311(二课时)直线和平面所成的角课件.ppt

1、 目标越接近，困难目标越接近，困难越增加。但愿每一个人越增加。但愿每一个人都像星星一样从容地沿都像星星一样从容地沿着既定的目标走完自己着既定的目标走完自己的路程。的路程。1.1.直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？直线和平面垂直的定义和判定定理分别是什么？直线和平面垂直的定义：直线和平面垂直的定义：如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，如果一条直线与平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线与这个平面垂直则称这条直线与这个平面垂直.2.直线和平面垂直的定理：直线和平面垂直的定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直

2、于这个平面那么这条直线垂直于这个平面.知识方法回顾：知识方法回顾：.lala都有对结论：结论：过一点有且只有一条直线与过一点有且只有一条直线与给定平面给定平面垂直；垂直；过一点有且只有一个平面与过一点有且只有一个平面与给定直线垂直给定直线垂直。定理：定理：如果一条直线和一个平面内的两条如果一条直线和一个平面内的两条相交相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.2、线面垂直的判定定理、线面垂直的判定定理blalPbaba,l符号语言：符号语言：线不在多线不在多！相交就灵相交就灵！.,/baba结论：结论：理论迁移理论迁移例例1 1 已知已知 .求证：求证：

3、/,ab a.babcd.,/baba结论：结论：例例2 2 在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中，中，PAPA平面平面ABCABC，ABBCABBC，PA=ABPA=AB，D D为为PBPB的中点，的中点，求证：求证：ADPC.ADPC.PABCD解题感悟：解题感悟：通过证明线面垂直得线线垂直！通过证明线面垂直得线线垂直！例例3 3 侧棱与底面垂直的棱柱称为侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱直棱柱.在直四在直四棱柱棱柱ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，当底面四边形中，当底面四边形ABCDABCD满足什满足什么条件时，有么条件时，有A A1 1CBCB1 1D

4、 D1 1，说明你的理由，说明你的理由.AA1BCDB1C1D1解题感悟：解题感悟：充分体现了化归转化思想！充分体现了化归转化思想！PABCO如图，圆如图，圆O所在一平面为所在一平面为 ，AB是圆是圆O 的直径，的直径，C 是圆周上一点是圆周上一点,且且PA AC,PA AB,求证：求证：（1）PA BC （2）BC 平面平面PAC ,ABACABACAPAAC PAABPABCPABC 解解：（1）1）且且又又 PACBCAACPAPABCACBC，ABOC面得由为直径一点为圆1（2）拓展训练拓展训练：.,90,422;:1.3,0所成角的余弦与求若求证平面且上在点的中点是外一点是已知点PA

5、MNAPBBCPBPAABMNPABBCNBAN，ABNPCMPBPAABCPNMPCBAODE拓展训练拓展训练：课堂小结与练习课堂小结与练习：P67 P67 练习：练习：1.1.P74P74习题习题2.3B2.3B组：组：2 2，4.4.直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系直线在平面内直线在平面内直线与平面相交直线与平面相交直线与平面平行直线与平面平行直线和平面的位置关系直线和平面的位置关系问题的提出问题的提出:直线与平面相交直线与平面相交直线与平面直交-线面垂直直线与平面斜交-线面角线面角3.1.1(第二课时)学习目标：学习目标：1、理解平面的斜线的概念；、理解平面的斜线的概念；2、掌

6、握斜线在平面上的射影的（求作）概念；、掌握斜线在平面上的射影的（求作）概念；3、理解斜线与平面所成角的概念；、理解斜线与平面所成角的概念；4、会求直线与平面所成角，掌握（几种）常见求法。、会求直线与平面所成角，掌握（几种）常见求法。知识探究（一）：平面的斜线知识探究（一）：平面的斜线 思考思考1:1:当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不当直线与平面相交时，它们可能垂直，也可能不垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直垂直，如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的线叫做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点叫做，斜线和平面的交点叫做斜足斜足.那么过一点作一个平面的斜

7、线有多少条？那么过一点作一个平面的斜线有多少条？lP斜线斜线斜足斜足1、平面的斜线与射影、平面的斜线与射影（1）平面的斜线的概念：）平面的斜线的概念：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的叫做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点叫做，斜线和平面的交点叫做斜足斜足.:DeflPAB（2）斜线在平面上的射影的概念）斜线在平面上的射影的概念 过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影射影.:Def想一想：想一想：斜线斜线

8、 在平面在平面内的射影有几条？内的射影有几条？l结论：结论：平面的斜线在此平面上的射影唯一确定，平面的斜线在此平面上的射影唯一确定，斜线上任一点在平面上的射影一定在此斜线在此斜线上任一点在平面上的射影一定在此斜线在此平面的射影上。平面的射影上。思考思考2:2:两两条平行直线、异面直线在同一个平面内的射条平行直线、异面直线在同一个平面内的射影可能是哪些图形？影可能是哪些图形？相交直线呢？相交直线呢？思考思考3:3:如图，过平面如图，过平面外一点外一点P P引平面引平面的两条斜线段的两条斜线段PAPA、PBPB，斜足为，斜足为A A、B B，再过点，再过点P P引平面引平面的垂线，垂足为的垂线，垂

9、足为O O，如，如果果PAPAPBPB，那么，那么OAOA与与OBOB的大小关系如何？反之成立吗？的大小关系如何？反之成立吗？PAPBOA OBOPAB结论：结论：过平面外一点引平面的垂线段和斜线段，以垂过平面外一点引平面的垂线段和斜线段，以垂线段为最短；斜线段较长的射影较长。线段为最短；斜线段较长的射影较长。思考思考4:4:如图，过平面如图，过平面内一点内一点P P引平面引平面的两条斜线的两条斜线PAPA、PBPB，这两条斜线段在平面，这两条斜线段在平面内的射影分别为内的射影分别为PCPC、PDPD，如，如果果PAPAPBPB，那么，那么PCPC与与PDPD的大小关系确定吗？的大小关系确定吗

10、？CPABDOAB1COACOAB,1记思考：?21的大小关系与问题探究问题探究:.,:5ACOAABOA内的射影在为的斜线为平面如图思考ABCO12为减函数，在)20(cos.1AO不妨设为单位长，则：11AB|=|AO|coscos AC|=|AO|coscos 12coscos cos210cos1,|coscos212|AC|=|AB|coscos cos 平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；最小角定理：最小角定理：12coscos cos2、斜线

11、和平面所成角、斜线和平面所成角 把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐把平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做角，叫做这条斜线和这个平面所成的角这条斜线和这个平面所成的角.:Def 特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所特别地，当一条直线与平面垂直时，规定它们所成的角为成的角为90；当一条直线和平面平行或在平面内时，；当一条直线和平面平行或在平面内时，规定它们所成的角为规定它们所成的角为0.90,所成角为与则若aa 0,/所成角为与则或若aaa直线和平面所成角的范围：直线和平面所成角的范围：900规定：规定：aaa2 2、直线和平面所成角定义：、直线和平面所成角定义：平面的斜

12、线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；最小角定理：最小角定理：12coscos cosABCO12三余弦公式三余弦公式 一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。:Def思考并回答：思考并回答：（1）两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关两条平行直线与同一个平面所成的角的大小关系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所系如何？反之成立吗？一条直线与两个平行平面所成的角的大小关系如何？成的角的大小关系如何？（2）过

13、平面过平面外一点外一点P引平面引平面的斜线，斜足为的斜线，斜足为A，若斜线若斜线PA与平面与平面所成的角为所成的角为50，那么点，那么点A在平在平面面内的运动轨迹是什么图形？内的运动轨迹是什么图形？（3）如图，如图，BAD为斜线为斜线AB与平面与平面所成的角，所成的角，AC为平面为平面内的一条直线，那内的一条直线，那么么BAD与与BAC的大小的大小关系如何？关系如何？DCABBACBAC BADBADABCDA1B1C1D1.111111所成角正弦值与平面求直线中，在正方体例ABCDCADCBAABCD法求线面角方法一：定义垂线经过斜线上一点作面的:12:,找出斜线在平面内的射影从而找出线面角

14、解直角三角形:333sin理论迁移理论迁移变式训练变式训练：在正方体在正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中.（1 1）求直线）求直线A A1 1B B和平面和平面ABCDABCD所成的角；所成的角；（2 2）分别求直线）分别求直线A A1 1B B、ABAB和平面和平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角所成的角.（3）求直线）求直线A1B与平面与平面BDD1B1所成的角。所成的角。D1 1ABA1 1CB1 1C1 1DOE例例2 2 如图，如图，ABAB为平面为平面的一条斜线，的一条斜线，B B为斜足，为斜足，AOAO平面平面，垂足为，垂足为O

15、O，直线，直线BCBC在平面在平面内，已内，已知知ABC=60ABC=60，OBC=45OBC=45，求斜线，求斜线ABAB和平面和平面所成的角所成的角.ABCOD理论迁移理论迁移角定理求线面角方法二：最小ABCD1A1B1C1D(三余弦公式).,60,90,.3101101111所成角与面求已知平行六面体例ABCDAADAABAABADDCBAABCD拓展与引申：拓展与引申：?,:吗上射影平分问斜线在此平面成角相等如果斜线与角的两边所线引这个角所在平面的斜的顶点过思考AOBOAOBO课堂练习课堂练习:P67 P67 练习：练习：2.2.P74P74习题习题2.3A2.3A组：组：9.9.我的

16、小结：我的小结：（1）平面的斜线的概念：）平面的斜线的概念：如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线如果一条直线和一个平面相交但不垂直，这条直线叫做这个平面的叫做这个平面的斜线斜线，斜线和平面的交点叫做，斜线和平面的交点叫做斜足斜足.:Def（2）斜线在平面上的射影的概念）斜线在平面上的射影的概念 过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和过斜线上斜足外一点向平面引垂线，连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影射影.:Def1、平面的斜线与射影、平面的斜线与射影结论：结论：平面的斜线在此平面上的射影唯一确定，斜平面的斜线在此平面上的射影唯一确定

17、，斜线上任一点在平面上的射影一定在此斜线在此平面线上任一点在平面上的射影一定在此斜线在此平面的射影上。的射影上。结论结论:(1)两条平行线和同一平面所成的角相等两条平行线和同一平面所成的角相等;(2)一条直线和两个平行平面所成的角相等一条直线和两个平行平面所成的角相等.平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角；最小角定理：最小角定理：一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，一个平面的斜线和它在这个平面中的射影的夹角，叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。叫做斜线和平面所成角（或叫斜线和平面的夹角）。:Def2 2、直线和平面所成角定义：

18、、直线和平面所成角定义：12coscos cos三余弦公式三余弦公式ABCO12、有关射影的概念：1）内的正射影（简称射影在平面叫做引垂线，垂足向平面点的射影：自一点PPP)1(在平面内的射影。叫做，则构成的图形的射影上所有点在一个平面内形）图形的射影：如果图（FFFF22斜线的有关概念：（1）斜线：（2）斜足：；（3）斜线段：一、相关概念APoaa直线PA斜线OA射影知识回顾：知识回顾：思考思考1:1:如图，直线如图，直线l是平面是平面的一条斜线，它在平面的一条斜线，它在平面内的射影为内的射影为b b，直线，直线a a在平面在平面内，如果内，如果abab，那么直，那么直线线a a与直线与直线

19、l垂直吗？为什么？反之成立吗？垂直吗？为什么？反之成立吗？albabal拓展与引申：拓展与引申：三三 垂垂 线线 定定 理理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。影垂直，那么它也和这条斜线垂直。1、三垂线定理：、三垂线定理：一、三垂线定理及逆定理：一、三垂线定理及逆定理：斜线直线射影直线说明：说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式,POOPAAaPAaaOAAPoa在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，在平面内的一条直线，如果它和这个平面的

20、一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。2、三垂线定理的逆定理：、三垂线定理的逆定理：射影直线斜线直线,POOPAAaAOaaAP说明：说明：（1）定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；（2）推理模式 APoa）理的精髓：（三组垂线、三垂线定理及其逆定3的垂线是）（的垂线是的垂线是PA:3OA:)2(PO:OP)1(aPAaaOAaAPoaBCAOO,ABCEOEBC,AE1求证：于平面平面：如图所示，已知例AEBCO 二、二、三垂线定理及逆定理：三垂线定理及逆定理：三边的距离都相等到求证：点，为这条垂线上任意一点平面的垂

21、线，点所在作内心，过是的、如图所示，点ABCPABCOABCOP2OPABCAA1CBC1B1.:,21111111ABCAABBCCBAABC、求证中在正三棱柱例D1D)(.361的三边的距离为点到则且，面作的中心，过边长为、等边ABCPaOPABCOPOABCaABC课堂练习课堂练习aA.aB23.aC33.aD36.B2、矩形ABCD中，AB=3，BC=4，PA垂直面ABCD，且PA=1.则P点到对角线BD的距离是（）513.A10.BA17.C512.D3、正方体、正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M为为CC1的中点的中点.O是正方是正方形形ABCD的中心，的中心，P是是A1B1

22、上的任意一点上的任意一点.则直线则直线PO与与BM所成的角等于（所成的角等于（）.30.A60.B90.C.不能确定DB1ABCDA1C1D1CMOPEMNSCNMSCSBAABCSAABCABC，求证：、上的射影分别是：、在点面中，、在三角形,9040ASNMCB（2）当）当CD:CC1等于多少时，等于多少时，5如图在平行六面体如图在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面是菱形，中，底面是菱形，CDCCBC1160BCD（1）求证：）求证：BDCC1CA1 平面平面C C1 1BDBD，并证明；，并证明；B1C1D1A1BCDAE:常见结论射影上？则这个点在该平面上的等，一点到角两边的距离相如果一个角所在平面外)1(ABPCO的平分线上答案：射影在 BAC成立反之，该命题逆命题也上的射影为？角相等，则斜线在该面斜线与这角的两边的夹线，若引这个角所在平面的斜如果经过一个角的顶点)2(的平分线或延长线答案：射影为 BAC中，在空间四边形ABCD)3(ABCD，若ADACAB)4(内的射影为在面则BCDA外心距离相等，到若BDCDBCA,内的射影为在面则BCDA内心两两垂直、若ADACAB)5(内的射影为在面则BCDA垂心,)6(BDACCDAB或BCAD 内的射影为在面则BCDA垂心