间没有位相射波之间没有位相 突变，不发生突变，不发生半波损失半波损失波密波密波疏波疏半波损失的问题不仅在机械波中存在，半波损失的问题不仅在机械波中存在，在电磁波包括光波反射时也存在。在电磁波包括光波反射时也存在。那么，当波从波疏媒质传播到波密媒质，那么，当波从波疏媒质传播到波密媒质，而在分界面处反射时，反射点出现波节而在分界面处反射时，反射点出现波节即反射波与入射波之间有位相即反射波与入射波之间有位相 突变，突变，发生发生

12、半波损失半波损失波密波密波疏波疏23.弦线上的驻波弦线上的驻波弦线的两端拉紧固定，当拨动弦线时，弦线的两端拉紧固定，当拨动弦线时，弦线中就产生经两端反射而成的弦线中就产生经两端反射而成的两列反向传播的波，叠加后形成驻波。两列反向传播的波，叠加后形成驻波。由于在两固定端必须是波节，由于在两固定端必须是波节，因而其波长因而其波长 有一定的限制，有一定的限制，波长波长 和弦长和弦长 L 必须满足条件必须满足条件2nnL ，321nnLn2 Lunn2 u波速波速LnLn2 Lunn2 L ，321n只有波长（或频率）满足上述条件的只有波长（或频率）满足上述条件的一系列波才能在弦上形成驻波一系列波才能

13、在弦上形成驻波其中与其中与 对应的频率对应的频率 称为基频，称为基频，1 nLun2 对弦来说对弦来说,依次称为依次称为2次、次、3次次谐频谐频 、32对声驻波则称为基音和泛音对声驻波则称为基音和泛音nLn2 Lunn2 L ，321n各种允许频率所对应的驻波称为各种允许频率所对应的驻波称为简正模式简正模式，相应的频率称为相应的频率称为本征频率本征频率。对两端固定的弦，这一驻波系统，对两端固定的弦，这一驻波系统，有无限多个简正模式和本征频率。有无限多个简正模式和本征频率。LL21L2323LLL1 n2 n3 n对一端固定一端自由的棒或对两端自由的棒对一端固定一端自由的棒或对两端自由的棒（或一

14、端封闭、一端开放的管或两端开放的管）；（或一端封闭、一端开放的管或两端开放的管）；也可作类似分析。也可作类似分析。一个驻波系统的简正模式所对应的本征频率一个驻波系统的简正模式所对应的本征频率反映了系统的固有频率特性，反映了系统的固有频率特性，如果外界驱使系统振动，当驱动力频率接近如果外界驱使系统振动，当驱动力频率接近驻波系统某一固有频率时，系统将被激发，驻波系统某一固有频率时，系统将被激发，产生振幅很大的的驻波，这种现象也称为产生振幅很大的的驻波，这种现象也称为共振共振。1940年年11月月7日，日，Tacoma悬桥在风的作用悬桥在风的作用下发生共振而坍塌的过程下发生共振而坍塌的过程41 L432 L453 LLLL1 n2 n3 n