1、ix(1,2,)in11221331111221 123322221 122,1111()1()1()nnnnnnnn nnnnxa xa xa xbaxa xa xa xbaxa xa xaxba由方程组由方程组 AX=b 的第的第 i 个方程解出个方程解出得到一个同解方程组得到一个同解方程组1 雅可比（雅可比（Jacobi）迭代法）迭代法获得相应的迭代公式获得相应的迭代公式(1)()()()11221331111(1)()()()221 12332222(1)()()()1 122,111()1()1()kkkknnkkkknnkkkknnnn nnnnnxa xa xa xbaxa xa
2、 xa xbaxa xa xaxba取初始向量取初始向量(0)(0)(0)(0)12(,)TnXxxx利用利用(4)反复迭代反复迭代可以得到一个向量序列可以得到一个向量序列()kX（4）称式称式(4)为雅可比迭为雅可比迭Jacobi代公式。代公式。若记若记121112122231321,1210000000nnnnnnnnnaaaaaaDLaaUaaaaa 则则 AX=b 的系数矩阵的系数矩阵 为为A=D-L-U,雅可比迭代公式的矩阵表示形式为雅可比迭代公式的矩阵表示形式为(1)1()1()kkXDLU XD b其中其中1()DLU称为雅可比迭代矩阵。称为雅可比迭代矩阵。1()JBDLU记为记
3、为 我们用定理我们用定理2来判断雅可比迭代公式是否收敛来判断雅可比迭代公式是否收敛需要考虑雅可比迭代矩阵需要考虑雅可比迭代矩阵1()DLU特征方程特征方程1()0IDLU又可以写成又可以写成 10DDLU因为因为10D，所以，所以0DL U 上式左端为将系数矩阵上式左端为将系数矩阵 A 的对角元同乘以的对角元同乘以 后所得新矩阵的行列式。后所得新矩阵的行列式。例例8 用雅可比迭代法求解方程组用雅可比迭代法求解方程组1231231231023210152510 xxxxxxxxx解：解：相应的雅可比迭代公式为相应的雅可比迭代公式为(1)()()123(1)()()213(1)()()3121(2
4、3)101(215)101(210)5kkkkkkkkkxxxxxxxxxk()1kx()2kx()3kxk()1kx()2kx()3kx0123400.30000.80000.91800.971601.50001.76001.92601.970002.00002.66002.86402.9540567890.98940.99630.99860.99950.99981.98971.99611.99861.99951.99982.98232.99382.99772.99922.9998原方程组的准确解为原方程组的准确解为1231,2,3xxx 可以看出，当迭代次数增加时，迭代结果可以看出，当迭代
5、次数增加时，迭代结果越来越接近准确解越来越接近准确解.取初值取初值(0)(0)(0)1230 xxx，按迭代公式进行迭代，按迭代公式进行迭代，得计算结果得计算结果由迭代矩阵的特征方程由迭代矩阵的特征方程展开得到展开得到 2(102)(50103)0(9)(9)(9)1230.9998,1.9998,2.9998xxx因此，因此，可以作为原方程组的近似解。可以作为原方程组的近似解。052111021210解得解得 12311717,51010 于是于是 17()0.3646110J因而雅可比迭代公式是收敛的。因而雅可比迭代公式是收敛的。练习练习:考察用雅可比考察用雅可比Jacobi迭代法迭代法解方程组解方程组 AX=b的收敛性，的收敛性，321011101A其中其中
